Fisica 2C. 3 Novembre Domande

Transcript

1 Fisica 2C 3 Novembre 2006 Domande ˆ i) Si consideri un oscillatore armonico smorzato e forzato da una sollecitazione sinusoidale esterna, la cui equazione é tipicamente s + 2γṡ + ω0s 2 = F cos ωt m 1) dimostrare partendo dal principio di conservazione dell energia che la potenza media dissipata(in calore) é γf 2 m ω 2 (ω 2 0 ω2 ) 2 + 4γ 2 ω 2 2) determinare anche per quale valore della pulsazione la potenza dissipata é massima ˆ ii) Un pendolo composto é formato da un disco omogeneo di raggio R. Il pendolo puó oscillare intorno ad un asse perpendicolare al piano del disco e a distanza h dal centro dello stesso. 1)determinare la pulsazione dell oscillazione 2) per quale valore di h la frequenza di oscillazione é massima? ˆ iii) Un asta lineare di dimensioni trasverse trascurabili, di lunghezza L e con massa M, ha una densitá lineare di massa che varia linearmente fra i due estremi nei quali assume i valori ρ(x = 0) = ρ 0 e ρ(x = L) = 3ρ 0. 1)quanto vale ρ 0? 2)quanto vale il momento d inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all asta e passante per l estremo x = 0? 3)quanto vale il momento d inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all asta e passante per il centro? ˆ iv) Dimostrare che in un moto rigido piano le velocitá (vettoriali) di due punti qualsiasi del corpo hanno componenti uguali lungo la retta che congiunge i due punti considerati. Soluzione ˆ i) ˆ ii) 1. Energia totale meccanica E = 1 2 mṡ s2 e quindi la variazione istantanea di energia per unitá di tempo e m sṡ + sṡ. La potenza istantanea del lavoro della forza esterna ṡf cos ωt La differenza rappresenta la potenza dissipata(in calore) e vale 2γmṡ 2 La potenza media dissipata vale quindi 2γmṡ 2 da cui poiché sin 2 (ωt α) = 1/2 si ha l espressione data nel testo. 2. Prendendo la derivata rispetto ad ω e ponendola uguale a zero si ricava che la potenza dissipata é massima per ω = ω Applicare ad esempio il principio della conservazione dell energia. 1 2 Iω2 = mgh(1 cos θ) da cui derivando Iω ω = mghω sin θ (con ω = θ) Pertanto l equazione del moto e ω = d2 θ = mgh I Dal teorema di Huygens I = I C + mh 2 e I C = 1 2 mr2 e quindi ω 2 = mgh (mr 2 /2) + mh 2 = gh (R 2 /2) + h 2 1 sin θ mgh θ da cui ω 2 = mgh I I

2 2. dω 2 dh = 0 h = R 2 ˆ iii) ˆ iv) 1. ρ(x) = ρ 0 (1 + 2x L ) e quindi da M = L 0 ρ(x)dx ρ 0 = M 2L 2. I x=0 = L L 0 x2 ρ(x)dx = ρ 0 0 x2 (1 + 2x L )dx = 5 12 ML2 3. con x = x + L/2 si ha I x=l/2 = ρ 0 L/2 L/2 [1 + 2 L (x + L 2 )]x 2 dx = 1 12 ML2 Se P e P sono due punti qualsiasi in un moto rigido piano generico, le velocitá dei punti sono esprimibili come v P = v A + ω (P A) e v P = v A + ω (P A) essendo A un punto arbitrario. Moltiplicando scalarmente le due equazioni per il vettore che congiunge P con P, cioé (P P ) e sottraendo si ha (v P v P ) (P P ) = (P P ) {ω [(P A) (P A)]} = (P P ) {ω [(P P )]} 0 2

