Sistema di punti materiali sistema esteso.

Transcript

1 Sistema di punti materiali sistema esteso. P n z P i P 2 O y P 1 x 1

2 Sistema di punti materiali sistema esteso. z P n z r n P i r i P 2 O r O r 2 y y r 1 P 1 x x 2

3 Sistema di punti materiali sistema esteso. P n z F ext i F ext 2 r n F ext = Σ i (F ext ) i P i F ext n r i O r 2 F ext 1 P 2 y Risultante delle forze esterne al sistema r 1 P 1 x 3

4 Risultante delle forze interne al sistema P n z r n P i F int = Σ j k (F int ) jk =0 r i F int ii P 2 per il terzo principio della dinamica O r 2 F int i1 y r 1 P 1 x 4

5 Sistema di punti materiali sistema esteso. P n z F exti F ext2 Risultante delle forze agenti sul sistema F ext = Σ i (F ext ) i F extn r n P i F int = Σ j k (F int ) jk =0 r i O r 2 F ext1 P 2 y per il terzo principio della dinamica r 1 P 1 R = Σ i R i = Σ i (F ext ) i = F ext x 5

6 R = F ext = Σ i (F ext ) i P n z F ext i F ext 2 Dalla seconda legge della dinamica F ext n r n O r 1 r i P 1 P i P 2 F ext 1 y R = F ext = Σ i (F ext ) i v i Σ i m v i = Σ i m a i = Σ i m = Q = Σ i m i v i t t Quantità di moto del sistema x Se R = 0 (F ext =0, sistema isolato o soggetto a un sistema di forze esterne con vettore risultante nullo) Q = Σ I m v I = cost Il sistema trasla complessivamente con quantità di moto costante. 6

7 R = F ext = Σ i (F ext ) i P n z F ext i F ext 2 F ext n r n r i P i P 2 Q Σ i m i v i R = F ext = = t t O r 1 P 1 F ext 1 y Prima equazione cardinale della dinamica. x 7

8 R = F ext = Σ I (F ext ) i F ext n P n r n z F ext i F ext2 P i r i P 2 F ext1 O O r1 P 1 y Q Σ i m i v i R = F ext = = t t Prima equazione cardinale della dinamica. Centro di massa: x r G = Σ i m i r i Σ i m i v i OG = v G = Σ i m i M v G Σ i m i R = F ext = t 8

9 Prima equazione cardinale della dinamica. Q Σ i m i v i R = F ext = = t t P n z F ext n r n r i F ext i P i F ext2 P 2 r G = Centro di massa: Σ i m i r i Σ i m i v i OG = v G = Σ i m Σ i i m i F ext1 O O r1 P 1 y A un sistema si applica un sistema di forze il cui vettore risultante è R. x M v R = F ext = G v = M G = M a G t t Il centro di massa del sistema è soggetto a un accelerazione pari a R/M, con M massa totale del sistema. 9

10 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 10

11 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 11

12 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 12

13 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 13

14 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 14

15 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 15

16 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente 16

17 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo.e neppure trasla semplicemente Si mette in moto cominciando a ruotare intorno al bordo del tavolo e quindi compie un moto rototraslatorio 17

18 Il disco sul bordo del tavolo Come è possibile impedire che cada? Es.: si trattiene il bordo del disco con uno spago, come nel disegno Affinché il disco sia in equilibrio, è sufficiente richiedere: R=0? NO. Anche se il disco fosse incardinato sul bordo, nella situazione in cui si trova qualora non ci fosse il filo, comincerebbe a ruotare, in modo che la parte sporgente si porti più in basso possibile. 18

19 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero 19

20 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 20

21 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 21

22 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 22

23 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 23

24 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 24

25 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare 25

26 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare. L oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso. 26

27 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare. L oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso. Criterio: Il corpo sta in equilibrio nella posizione in cui il baricentro del corpo si porta nella posizione di minima altezza, compatibilmente con i vincoli che agiscono sul sistema. Spostato da quella posizione comincia ad oscillare intorno ad essa 27

28 Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo G 28

29 Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo Il corpo sospeso per il baricentro sta in equilibrio indifferente (comunque lo si disponga resta fermo si trova in equilibrio) G 29

30 La bilancia a bracci uguali Il giogo della bilancia è imperniato in un punto posto sopra al baricentro. Se si sposta dalla posizione orizzontale comincia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio (Il baricentro sotto al punto di sospensione) Si appende un pesetto sul braccio di destra. 30

31 La bilancia a bracci uguali Si appende un pesetto sul braccio di destra. 31

32 La bilancia a bracci uguali La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema giogo-pesetto si porti sotto all asse di sospensione Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dall altra parte rispetto all asse di sospensione a uguale distanza 32

