Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi
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- Aniello Molinari
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1 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi L. P. 2 Maggio Quantità di moto e centro di massa Consideriamo un sistema S costituito da N punti materiali. Il punto i (i = 1,..., N) possiede la massa m i, è posto nel punto P i di raggio vettore r i = OP i ed è animato dalla velocità v i = dr i /. La quantità di moto totale del sistema è il vettore P somma delle quantità di moto dei singoli punti che compongono il sistema: P = m i v i = p i. (1) Il centro di massa del sistema è il punto geometrico P CM il cui raggio vettore r CM = OP CM è dato dall espressione r CM = N m ir i N m. (2) i L espressione a secondo membro è detta media pesata dei raggi vettori r i. L espressione centro di massa viene spesso abbreviata in CM. Si dimostra che se un sistema è costituito da due sottosistemi, il primo con massa totale M 1 e CM posto in r 1, e il secondo con massa totale M 2 e CM posto in r 2, il CM r CM del sistema totale è posto in r CM = M 1r 1 + M 2 r 2. (3) M 1 + M 2 Questa relazione permette di valutare il CM di un sistema complesso suddividendolo in sottosistemi e valutando la posizione del CM di ciascuno di essi, e valutando la posizione del CM del sistema totale come se la massa di ciascun sottosistema fosse concentrata nel suo CM. Teorema del centro di massa: La quantità di moto totale di un sistema è espressa da ( N ) P = m i dr CM ( N ) = m i v CM. (4) In altre parole, essa è uguale alla quantità di moto di un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema, e animato di una velocità pari alla velocità del CM.
2 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi 2 2. Prima equazione cardinale È una conseguenza del terzo principio della dinamica che la variazione nel tempo della quantità di moto totale di un sistema ha luogo solo per l azione delle forze esterne ad esso. Prima equazione cardinale del moto dei sistemi: La derivata della quantità di moto totale di un sistema rispetto al tempo è pari alla risultante delle forze esterne applicate al sistema: N dp = fi ext. (5) In questa equazione fi ext è la risultante delle forze esterne al sistema che agiscono sul punto i. Per il teorema del centro di massa, questa derivata è pari al prodotto della massa totale del sistema per l accelerazione del centro di massa: dp = ( N ) m i dv CM = Ma CM, (6) dove M = N m i è la massa totale del sistema. Un sistema è detto isolato se su di esso non agiscono forze. Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto di un sistema isolato rimane costante: dp = 0. (7) Conseguentemente, il CM di un sistema isolato rimane in quiete, o si muove di moto rettilineo uniforme. 3. Momento angolare Dato un punto materiale di massa m, posto nel punto P di raggio vettore r e animato dalla velocità v, e un punto geometrico O di raggio vettore r O = OO detto polo, il momento angolare del punto materiale rispetto ad O è espresso da L = (r r O ) mv. (8) Il vettore r r O = O P può essere considerato come il raggio vettore di P preso a partire dal polo O. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali preso rispetto a un polo O è pari alla somma dei momenti angolari dei singoli punti materiali che lo costituiscono: L = (r i r O ) m i v i. (9)
3 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi 3 Cambio di polo: Se indichiamo con L O il momento angolare di un sistema valutato rispetto al polo O, e con L O quello valutato rispetto al polo O, si ha L O = L O + (r O r O ) P = O O P, (10) dove P è la quantità di moto totale del sistema. In particolare, se il CM del sistema è in quiete, il momento angolare totale non dipende dal polo. Teorema di König del momento angolare: Dato un polo arbitrario O e il momento angolare totale L O valutato rispetto ad esso, si ha L O = L CM + (r CM r O ) P, (11) dove r CM è il raggio vettore del CM, P la quantità di moto totale, e L CM è il momento angolare totale valutato rispetto al centro di massa. In altri termini, il momento angolare di un sistema valutato rispetto ad un polo O arbitrario è pari al momento angolare valutato rispetto al CM, più il momento angolare di un punto materiale avente la quantità di moto totale del sistema e posto nel CM. 4. Seconda equazione cardinale Il momento di una forza f applicata a un punto materiale posto in P e valutato rispetto ad un polo O è dato dall espressione τ = OP f = (r P r O ) f. (12) È una conseguenza del terzo principio della dinamica che la variazione del momento angolare totale di un sistema rispetto ad un polo fisso ha luogo solo per l azione delle forze esterne ad esso. Il momento angolare totale di un sistema rispetto ad un polo O è pari alla somma dei momenti angolari dei singoli punti materiali che lo costituiscono, valutati rispetto allo stesso polo O. Seconda equazione cardinale del moto dei sistemi: La derivata del momento angolare totale di un sistema valutato rispetto a un polo fisso è pari alla risultante dei momenti delle forze esterne applicate ai punti materiali che lo costituiscono: N dl = τ ext i = (r i r O ) f ext i. (13) Si dimostra che la stessa relazione vale se i momenti angolari e i momenti delle forze sono tutti valutati rispetto al CM: dl CM = (r i r CM ) fi ext. (14) Conservazione del momento angolare: In un sistema isolato, il momento angolare totale, valutato rispetto a un polo fisso o al CM, si conserva: dl = 0. (15)
