Problemi di dinamica

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1 Problemi di dinamica Cosa vogliamo scoprire? Come si muove un corpo Cosa sappiamo? Quali forze agiscono sul corpo Com'è fatto l'ambiente in cui si muove il corpo Che velocità e che posizione occupava il corpo a un dato istante

2 Metodo 1) Determinare le forze agenti sul corpo 2) Determinare eventuali vincoli 3) Conoscere le condizioni iniziali 4) Disegnare le forze agenti (diagramma delle forze) 5) Calcolare la forza risultante 6) Calcolare l'accelerazione 7) Risalire all'equazione di moto e della velocità

3 Raccolta informazioni > Le forze Vanno considerate tutte le forze, non solo quelle nominate esplicitamente nel testo del problema. Spesso la forza peso non viene nominata esplicitamente, ma c'è sempre. E, in presenza di vincoli, c'è sempre anche la reazione vincolare. Delle forze bisogna conoscere non solo il modulo, ma anche la direzione e il verso.

4 Raccolta informazioni > Vincoli 1 Si parla di vincolo quando un corpo non è libero di muoversi in tutte e tre le direzioni, ma in qualche direzione il movimento è impedito. Esempi: Un oggetto posto appoggiato su un piano, che non può sprofondare/passare attraverso al piano. Un treno che si muove lungo una rotaia. Un bambino sulla giostra, che percorre una traiettoria circolare.

5 Raccolta informazioni > Vincoli 2 Se c'è un vincolo solitamente si riduce il numero di variabili necessarie a descrivere la posizione: Per un corpo appoggiato sul piano basta fornire le sue coordinate x e y, perché il corpo non saltella sul piano. Per un treno che si muove lungo una rotaia basta fornire la distanza del treno s dalla stazione. Per un bambino sulla giostra basta fornire l'angolo a cui si trova rispetto all'istante in cui è partito, oppure la distanza lungo la circonferenza.

6 Raccolta informazioni > Vincoli 3 I vincoli si manifestano attraverso delle forze, le reazioni vincolari. Le reazioni vincolari hanno l'effetto di realizzare materialmente l'azione del vincolo. Esempio: La reazione vincolare che subisce un corpo appoggiato su un piano bilancia la componente perpendicolare al piano di tutte le altre forze agenti, in modo tale che in questa direzione la risultante delle forze sia nulla.

7 Raccolta informazioni > Condizioni iniziali Le condizioni iniziali sono i valori di posizione e velocità all'istante t = 0 s. Sono fornite dal testo del problema. Talvolta non vengono specificate esplicitamente, nel qual caso arriveremo a trovare l'accelerazione ma non potremo identificare la legge oraria e l'equazione della velocità.

8 Diagramma delle forze Il diagramma delle forze è il disegno di tutte le forze agenti sul corpo, rappresentate come vettori di lunghezza proporzionale al modulo e con la CODA nel punto di applicazione della forza. NON METTERE LA PUNTA DEL VETTORE NEL PUNTO DI APPLICAZIONE!!!!

9 Diagramma delle forze Esempio Una cassa di 20 kg è appoggiata per terra. Il coefficiente di attrito dinamico fra il terreno e la cassa vale 0,5. Un uomo spinge la cassa verso destra con una forza di 140 N. F a R v F La forza peso va applicata nel centro del corpo. La reazione vincolare sulla verticale dal centro, sulla base. La forza di attrito sulla base, la forza esterna nel punto in cui è applicata. F p

10 Determinare la risultante La risultante è la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo. La si indica con il simbolo F R Anche se talvolta si usa la lettera F per rappresentare forze esterne agenti sul sistema, non vanno confuse! Essendo la somma di tutte le forze agenti, di risultanti ce n'è sempre e solo una!