33 La bilancia a bracci uguali La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema giogo-pesetto si porti sotto all asse di sospensione Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dall altra parte rispetto all asse di sospensione a uguale distanza 33

34 La bilancia a bracci uguali La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema giogo-pesetto si porti sotto all asse di sospensione Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo sul braccio sinistro del giogo un pesetto uguale a quello appeso sul braccio destro a uguale distanza dall asse di sospensione. 34

35 La bilancia a bracci uguali Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. 35

36 La bilancia a bracci uguali Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto. Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. 36

37 La bilancia a bracci uguali b S b D Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto. Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. Si deve appendere il pesetto sul braccio di sinistra a distanza doppia dall asse di sospensione rispetto a quella dei due pesetti posti sul braccio di destra. b s = 2 b d b s = (P D /P S ) b d b s P S = b d P D M S = M D I momenti delle forze hanno lo stesso modulo 37

38 Il momento di una forza rispetto a un punto z M F Vettore con: M = rλf P - modulo M = r F sen α O r y - direzione piano per r e F. - verso regola della mano destra o della vite/cavatappi x α r F 38

39 Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto P n z M F i F 2 F n r n P i r i F 1 O O r1 P 1 P 2 y M = Σ i r i Λ F i x 39

40 Il momento di un sistema di forze rispetto a asse P n b n F i F 2 F n r n b i P i n r i b 2 P 2 O b 1 r 1 F 1 P 1 M n =(M n) n = [(Σ i r i Λ F i ) n]n = (Σ i b i F i)n 40

41 La dinamica dei corpi in movimento M = Σ i r i Λ F i F = m a F i = m i a i v i M = Σ i [r i Λ (m i a i )] = Σ i [r i Λ (m i )] t (r i Λ (m i v i )] [r i (t+ t)λ (m i v i (t+ t)] - [r i (t)λ (m i v i (t)] = = t t [r i (t+ t)λ (m i v i (t+ t)] - [r i (t+ t)λ (m i v i (t)]+[r i (t+ t)λ (m i v i (t)] - [r i (t)λ (m i v i (t)] = t r i (t+ t)λ [m i v i (t+ t)- m i v i (t)] + [r i (t+ t)- r i (t)]λ (m i v i (t)) = = t [m = r i (t+ t)λ i v i (t+ t)- m i v i (t)] [r Λ i (t+ t)- r i (t)] (m i v i (t)) = t t m = r i (t+ t)λ i v i r Λ(m i m i v i (t)) r i (t)λ i v + i v i (t) Λ (m i v i (t)) t t t 41

42 La dinamica dei corpi in movimento M = Σ i r i Λ F i F = m a F i = m i a i v M = Σ i [r i Λ (m i a i )] = Σ i [r i Λ (m i )] i t (r i Λ (m i v i )] m = r i Λ i v i t t (r M = Σ i [r i Λ (m i a i )] = Σ i [ ] i Λ (m i v i )] [Σ (r i Λ (m i v i )] = L M = t t L = Σ (r i Λ (m i v i ) t M = Σ i r i Λ F i = (Σ j r j Λ F j ) ext Dalla terza legge della dinamica 42

43 La seconda equazione cardinale della dinamica Se M ext = 0 - sistema isolato L M ext = ---- t - forze centrali - forze uniformi Conservazione di L Nei corpi rigidi in rotazione intorno ad un asse ω L = I ω M ext =I ---- t I: momento di inerzia 43

44 Equazioni cardinali DINAMICA Q Σ R = F ext = = i m i v i M v G = t t t STATICA R=0 L M=M ext = ---- t M=0 Condizioni necessarie per l equilibrio (sufficienti solo per un corpo rigido) 44

45 A Si applica una forza F all estremo destro della leva tirandola con una fune. La leva ha massa trascurabile rispetto a m Determinare F affinché il sistema: R1) resti in equilibrio R2) ruoti in senso orario con velocità angolare costante R3) ruoti in senso orario con velocità angolare proporzionale a t 45

46 F A M = r s Λ (mg) + r d Λ F + 0ΛF A r s A r d θ F Forze e vettori posizione giacciono sullo stesso piano y m g il momento delle forze è ortogonale al disegno. z x Equilibrio: R = 0 R x = F x + F a x = F sen θ+ F A x = 0 R y = P + F y + F a y = -mg - F cos θ+ F A y = 0 R z = 0 M x = 0 M z = r s mg cos α - r d F M = 0 M y = 0 M z = r s mg sen(90-α) - r d F sen 90 =0 46