3 Problema 1 Ad sfera piena a riposo di massa M e raggio R, posta su di un piano con attrito µ s e µ d, viene impresso un impulso P = F dt dovuto ad una forza F per un breve intervallo di tempo come mostrato in figura. 1. Si determini l angolo massimo θ 0 per il quale la velocità del centro di massa della sfera è non nulla. 2. Si determini per θ = θ 0 la velocità angolare iniziale della sfera rispetto ad un asse perpendicolare al piano della figura e passante per il centro della sfera. 3. Si determinino le equazioni del moto in funzione dell angolo θ e OPZIONALE si discuta anche qualitativamente il possibile comportamento della corpo al variare di tale angolo. Soluzione 1. Scriviamo le equazioni del moto del centro di massa della sfera per l asse x parallelo al piano e l asse y perpendicolare al piano. Abbiamo: M dv CM x dt = F x f attritox M dv CM y dt = F y + mg T Dove per T si intende la reazione vincolare del piano. Usando il teorema dell impulso, si ha: M v CM x M v CM y t = lim (F x f attritox )dt t 0 0 t = lim (F y + mg T )dt t 0 0 Sfruttiamo ora il fatto che la variazione della velocità del centro di massa lungo l asse y è nulla, e che t lim t 0 mgdt = 0, in quanto integrale in un tempo che tende a zero di una forza costante, per ottenere che la 0 t reazione vincolare del piano e una forza impulsiva, tale che lim t 0 T dt = P 0 y. In presenza di una reazione impulsiva del piano che si oppone al moto lungo la verticale della sfera avremo anche una forza di attrito impulsiva, cioè f x dt 0. L equazione del moto del centro di massa della sfera è dunque: Q = Mv CM (0) = F x f x dt = P x P fx Se il corpo si muove dopo l urto con una velocità v CM maggiore di 0 vuol dire che l impulso impresso dalla forza F è maggiore dell impulso massimo esercitabile dalla forza di attrito - che si oppone al moto. Il modulo dell impulso massimo della forza di attrito è legato alla reazione impulsiva del piano dalla relazione: P fxmax = T µ s dt = P y µ s e in tali condizioni l equazione del moto diventa: Mv CM (0) = P x P y µ s = = (P cos θ P µ s sin θ) 3

4 Al variare dell angolo θ la velocità del centro di massa diminuisce fino a uguagliarsi a 0 in corrispondenza dell angolo θ 0 cercato, che vale dunque: Mv CM (0) = 0 = (P cos θ 0 P µ s sin θ 0 ) tan θ 0 = 1 µ s 2. La velocità angolare iniziale è determinata dagli impulsi dei momenti delle forze agenti sulla sfera. Si ha, calcolando i momenti delle forze rispetto al centro di massa: L = Iω(0) = P y R P y µ s R ω(0) = = 5P 2MR sin θ 0(1 µ s ) 1 µ s 1 + µ s 5P 2MR 3. La velocità angolare iniziale, per ogni angolo θ > θ 0 è di segno opposto a quella che sarebbe necessaria per avere un moto di puro rotolamento, e quindi inizialmente il moto della sfera è rototraslatorio e sottoposto lungo il piano di appoggio solo alla forza di attrito Mgµ d. Dalla prima e dalla seconda equazione cardinale del moto si ottiene: Mv CM (t) = Mv CM (0) Mgµ d t Iω(t) = Iω(0) Mgµ d Rt Quindi la velocità del centro di massa decresce linearmente con il tempo, così come fa la velocità angolare. Al variare dell angolo θ le due funzioni v CM (t) e ω(t)r del tempo t si possono incontrare: (a) Sul semipiano positivo (caso 1). In tal caso la velocità angolare cambia segno prima che la velocità del centro di massa si annulli (θ piccolo), ed ad un certo tempo t viene soddisfatta la relazione v CM = ωr: da quel momento in poi il moto diviene di rotolamento puro. (b) Sull asse dei tempi (caso 2): la velocità angolare e la velocità del CM si annullano nello stesso istante t e la sfera si arresta. Nel caso 3 in cui per un certo t 0 la v CM diventa nulla prima che la velocità angolare cambi di segno possiamo studiare il moto come se, al tempo t 0, avessimo le condizioni iniziali v CM (t 0 ) = 0 e ω(t 0 ) 0. Non è possibile in tal caso avere rotolamento puro per una sfera, in quanto R l accelerazione angolare ω = f attrito I = 5 f attrito 2 MR non è uguale all accelerazione del centro di massa diviso il raggio della sfera a CM R = f attrito : la sfera dunque torna indietro MR strisciando, fino a quando la condizione di puro rotolamento è soddisfatta. Da quel momento in poi la sfera si muove con velocità costante negativa. 4