11 Determina la risultante Scomposizione Nei moti rettilinei o piani il modo più semplice per sommare tutte le forze è scegliere un sistema di riferimento con assi parallelo e perpendicolare al piano e scomporre le forze nelle loro componenti. Se la componente è diretta nel verso positivo dell'asse, il segno sarà +, se invece è diretta nel verso opposto, il suo segna sarà -.

12 Determina la risultante Esempio Lungo x sono presenti Segno La componente x della forza F + y La forza di attrito orientata verso sinistra R v F x F Rx =F x F a F y F Lungo y sono presenti La forza peso, orientata verso il basso Segno F a F p x La reazione vincolare, orientata verso l'alto + La componente y della forza F, orientata in basso F Ry =R v F P F y

13 Determina la risultante Precisazione F x, F y, F a, F p e R v sono tutti vettori, mentre F x, F y, F a, F p e R v sono i relativi moduli, quindi tutti positivi. Segno di F Rx e F Ry F Rx > 0 F Rx < 0 F Rx è diretta verso destra F Rx è diretta verso sinistra

14 Calcolare l'accelerazione Abbiamo calcolato le componenti della forza risultante agente sul corpo. Applichiamo il 2 principio della dinamica e calcoliamo l'accelerazione. F R =M a È comodo scriverla in componenti F Rx =M a x F Ry =M a y Se il moto è rettilineo, e si scelgono bene gli assi, una delle due componenti sarà nulla. a x = F Rx M a y = F Ry M

15 Ricavare le equazioni del moto Conosciamo a + Conosciamo le condizioni iniziali Possiamo ricavare le equazioni del moto: legge oraria equazione della velocità

16 Ricavare le equazioni del moto: esempi a è costante in modulo, direzione e verso Moto rettilineo uniformemente accelerato a è nulla Moto rettilineo uniforme a è costante in modulo e la traiettoria è circolare Moto circolare uniforme a non è costante

17 Problema svolto > Testo del problema Una cassa di 20 kg è appoggiata per terra. Il coefficiente di attrito dinamico fra il terreno e la cassa vale 0,5. Un uomo spinge la cassa verso destra con una forza di 140 N. La cassa inizialmente è ferma nell'origine del sistema di coordinate scelto. Qual è l'equazione di moto della cassa? Qual è l'equazione della velocità della cassa?

18 Problema svolto > Scelta del sistema di riferimento, vincoli e condizioni iniziali Sistema di riferimento Scegliamo un sistema di riferimento come nel disegno: asse x orizzontale orientato verso destra, asse y verticale orientato verso l'alto, origine nella posizione iniziale della cassa. y O x Vincoli La cassa è appoggiata sul piano Non può passare oltre il piano. C'è una forza, la reazione vincolare, che impedisce alla cassa di muoversi lungo R y. V Il moto avviene nel piano. Condizioni iniziali s 0 =0 m v 0 =0 m s

19 Problema svolto > Identificazione delle forze e diagramma delle forza Forze agenti: Forza peso: verticale verso il basso F P Reazione vincolare: verticale verso l'alto R V R v F Forza applicata: orizzontale verso destra F F a Forza d'attrito: orizzontale verso sinistra F a F p

20 Problema svolto > Calcolo della risultante F=140 N F P =20 kg 9,8 m s =196 N F 2 a =k d R V R v F P =0 N R v =F P =196 N F a R v F F p F Rx =F F a F Rx =F k d R V F Rx =140 N 0,5 196 N =140 N 98 N =42 N

21 Problema svolto > Calcolo dell'accelerazione e determinazione delle equazioni del moto Secondo principio della dinamica La cassa è soggetta a una forza orizzontale costante diretta versa destra, di modulo 42 N. L'accelerazione della cassa sarà quindi data da a= F R M = 42 N 20 kg =2,1 m s 2 L'accelerazione è costante in modulo, direzione e verso, quindi la cassa si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Le equazioni del moto e della velocità sono s=2,1 m s 2 t 2 v=2,1 m s 2 t