F, viene allungata o compressa di un tratto s rispetto alla sua posizione di equilibrio.

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1 UNIÀ 4 L EQUILIBRIO DEI SOLIDI.. La forza elastica di una molla.. La costante elastica e la legge di Hooke. 3. La forza peso. 4. Le forze di attrito. 5. La forza di attrito statico. 6. La forza di attrito dinamico. 7. La forza di reazione di un vincolo. 8. La forza di tensione di un filo. 9. Il punto materiale. 0. L effetto di una forza sul punto materiale.. La condizione di equilibrio di un punto materiale.. Il corpo rigido. 3. Gli effetti di una forza su un corpo rigido. 4. Il momento torcente di una forza e di una coppia di forze. 5. Il momento torcente di un sistema di forze. 6. Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido. 7. La forza equilibrante di due forze concorrenti. 8. La forza equilibrante di due forze parallele e concordi. 9. La forza equilibrante di due forze parallele e discordi. 0. Il baricentro di un corpo rigido.. Calcolo del baricentro per diversi tipi di corpi.. I diversi tipi di equilibrio per un corpo appeso e per un corpo appoggiato. 3. Esercizi e problemi di applicazione. Per determinare le condizioni di equilibrio di un solido bisogna vedere quali sono le forze che agiscono su di esso e verificare che la somma vettoriale di tutte queste forze sia nulla. Generalmente le forze da considerare sono le seguenti:. La forza elastica di una molla. Si indica con F e ed è la forza che una molla esercita quando, sottoposta ad una forza applicata F, viene allungata o compressa di un tratto s rispetto alla sua posizione di equilibrio. La forza elastica F e ha modulo uguale a quello della forza F applicata alla molla, stessa direzione ma verso opposto. Quindi la relazione tra i moduli è: F e F mentre la relazione vettoriale è: F F e. La costante elastica e la legge di Hooke. La forza elastica è direttamente proporzionale all allungamento o compressione s della molla; la costante di proporzionalità si chiama costante elastica della molla. Risulta quindi la relazione tra i moduli: F e k s e la relazione tra i vettori: F e k s questa formula si chiama legge di Hooke. Esempio. Ad una molla viene applicata una forza di 8,5 N e si allunga di 3, cm. Rappresentare la situazione con un disegno e calcolare la forza elastica e la costante elastica.

2 3. La forza peso. È la forza con cui la terra attira tutti gli oggetti che si trovano sulla superficie terrestre. È sempre verticale, diretta verso il centro della terra. Il suo modulo è direttamente proporzionale alla massa dell oggetto. P m g N m La costante di proporzionalità si chiama accelerazione di gravità e vale: g 9,8 9,8 Kg s Esempio. Calcolare il peso di un oggetto di 3,6 Kg. 4. Le forze di attrito. Le forze di attrito sono le forze che si oppongono al movimento di un oggetto. Sono di tre tipi: forza di attrito radente: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che striscia su un piano; forza di attrito volvente: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che rotola su un piano; forza di attrito viscoso: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che si muove attraverso un fluido (liquido o gas). Per il momento studieremo la forza di attrito radente, che può essere di due tipi: statico o dinamico. 5. La forza di attrito statico. E la forza che si oppone al moto di strisciamento di un oggetto fermo. Si indica con FS ed ha direzione uguale a quella della forza applicata all oggetto, ma verso opposto. Il suo modulo è uguale alla forza F applicata all oggetto, finché l oggetto rimane fermo. Quando l oggetto comincia a muoversi il modulo della forza di attrito diventa: FS ks P dove k S si chiama coefficiente di attrito statico e P è la forza perpendicolare che preme l oggetto contro il piano di appoggio. Esempio. Un oggetto di, Kg è fermo su un piano orizzontale con attrito. All oggetto si applica una forza orizzontale di 4, N e non si muove. Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito statico. Successivamente si applica una forza orizzontale di 6,4 N e l oggetto inizia a muoversi. Calcolare la forza di attrito statico e il coefficiente di attrito statico. Esempio. Un oggetto di, Kg si trova su un piano inclinato di 0 e non si muove. Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito statico. Successivamente il piano si inclina di 8 e l oggetto inizia a muoversi. Calcolare la forza di attrito statico e il coefficiente di attrito statico. 6. La forza di attrito dinamico. E la forza che si oppone al moto di strisciamento di un oggetto in movimento. Si indica con Fd ed ha direzione uguale a quella del movimento, ma verso opposto. Il suo modulo risulta: Fd kd P dove k d si chiama coefficiente di attrito dinamico e P è la forza perpendicolare che preme l oggetto contro il piano di appoggio. Esempio. Un oggetto di, Kg si muove su un piano orizzontale con k d =0,4. Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito dinamico. Esempio. Un oggetto di, Kg si muove su un piano inclinato con k d =0,4 e inclinato di 3. Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito dinamico.

