Momento di una forza

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1 Momento di una forza Se è la forza che cambia il moto, cos è che cambia la rotazione? Momento, τ, di una forza, F : è un vettore definito come τ = r F. Il momento di una forza dipende dall origine e dal punto ove la forza è applicata! (tipicamente, l origine è scelta su di un asse di rotazione) φ è l angolo fra la forza F e il vettore r fra l origine e il punto di applicazione della forza τ = rf sin φ = df dove d = r sin φ è il braccio del momento o della leva

2 Momento di una forza (2) Il momento della forza ci dà la tendenza di una forza a far ruotare un corpo (attorno ad un certo asse). Solo la componente della forza ortogonale a r produce momento, ovvero tende a far ruotare un corpo La componente lungo r della forza non produce momento, ovvero non tende a far ruotare un corpo Il momento è positivo se la rotazione indotta è antioraria Unità SI del momento: N m. Attenzione: benché il momento sia una forza moltiplicata per una distanza, è molto diverso da lavoro ed energia! Il momento non si indica mai in Joule.

3 Momento angolare di una particella Se il momento è l analogo rotazionale della forza, qual è l analogo rotazionale della quantità di moto? consideriamo il caso di un punto materiale Momento angolare: è un vettore, di solito indicato con l, definito come l = r p dove p = m v è la quantità di moto di una particella. E noto anche come momento della quantità di moto Il suo valore dipende dalla scelta dell origine E nullo se r p, ha modulo L = rp sin φ, dove φ è l angolo fra r e p.

4 Equazioni del moto in forma angolare Dalla II legge di Newton, scelta un origine, troviamo: d l dt = d( r p) dt = d r dt p + r d p dt = 1 m p p + r F = τ Quindi, d l dt = τ, analogo rotazionale della II Legge di Newton. Non è una nuova legge fondamentale della dinamica! E la II legge di Newton, specializzata al caso del moto rotatorio l e τ sono calcolati rispetto agli stessi assi e alla stessa origine fissa; tuttavia la legge vale qualunque siano gli assi e l origine scelta Se τ = 0, l è costante (analogo rotazionale della I legge di Newton) Quanto sopra è valido per sistemi di riferimento inerziali

5 Verifica della II legge in forma angolare Consideriamo il moto di un proietto come in figura: { vx (t) = v 0 v y (t) = gt ; { x(t) = v0 t y(t) = h gt2 ; Calcoliamo ora il momento angolare: l = r p = m r v = m(xvy yv x )ˆk = mv 0 ( h gt2 ) ˆk e il momento della forza di gravità: τ = r F g = m r g = mgxˆk = m(v 0 gt)ˆk da cui si verifica immediatamente che d l dt = τ

6 II legge in forma angolare e moto circolare uniforme Nel moto circolare uniforme, la forza centripeta F c ha momento nullo (calcolato rispetto al punto C, centro di rotazione): τ = r F c = 0, da cui d l dt = 0. Il vettore l (pure calcolato rispetto al punto C) è quindi costante, con modulo l = mvr = mωr 2, direzione ortogonale al piano, verso secondo la regola della mano destra. Da v = ω r si trova l = r p = r (m ω r) = m ωr 2 m r( ω r) da cui l = l a + l dove l a = m ωr 2 è parallelo all asse di rotazione, l ortogonale. Per il nostro caso, l = 0 e l = mr 2 ω

7 Momento angolare di un sistema di particelle Il momento angolare di un sistema di particelle, che indichiamo con L, è la somma vettoriale dei momenti angolari di ogni particella: L = l 1 + l l n = n li i=1 Differenziando rispetto al tempo: d L dt = n i=1 d l i dt = n i=1 τ i = τ ext dove τ ext è la somma vettoriale dei momenti delle sole forze esterne. Analogamente al caso della quantità di moto, la somma dei momenti delle forze interne è nulla e non induce variazioni del momento angolare totale.

8 Momento angolare di un corpo rigido Per un corpo rigido, il momento angolare totale diventa un integrale. Per il caso semplice di un disco sottile, il momento angolare L vale L = i m i r i v i = i m i r 2 i ω I ω dove I è il momento d inerzia del disco attorno all asse di rotazione. In generale possiamo scrivere, per la proiezione L a del momento angolare lungo l asse di rotazione, L a = Iω. Questo è l analogo rotazionale della relazione p = m v fra quantità di moto e velocità. La relazione fra momento e accelerazione angolare: dl a dt = Iα = τ ext,a valida per asse di rotazione fisso, è l analogo rotazionale di m a = F.

9 Equilibrio di un corpo rigido Il momento totale (o risultante) è la somma vettoriale dei momenti. Nell esempio accanto, la forza F 1 tenderà a causare una rotazione antioraria del corpo; la forza F 2 tenderà a causare una rotazione oraria del corpo. τ = τ 1 + τ 2 = (d 1 F 1 d 2 F 2 ); il vettore τ è ortogonale al piano. Condizioni di equilibrio statico per un corpo rigido: F i = 0 ; τ i = 0 i i

10 Conservazione del momento angolare Il momento angolare di un corpo, o di un sistema di particelle, è conservato se la risultante dei momenti delle forze esterne è nulla: L = costante = L f = L i durante un processo in cui non agiscano momenti esterni. Ciò rimane vero anche se la massa si ridistribuisce e il momento d inerzia cambia durante il processo. Se l asse di rotazione rimane fisso, vale la relazione: L = I f ω f = I i ω i dove I i,f sono i momenti d inerzia iniziale e finale, ω i,f le velocità angolari iniziale e finale. Se I f > I I, allora ω f < ω i e viceversa.

11 Conservazione del momento angolare II La conservazione del momento angolare una legge fondamentale che dispiega i suoi effetti dalle stelle di neutroni alle particelle subnucleari......e anche sui gatti, che conoscono il modo di girarsi in volo e atterrare sulle zampe senza violare la legge di conservazione del momento angolare