p i = 0 = m v + m A v A = p f da cui v A = m m A

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1 Esercizio 1 Un carrello di massa m A di dimensioni trascurabili è inizialmente fermo nell origine O di un sistema di coordinate cartesiane xyz disposto come in figura. Il carrello può muoversi con attrito dinamico µ D su un piano orizzontale parallelo all asse y. Ad un certo istante, a seguito di una esplosione, un proiettile di massa m viene sparato con velocità v lungo la direzione delle y positive. Nota: La massa m del proiettile non è compresa nella massa del carrello. a. Determinare la posizione del carrello quando si ferma. Successivamente il proiettile urta un cilindro pieno di raggio R e massa M inizialmente in quiete e libero di ruotare senza attrito attorno al suo asse, passante per il punto C, supposto fisso e parallelo all asse x. Si trascuri nel moto del proiettile l effetto della gravità su di esso. L urto tra proiettile e cilindro è tale che la massa m penetra nel cilindro fino a fermarsi nel punto P (vedi figura) posto ad una distanza d dall asse del cilindro: l urto avviene in un tempo brevissimo. b. Calcolare il momento d inerzia del sistema cilindro + proiettile rispetto ad un asse passante per C e parallelo all asse x. c. Determinare la velocità angolare ω del sistema cilindro + proiettile subito dopo l urto e la coordinata massima z MAX massima raggiunta dal punto P dopo l urto. d. Calcolare l impulso della reazione vincolare lungo l asse y durante l urto. Compito A: m A = 1.2 kg, µ D = 0.1, m = 0.25 kg, v = 6 m/s, R = 0.7 m, d = 0.5 m, M = 2 kg Compito B: m A = 1.0 kg, µ D = 0.1, m = 0.20 kg, v = 6 m/s, R = 0.6 m, d = 0.4 m, M = 2 kg a. Durante l esplosione la quantità di moto del sistema formato da carrello e proiettile si conserva, poichè non agiscono forze esterne. Vale quindi p i = 0 = m v + m A v A = p f da cui v A = m m A v. Anche il carrello si muove lungo l asse y, in verso opposto rispetto al proiettile. A causa dell urto il carrello, che ha inizialmente questa velocità, si ferma. Il lavoro delle forze di attrito è pari alla variazione di energia (cinetica) del carrello e quindi E = 1 2 m AvA 2 = W nc = µ D m A g y da cui si ricava y = 1 va 2 2 µ d g = 1 m 2 v 2 2 µ D g Il carrello quando si ferma si trova in posizione (0, y, 0) nel sdr indicato. b. Il sistema composto da cilindro + proiettile ha momento d inerzia rispetto all asse indicato pari a m 2 A I TOT = 1 2 MR2 + md 2

2 c. Durante l urto non si conserva la quantità di moto del sistema (a causa del vincolo) mentre si conserva il momento angolare rispetto a C (le reazioni vincolari hanno momento nullo rispetto a questo punto). Il moto avviene lungo l asse y e C si trova nel piano yz: il momento angolare è quindi un vettore diretto lungo l asse x. In modulo: L i = mvd = I TOT ω da cui si ricava la velocità angolare del sistema subito dopo l urto mvd ω = 1 2 MR2 + md 2 In seguito il momento angolare non si conserva, cosa che invece succede all energia (agiscono solo forze conservative, il vincolo è liscio). L energia potenziale del cilindro è costante (non trasla verticalmente -nè orizzontalmente!-) mentre varia quella del proiettile; l energia cinetica è quella del sistema formato sia dal cilindro che dal proiettile, che ruotano entrambi con la medesima velocità angolare intorno all asse per C. Scegliamo come riferimento per l energia potenziale la quota iniziale del proiettile. Il momento iniziale che consideriamo è quello immediatamente successivo all urto, quello finale quello in cui il proiettile raggiunge la quota massima (a sistema fermo): E i = Mgd I TOTω 2 = Mgd + mgz MAX = E f da cui z MAX = 1 I TOT ω 2 2 mg d. Come già accennato, a causa della presenza del vincolo la quantità di moto del sistema cilindro + proiettile NON si conserva durante l urto, e la sua variazione è proprio uguale all impulso delle reazioni vincolari J = p = p f p i = p f,y p i,y poichè il moto del proiettile (il cilindro non trasla) è sull asse y: J = p f,y p i,y = mωd mv = m(ωd v) Compito A: a. y A = m, b. I = 0.55 kg m 2, c. ω = 1.36 rad/s, z MAX = 0.21 m, J = kg m/s Compito B: a. y A = m, b. I = 0.39 kg m 2, c. ω = 1.22 rad/s, z MAX = 0.15 m, J = kg m/s