3 7. La forza di reazione di un vincolo. È la forza che un vincolo deve sostenere per sopportare il peso dell oggetto che vi è appoggiato. Questa forza si indica con N ed è sempre normale, cioè perpendicolare al vincolo. È orientata verso l esterno del vincolo. Il suo modulo è uguale alla forza perpendicolare P che preme l oggetto contro il vincolo. Esempio. Un oggetto di,4 Kg si trova su un piano orizzontale. Rappresentare con un disegno e calcolare la reazione del vincolo. Esempio. Lo stesso oggetto si trova su un piano inclinato di 0. Rappresentare con un disegno e calcolare la reazione del vincolo. 8. La forza di tensione di un filo. È la forza che un filo deve sopportare quando viene sottoposto ad una forza applicata. La forza di tensione di un filo si indica con ed ha la stessa direzione del filo, verso opposto a quello della forza applicata e modulo uguale a quello della forza applicata. Quindi la relazione tra i moduli è F mentre la relazione vettoriale è F Esempio. Un oggetto di,7 Kg è appeso ad un filo. Rappresentare con un disegno e calcolare la tensione del filo. Se il filo può sopportare una tensione massima di 35 N qual è il massimo valore della massa che si può appendere senza romperlo? 9. Il punto materiale. È un oggetto di dimensioni molto piccole rispetto all ambiente circostante. Un punto materiale si dice in equilibrio quando la sua posizione non varia col passare del tempo. Un punto materiale si dice in movimento quando la sua posizione varia col passare del tempo. 0. L effetto di una forza sul punto materiale. Quando una forza è applicata ad un punto materiale libero di muoversi, si ha come effetto lo spostamento del punto materiale. Se una forza F è applicata ad un punto materiale di massa m, il punto materiale si muove nella stessa direzione e nello stesso verso della forza, con una accelerazione: F a cioè F m a legge di Newton m Se al punto materiale sono applicate più forze contemporaneamente, per ottenere l effetto complessivo bisogna calcolare la somma vettoriale F di tutte le forze. Il punto materiale si muoverà nella stessa direzione e nello stesso verso della forza risultante e con una accelerazione: F a cioè F m a m legge di Newton

4 . La condizione di equilibrio di un punto materiale. La condizione di equilibrio di un punto materiale sottoposto a più forze è che la somma di tutte le forze applicate sia nulla, cioè F 0 Se un punto materiale è sottoposto a più forze la cui somma F non è nulla e si vuole che il punto materiale resti in equilibrio, bisogna applicare una forza, detta forza equilibrante F eq, che deve avere la stessa direzione e lo stesso verso di F ma verso opposto, cioè Feq F. Il corpo rigido. Il corpo rigido è un oggetto esteso che non si deforma qualunque siano le intensità delle forze applicate. Un corpo rigido è in equilibrio quando tutti i suoi punti non variano la loro posizione col passare del tempo. Un corpo rigido è in movimento i suoi punti non variano la loro posizione col passare del tempo. Un corpo rigido, quando viene sottoposto a forze, può compiere due tipi principali di moto: moto traslatorio, quando tutti i suoi punti traslano compiendo lo stesso spostamento s ; moto rotatorio, quando tutti i suoi punti ruotano intorno ad un asse descrivendo lo stesso angolo α. Quando invece un corpo rigido ruota e trasla contemporaneamente, compie un movimento più complesso che si chiama moto rototraslatorio. 3. Gli effetti di una forza su un corpo rigido. Quando una forza F è applicata ad un corpo rigido si possono avere due effetti:. lo spostamento, quando il corpo compie un moto traslatorio e si sposta di un tratto s ;. la rotazione, quando il corpo compie un moto rotatorio e ruota di un angolo α intorno ad un asse O. L effetto della forza sullo spostamento dell oggetto si chiama lavoro, si indica con L, si misura in joule (J) e si calcola con la formula: L F s cos dove F è il valore della forza applicata all oggetto; s è lo spostamento compiuto dall oggetto; α è l angolo compreso tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento. L effetto della forza sulla rotazione dell oggetto si chiama momento torcente, si indica con M e si misura in Newton metro (N m).

5 4. Il momento torcente di una forza e di una coppia di forze. Se un corpo rigido è sottoposto ad una sola forza, il momento torcente che lo fa ruotare si calcola con la formula: M F b dove F è il valore della forza applicata all oggetto; b si chiama braccio della forza ed è la distanza tra l asse di rotazione e la retta su cui si trova la forza F. Siccome la forza si misura in Newton e la distanza si misura in metri, il momento torcente si misura in Newton metro (N m). Spesso, però, per far ruotare un oggetto è più comodo applicare una coppia di forze, cioè due forze che agiscono su due rette parallele, aventi lo stesso modulo, la stessa direzione ma verso opposto. Il momento torcente di una coppia di forze si calcola con la formula: M F B dove B si chiama braccio della coppia di forze ed è la distanza tra le rette su cui agiscono le due forze. 5. Il momento torcente di un sistema di forze. Un sistema di forze è un insieme di forze che agiscono contemporaneamente su un corpo rigido. Il momento torcente complessivo di un sistema di forze è uguale alla somma dei momenti torcenti delle singole forze: M M M M3... Ogni momento è considerato positivo se la forza fa ruotare l oggetto in senso antiorario ed è considerato negativo se la forza fa ruotare l oggetto in senso orario. Nell esempio in figura risulta: M M M M3 F b F b F3 b3