4 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi 4 5. Energia cinetica L energia cinetica di un punto materiale di massa m, animato da una velocità v, è data dall espressione K = 1 2 mv2. (16) L energia cinetica totale di un sistema di punti materiali, rispettivamente di massa m i e animati valla velocità v i, è pari alla somma delle energie cinetiche dei punti matriali che lo costituiscono: K = 1 2 m iv 2 i. (17) Teorema di König dell energia cinetica: L energia cinetica di un sistema di punti materiali è pari alla somma dell energia cinetica del sistema, valutata in un sistema di riferimento solidale con il centro di massa, più l energia cinetica di un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema, animato dalla velocità del centro di massa: dove K = K CM Mv2 CM, (18) K CM = 1 2 m i (v i v CM ) 2. (19) Teorema dell energia cinetica per i sistemi: La variazione dell energia cinetica di un sistema in un certo intervallo di tempo è pari alla somma del lavoro compiuto da tutte le forze (esterne ed interne) su ciascuno dei punti punti materiali che lo costituiscono: K = K f K i = W i ; (20) W i = tf 6. Energia potenziale t i fi ris (t) dr i. (21) Una forza agente su un punto materiale è detta conservativa se il lavoro che essa compie quando il punto si sposta da un punto A a un punto B lungo un percorso C dipende solo dagli estremi A e B del percorso e non dalla particolare curva C lungo cui esso si effettua. A una forza conservativa si può associare una funzione scalare della posizione, detta energia potenziale. Scelto arbitrariamente un punto di riferimento O in cui l energia potenziale si annulla, l energia potenziale U(r) nel punto generico P di raggio vettore r è pari all opposto del lavoro compiuto dalla forza nello spostare il punto da O a P lungo una curva C arbitraria: U(r) = P O f(r ) dr. (22)
5 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi 5 Da questa definizione segue che la componente α della forza (α = x, y, z), valutata in P, è pari alla derivata parziale di U(r) fatta rispetto ad α, cambiata di segno: f x = U x ; f y = U r y ; f z = U r z. (23) r Queste relazioni possono essere riassunte con la notazione nabla. Introducendo l operatore nabla definito dall espressione = i x + j y + k z, (24) dove i, j e k sono i versori degli assi, si ha f(r) = U(r). (25) La nozione di forza conservativa si estende a forze che si applicano a due o più punti materiali. Dato un sistema di N punti materiali identificati dall indice i, si dice che essi sono sottoposti a un campo di forze conservative se il lavoro di queste forze, quando i punti cambiano le loro rispettive posizioni dalla posizione iniziale X 0 = (r 0 1,..., r 0 N ) alla posizione finale X = (r 1,..., r N ), dipende solo da X 0 e X e non dal particolare percorso seguìto dai punti nel loro spostamento. In questo caso è possibile associare alle forze una funzione energia potenziale U(r i,..., r N ), tale che la forza agente sul punto i è data da f i (r 1,..., r N ) = i U(r 1,..., r N ), (26) dove abbiamo introdotto la notazione i = i x i + j y i + k z i. (27) Il lavoro W compiuto dalle forze nello spostamento del sistema dalla configurazione X 0 alla configurazione X è pari all opposto della differenza fra l energia potenziale in X e quella in X 0 : W = U(r 1,..., r N ) + U(r 0 1,..., r N ). (28) Se il sistema non è sottoposto a forze esterne, l energia potenziale del sistema rimane invariata rispetto a una traslazione arbitraria: U(r 1 + a,..., r N + a) = U(r 1,..., r N ), a. (29) In generale, è utile distingeure fra l energia potenziale U int interna al sistema, dovuto alle interazioni fra le particelle che compongono il sistema, e l energia potenziale U ext dovuta alle forze esterne applicate al sistema. Se le forze agenti fra le particelle sono interazioni di coppia, l energia potenziale ha per espressione i 1 U(r i,..., r N ) = u ij (r i, r j ), (30) i=2 j=1 dove ogni coppia di indici (i, j) compare una volta sola. Per il terzo principio della dinamica si può mostrare che l energia potenziale di coppia u ij (r i, r j ) dipende solo dalla distanza r i r j fra i due punti.
6 Relazioni fondamentali nella dinamica dei sistemi 6 7. Conservazione dell energia meccanica Se un sistema è sottoposto all azione di sole forze conservative, per il teorema dell energia cinetica si ha Quindi K = K f K i = W = U(X f ) + U(X i ). (31) K f + U(X f ) = K i + U(X i ) = E = const. (32) In un sistema sottoposto a sole forze conservative la somma dell energia cinetica e dell energia potenziale rimane costante. Questa somma è chiamata energia meccanica. Se sul sistema agiscono forze conservative e non conservative, la variazione dell energia meccanica è pari al lavoro delle forze non conservative che agiscono sul sistema: E = E f E i = W nc, (33) dove W nc è il lavoro delle forze non conservative che agiscono sul sistema. Per il teorema di König dell energia cinetica, e tenendo conto della decomposizione dell energia potenziale in interna ed esterna, l energia meccanica può essere divisa in energia interna E int = K CM + U int ed energia esterna E ext = 1 2 Mv2 CM + U ext : E = ( K CM + U int) ( ) Mv2 CM + U ext = E int + E ext. (34)
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