5 Problema 2 Si consideri un corpo di massa m (m = 0.1 Kg) sospeso al soffitto con una molla di costante elastica ( = Nm) un secondo corpo, anch esso di massa m, è sospeso al primo con una molla identica alla precedente. 1. Si calcolino le frequenze dei modi normali delle piccole oscillazione dei due corpi. 2. Supponendo che la massa del corpo direttamente sospeso al soffitto sia trascurabile, che il soffitto oscilli in verticale con legge oraria Z = Z 0 cos(ωt) e che il sistema sia in condizione di smorzamento critico si calcoli l ampiezza di oscillazione del corpo più distante rispetto al soffitto se ω ω 0 (dove ω 0 è la pulsazione naturale del sistema). Soluzione 1. Posizioni di equilibrio (z 10 z 20 l) = mg z 20 = 2mg + l z 10 = 3mg (z 20 l) (z 10 z 20 l) = mg Scrivo le equazioni del moto utilizzando le coordinate rispetto alle posizioni di equilibrio z 1 = z 1 + z 10, z 2 = z 2 + z l m d2 z 1 = (z 1 + z 01 z 2 z 02 l) + mg m d2 z 2 = (z 2 + z 02 l) + (z 1 + z 01 z 2 z 02 l) + mg Sostituendo a z 01 e z 02 i valori ottenuti per l equilibrio, e notando che l accelerazione del corpo è l accelerazione del suo spostamento dalla posizione di equilibrio, abbiamo le equazioni del moto per gli spostamenti, che per semplicità d ora in avanti chiamiamo z: m d2 z 1 = (z 1 z 2 ) m d2 z 2 = z 2 + (z 1 z 2 ) = (z 1 2z 2 ) d 2 z 1 = ω 2 0(z 1 z 2 ) d 2 z 2 = ω 2 0(z 1 2z 2 ) ω0 2 + ω 2 ω0 2 ω0 2 2ω0 2 + ω 2 = 0 ω 4 3ω 2 ω ω0 4 ω0 4 = 0 ω 2 = 3 ± 5 ω Se m 2 (m 2 ) cambieranno le posizioni di riposo Le equazioni del moto diventano: (z 10 z 20 l) = g z 20 = ( + m 2 )g (z 20 l) (z 10 z 20 l) = m 2 g + l z 10 = (2 + m 2 )g + 2l m 2 d 2 z 2 m 2 d 2 z 2 = (z 1 + z 01 z 2 z 02 l) + g = (z 2 + z 02 l) + (z 1 + z 01 z 2 z 02 l) + m 2 g = (z 1 + 2g z 2 g ) + g = (z 2 + g ) + (z 1 + 2g z 2 g ) + m 2g 5

6 Ovvero le equazioni del moto non cambiano se non per la presenza di due masse diverse e m 2 : = (z 1 z 2) m 2 d 2 z 2 = (z 2) + (z 1 z 2) z 1 = 2z 2 = 2 (z 1) ω 2 1 = 2m (stesso risultato che si avrebbe con due molle in serie) Se il soffitto oscilla seguendo la legge Z = Z 0 cos(ωt) chiamo x = z z 0 Z d 2 z = (z z 0 Z) γ dz dt (z z 0 Z) d 2 x + γx + x = d 2 Z z[t] = Z 0 ω 2 (ω2 ω 2 1 )2 + Γ 2 ω 2 cos(ωt δ) ( se Γ = 2ω 1) Z 0 ω 2 ω 2 + ω 2 1 cos(ωt δ) da cui z 0 = Z 0ω 2 ω 2 1 6