3 Esercizio 2 Giovanni e Francesco si trovano su un sentiero rettilineo. Scegliamo un sistema di riferimento tale che al tempo t = 0 s essi sono rispettivamente in posizione x G,0 = 0 m e x F,0. a. Giovanni inizia a correre verso l amico con velocità v G, e Francesco gli va incontro con accelerazione a. Determinare quando e dove i due amici si incontrano. b. Nel caso in cui Francesco si allontani da Giovanni accelerando, invece che corrergli incontro, determinare l accelerazione massima tale da permettere a Giovanni di raggiungerlo. Nel caso in cui l accelerazione di Francesco sia pari a questo valore, determinare il momento in cui si incontrano. c. In entrambi i casi a. e b. si disegni un grafico della posizione dei due amici in funzione del tempo. Compito A: x F,0 = 8 m =, v G = 4 m/s, a = 2 m/s 2 Compito B: x F,0 = 6 m =, v G = 5 m/s, a = 2 m/s 2 Chiamiamo x 0 la posizione iniziale di Francesco, x F,0. Nel sistema di riferimento indicato, la posizione di Giovanni e Francesco in funzione del tempo è x G = v G t, x F = x at2 Quando si incontrano x G = x F e quindi che ha soluzioni t = v G ± v 2 G 2ax 0 a 1 2 at2 v G t + x 0 = 0 = v ( G 1 ± 1 2ax 0 a vg 2 a. Ricordiamo che il valore di a è negativo e quindi la soluzione esiste sempre, e quella positiva è t = v ( G 1 1 2ax ) 0 a vg 2 La posizione dell incontro si trova poi facilmente da x = v G t. b. Se il valore di a è positivo, le soluzioni esistono se 1 2ax0 > 0 da cui si ricava la condizione limite per v 2 G a, a MAX = v2 G 2x0. Se a assume questo valore i due amici si incontrano una sola volta. Se a è superiore Giovanni non raggiunge mai Francesco. Se a è inferiore a questo valore i due amici si incontrano due volte: prima Giovanni raggiunge Francesco (che si muove di moto accelerato ma partiva da fermo), poi Francesco lo raggiunge di nuovo e lo supera definitivamente. Compito A: a. t = 1.46s, x = 5.84 m, b. a MAX = 1 m/s 2 Compito B: a. t = 1s, x = 5 m, b. a MAX = 2.1 m/s 2 )

4 Esercizio 3 Un corpo di massa m è appoggiato ad un altro corpo di massa M fermo su un piano liscio. La massa M attaccata ad una molla di costante elastica k attaccata ad un muro. a. Sia µ S il coefficiente di attrito statico tra le due masse. Determinare la compressione massima della molla tale che il corpo m non scivoli rispetto ad M quando la molla viene lasciata libera di oscillare. Compito A: m = 3 kg, M = 4 kg, k = 130 N/m, µ S = 0.1 Compito B: m = 2 kg, M = 3 kg, k = 100 N/m, µ S = 0.15 Le forze che agiscono sui due corpi sono mostrate in figura: Scegliamo un sdr in cui l asse x sia orizzontale verso destra e quello y verticale verso l alto. y: lungo questo asse non c è moto e quindi le reazioni vincolari bilanciano i pesi dei corpi: m : N 2 = mg M : N 1 = (m + M)g x : la forza F è la forza elastica della molla quando viene rilasciata dalla posizione x (compressione, x ha valore positivo se definito in questo modo) rispetto all equilibrio, F = kx. La forza di attrito F a permette di trasferire la forza F, applicata al corpo M, al corpo m. Se i corpi si muovono insieme (m non scivola rispetto a M), vale F = (M + m)a dove a indica la comune accelerazione. Il corpo m si muove sotto l azione della sola forza di attrito e vale quindi F a = ma m. Poichè la forza F a ha un valore limite, anche l accelerazione del corpo m ha un valore limite; vale infatti ma m = F a µ S mg, da cui a m µ S g. Segue quindi che il valore di a trovato quando i corpi si muovono insieme non deve essere superiore a questo valore; in caso contrario il corpo M si muove con accelerazione superiore di quanto non sia possibile a m. Deve quindi valere: da cui x µs(m+m)g k Compito A: a. x = m Compito B: a. x = m a = F m + M = kx m + M µ Sg