6 6. Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido. Se un corpo rigido deve essere in equilibrio, non deve traslare e non deve ruotare. Affinché non trasli la somma di tutte le forze applicate deve essere nulla. Affinché non ruoti la somma di tutti i momenti torcenti deve essere nulla. Quando un corpo rigido è sottoposto a più forze la cui somma non è nulla e il cui momento torcente non è nullo, se si vuole che il corpo resti in equilibrio bisogna applicare una forza equilibrante F eq che deve avere queste caratteristiche:. deve essere uguale e opposta alla forza totale F ;. deve essere applicata in un punto P opportuno rispetto al quale il momento torcente totale deve essere nullo. 7. La forza equilibrante di due forze concorrenti. Due forze applicate ad un corpo rigido si dicono concorrenti se le loro rette di azione si intersecano in un punto O, come in figura. In tal caso per trovare la forza equilibrante si esegue questa procedura:. si traslano le due forze lungo le loro rette di azione fino al punto O;. si calcola la forza totale col metodo del O parallelogramma e con i teoremi sui triangoli rettangoli; 3. la forza equilibrante sarà opposta alla forza totale ottenuta. 8. La forza equilibrante di due forze parallele e concordi. Se due forze parallele e concordi sono applicate ad un corpo rigido nei punti P e P, per trovare la forza equilibrante bisogna prima calcolare la forza totale e il suo punto di applicazione. La forza totale ha stessa direzione e verso delle due forze e come modulo la somma dei moduli. Il suo punto di applicazione P è compreso tra P e P, ma più vicino alla forza maggiore in modo tale che rispetto al punto P si abbia l uguaglianza dei due momenti torcenti, cioè: F b F b La forza equilibrante sarà opposta alla forza totale che è stata calcolata. F eq F F F F P P

7 9. La forza equilibrante di due forze parallele e discordi. Se due forze parallele e discordi sono applicate ad un corpo rigido nei punti P e P, per trovare la forza equilibrante bisogna prima calcolare la forza totale e il suo punto di applicazione. La forza totale ha stessa direzione delle due forze, il verso della forza maggiore e come modulo la differenza dei moduli. Il suo punto di applicazione P è esterno alle due forze, dalla parte della forza maggiore, in modo tale che rispetto al punto P si abbia l uguaglianza dei due momenti torcenti, cioè: F b F b La forza equilibrante sarà opposta alla forza totale che è stata calcolata. F eq F 0. Il baricentro di un corpo rigido. Quando bisogna studiare l equilibrio di un corpo rigido che ha una certa massa, e quindi un certo peso, bisogna conoscere il punto di applicazione della forza peso, chiamato baricentro. Il baricentro, che si indica con G (centro di Gravità), è il punto in cui è concentrato tutto il peso del corpo rigido.. Calcolo del baricentro per diversi tipi di corpi. Se un corpo è formato da un insieme di singoli punti materiali, per esempio tre particelle di masse m m m3 che si trovano in un piano cartesiano rispettivamente nei punti P ( x; y) P ( x; y) P3 ( x3; y3), il baricentro si trova nel punto G ( x ; y G G) le cui coordinate si calcolano così: x G m x mx m3x m m m 3 3 y G m y m y m3 y m m m Se l oggetto è formato da un insieme continuo di particelle ed ha una forma geometrica regolare, per esempio un quadrato, un rettangolo o una circonferenza, il suo baricentro coincide col centro geometrico della figura. Se l oggetto è formato da un insieme continuo di particelle ma non ha una forma geometrica regolare, per trovare il baricentro bisogna scomporre l oggetto in varie parti aventi forma regolare, trovare il baricentro di ciascuna di esse dove è concentrato tutto il suo peso e poi trovare il baricentro complessivo dell intero oggetto. Esercizio. rovare il baricentro di una piastra metallica formata da una parte quadrata di massa 3, Kg con il lato di 4 dm saldata con una parte rettangolare di massa,4 Kg con base dm e altezza dm. Si pone la piastra in un sistema di assi cartesiani xy. Per simmetria la parte quadrata ha il baricentro nel punto G (;) e la parte rettangolare ha il baricentro nel punto G (0;). Nel baricentro G è concentrata tutta la massa di 3, Kg e nel baricentro G è concentrata tutta la massa di,4 Kg. Perciò il baricentro dell intera piastra si trova nel punto G ( x ; y G G) le cui coordinate si calcolano così: 3 3

8 x m x mx 3,Kg dm,4kg 0dm G m m 3,Kg, 4 Kg 6,4Kg dm 4Kg dm 5,6Kg 30,4Kg dm 5,6Kg 5,4dm y m y m y 3,Kg dm,4kg dm G m m 3,Kg, 4 Kg 6,4Kg dm 4,8Kg dm 5,6Kg, Kg dm 5,6Kg dm Perciò il baricentro complessivo si trova nel punto G (5,4; ). I diversi tipi di equilibrio per un corpo appeso e per un corpo appoggiato.