47 F A r s A r d θ F M = r s Λ (mg) + r d Λ F + 0ΛF A y m g Equilibrio: x R = 0 F sen θ+ F A x = 0 z M = 0 -mg - F cos θ+ F A y = 0 r s mg cos α - r d F =0 F = (r s /r d ) mg cos α 47

48 F A M = r s Λ (mg) + r d Λ F + 0ΛF A r s A r d θ F y m g z x Situazione dinamica R = m a F sen θ+ F A x = m a x -mg - F cos θ+ F A y = m a y R z = 0 M x = 0 M = m r s2 ( ω/ t) M y = 0 r s mg cos θ - r d F = m r s2 ( ω/ t) M z = r s mg cos α - r d F 48

49 Teorema dell energia cinetica L = Σ i F i R i L = Σ i ma i R i L = m Σ i ( v i / t) R i L = m Σ i ( v i / t) v i t L = m Σ i v i v i v x L = m Σ i v i v i = m Σ i (v ix v ix + v iy v iy + v iz v iz ) Se n --, x 0 v xo v xf v x A. Stefanel - M - L'energia meccanica 49

50 Teorema dell energia cinetica L = Σ i F i R i L = Σ i ma i R i L = m Σ i ( v i / t) R i L = m Σ i ( v i / t) v i t L = m Σ i v i v i v x L = m Σ i v i v i = m Σ i (v ix v ix + v iy v iy + v iz v iz ) Se n --, x 0 v xo v xf v x L = ½ m (v xf + v x0 ) (v x1 v x0 ) + ½ m (v yf + v y0 ) (v yf v y0 )+ ½ m (v zf + v z0 ) (v zf v z0 )= =½ m {[(v xf ) 2 (v x0 ) 2 ] + [(v yf ) 2 (v y0 ) 2 ] + [(v zf ) 2 (v z0 ) 2 ]}= =½ m {[(v xf ) 2 +(v yf ) 2 +(v zf ) 2 ] [(v x0 ) 2 + (v y0 ) 2 + (v z0 ) 2 ]}= =½ m {(v f ) 2 (v 0 ) 2 } L = ½ m (v f ) 2 ½ m (v 0 ) 2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 50

51 Teorema dell energia cinetica L = γ F dr = γ m a dr = t0 tf m (dv/dt) v dt z dr x F y = t0 tf m dv v = t0 tf m (v x dv x + v y dv y + v z dv z ) = ½ m [v 2 (t f ) - v 2 (t o )] L = ½ m (v f ) 2 ½ m (v 0 ) 2 Ha validità generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale. Energia cinetica: Ec = ½ m v 2 u.m.: J L = Ec f Ec 0 = Ec A. Stefanel - M - L'energia meccanica 51

52 Teorema dell energia cinetica Sistema di punti materiali di massa M A, M B, M Z L = Σ K (Σ i F i R i ) Somma su K = A, B,..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma su i =1 n, sugli spostamenti R i cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro delle forze agenti sulla massa K-esima). L = Σ K (1/2 m K V Kf2-1/2 m K V Ko2 ) L = Σ K (1/2 m K V Kf2 ) - Σ K (1/2 m K V Ko2 ) Ec = Σ K (1/2 m K V K2 ) L = Ec f Ec 0 = Ec A. Stefanel - M - L'energia meccanica 52

53 Energia cinetica di un sistema z M B MK Ec = Σ K (1/2 m K V K2 ) G V K 2 = v G2 + v K2 +2 (v K v G ) M A M Z y Ec = ½ M v G 2 + Σ K (1/2 m K v K2 ) x L energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell energia cinetica del centro di massa + l energia cinetica rispetto al centro di massa. A. Stefanel - M - L'energia meccanica 53

54 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B, M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Ec = 1/2 (Σ K m K r K2 )ω 2 Ec = 1/2 I ω 2 r v I = Σ K m K r K 2 Momento di inerzia rispetto all asse di rotazione È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse. A. Stefanel - M - L'energia meccanica Tutti i punti del sistema si muovono con la stessa velocità angolare ω Hanno velocità lineari diverse date da v = ωr.. 54

55 Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi. A. Stefanel - M - L'energia meccanica 55

56 Teorema di Huygens- Steiner Corpo rigido di massa M A 1 A G Momento di inerzia I G rispetto all asse A G passante per il baricentro del sistema. d I A1 = I G + M d 2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 56

57 Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = ½ M v G2 + ½ I ω 2 v G : velocità del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto all asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) ω: velocità angolare di rotazione intorno all asse (in generale non è costante) A. Stefanel - M - L'energia meccanica 57