5 Esercizio 4 Un corpo puntiforme di massa m scivola lungo la pista liscia in figura (di raggio R) partendo da fermo da una altezza h rispetto al fondo della pista. a. Determinare il valore minimo di h (in funzione di R) perchè il corpo possa compiere un giro completo. b. Nel caso h assuma questo valore, quale forza viene esercitata dalla pista sul corpo quando questo si trova nel punto più basso del percorso (indicato con A)? c. Se la guida termina, dopo il cerchio, con un tratto orizzontale scabro (sia µ D ), a quale distanza dal punto A si ferma il corpo? Il disegno non è da considerarsi in scala. Compito A: m = 0.15 kg, R = 1.6 m, µ D = 0.2 Compito B: m = 0.10 kg, R = 2.0 m, µ D = 0.2 In figura sono mostrate le forze agenti sul corpo in diverse posizioni lungo il giro della morte. Scegliamo in ogni punto della traiettoria un sistema di riferimento radiale, positivo verso il centro. a. Perchè il corpo possa compiere un giro completo, il punto critico è il punto più alto della traiettoria, in cui la reazione vincolare deve essere al limite nulla: il peso fornisce da solo la forza centripeta necessaria per il moto circolare: mg = m v2 R da cui v2 = gr. Durante il moto vale anche la conservazione dell energia, poichè la pista è liscia e agisce solo la forza peso (la reazione vincolare non compie lavoro).

6 Prendendo il punto di partenza (ad altezza h rispetto al fondo della pista, scelto come riferimento per l energia potenziale) e il punto più alto nel cerchio della morte a confronto, vale da cui si ricava h = 5 2 R. E i = mgh = mg2r mv2 = mg2r mrg = E f b. Sfruttando ancora la conservazione dell energia, nel punto più basso della traiettoria E A = 1 2 mv2 A = 5 2 mgr e quindi v2 v2 A = 5gR. L accelerazione verso il centro del cerchio è quindi a = R = 5g e quindi la forza risultante agente sul corpo è F A = 5mg, risultante della forza peso del corpo e della reazione vincolare in A: F A = N mg da cui N = 6mg. c. La variazione di energia cinetica del corpo è pari al lavoro delle forze non conservative: K f K i = 1 2 mv2 A = µ D mg x dove x è lo spazio percorso dal corpo prima di fermarsi. Vale quindi x = v2 A 2µ D. Il medesimo risultato si può trovare a partire da considerazioni cinematiche. Sappiamo che nel caso di moto uniformemente accelerato vale vf 2 = v2 i + 2a x dove v i e v f sono la velocità iniziale e finale di un corpo che si muove con accelerazione a nel percorrere uno spazio x. In questo caso v f = 0 poichè il corpo si ferma, v i = v A, a = µ D g poichè l unica forza agente sul corpo è la forza di attrito che si oppone al moto, F a = mu D mg. Si trova quindi 0 = va 2 2µ Dg x come in precedenza. Compito A: a. h = 4 m, b. N = 8.82 N, c. x = 20 m Compito B: a. h = 5 m, b. N = 5.88 N, c. x = 25 m 2µ D g = 5R