A) elemento della barra tra B) elemento della barra con

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1 Esercizio Una barra prismatica, la cui sezione retta ha area A 0 =00 mm 2, è soggetta a una forza di trazione pari a F= N. Qual è la forza agente su una superficie tagliata obliquamente, la cui normale forma una angolo di rispetto all asse del provino? Quali sono le componenti di questa forza secondo la normale e ortogonalmente ad essa? Quali le corrispondenti tensioni medie su A 0? Soluzione F F A) elemento della barra tra B) elemento della barra con due sezioni rette all asse una sezione obliqua Per l equilibrio (somma di tutte le forze agenti sul corpo uguale a zero), sulla sezione retta e sulla sezione obliqua sono applicate forze F allineate, uguali in valore, contrarie in verso. Sulla sezione obliqua uscente, perciò: n F N F T Componente secondo la normale n : N=F cos= ,866=7.300 N Componente ortogonale alla normale n : T=F sin= ,5=0.000 N Area della sezione obliqua: A=A 0 /cos=5,5 mm 2 N La tensione normale (media) è: = = =50 N/mm2 A 5,5 N La tensione tangenziale (media) è: = = = 86, 6 N/mm2 A 5,5

2 Esercizio 2 Sui tre lati di un parallelepipedo elementare agiscono tensioni di trazione pari a: σ = 200 N/mm 2 σ 2 = 0 N/mm 2 σ 3 = 0 N/mm 2 Trovare le tensioni e agenti su una superficie interna obliqua, la cui normale sta sul piano -2 ed è inclinata di rispetto all asse. Soluzione Il cerchio di Mohr relativo al piano -2 è: Il punto P, intersezione del cerchio di Mohr con la retta inclinata di rispetto all orizzontale, ha coordinate: =200 cos 2 =50 N/mm 2 =200 sin cos=86,6 N/mm 2 σ =200 2

3 Esercizio 3 Sui tre lati di un parallelepipedo elementare agiscono le tensioni di trazione pari a: σ = 300 N/mm 2 σ 2 = 00 N/mm 2 σ 3 = 0 N/mm 2 Trovare le componenti di tensione agenti su una superficie obliqua la cui normale sta sul piano -2 ed è inclinata di -45 rispetto all orizzontale. Soluzione Il cerchio di Mohr relativo a piano -2 è: σ 2 =00 σ = P Il punto P, intersezione del cerchio con la retta inclinata di -45 rispetto all asse orizzontale, ha coordinate: = cos 2 45 =00+00=200 N/mm 2 =200 cos45 sin45 =-00 N/mm 2 La corrispondenti tensioni sulla superficie obliqua hanno le seguenti rappresentazione vettoriale: 45 3

4 Si sottolinea l importanza di capire (vedere le lezioni) perchè a un agente nel verso qui indicato corrisponde un valore di negativo sul piano di Mohr. Se il segno (e il verso) di non interessano, si può tracciare il solo semicerchio positivo di Mohr: P =200 N/mm 2 =00 N/mm 2 4

5 Esercizio 4 Sui tre lati di un parallelepipedo elementare agiscono le tensioni di trazione pari a: σ = 200 N/mm 2 σ 2 = -00 N/mm 2 σ 3 = 0 N/mm 2 Su una sezione obliqua, la cui normale è sul piano -2 ed è inclinata di rispetto all asse, agiscono componenti di tensione. Individuarne il valore, la direzione, il verso. Soluzione Il cerchio di Mohr relativo al piano -2 è: Fig. A P σ 2 = -00 σ =200 Le coordinate del punto P: = cos 2 = =25 N/mm 2 =300 cos sin=30 N/mm 2 5

6 Se il campo delle tensioni fosse stato unidimensionale con valori: σ =300 N/mm 2 σ 2 =0 N/mm 2 σ 3 =0 N/mm 2 Fig. B P N T ω σ n =225 N/mm 2 ; =30 N/mm 2 Moltiplicando per l area della sezione obliqua, da n (con da n = da /cos), si ottengono il vettore T, di valore da n, e il vettore N, di valore da n (vedere lezione 2, unità ). Aggiungendo il campo idrostatico (piano) di sole tensioni normali = -00 N/mm 2, si ottiene il cerchio di Mohr della figura A. In figura C si riprende il cerchio di figura A, identificando le componenti di forza agenti sulla superficie obliqua: Fig. C σ () n cos = dn() A ()=30 N/mm 2 P () dt() = cos da ()=25 N/mm 2 6

7 2 n Esercizio 5 Nello stesso caso dell esercizio 4, calcolare e agenti sulla superficie la cui normale è inclinata di -60 rispetto all asse (si noti che è ortogonale alla normale a + dell esercizio 4). Soluzione Q 7

8 Coordinate del punto Q: = cos 2 60 =-25 N/mm 2 =-300 cos60 sin60 =-30 N/mm 2 Le superfici e i versi delle forse (congruenti dovute a e ) su esse agenti, insieme ai valori delle tensioni sono: 25 N/mm 2 n() 30 N/mm N/mm 2 25 N/mm 2 n(-60 ) 8

9 Esercizio 6 Nello stesso caso dell esercizio 4, rappresentare le tensioni e e le forze N e T agenti su una superficie obliqua la cui normale formi un angolo di -45 rispetto alla dimensione. (-45 ) (-45 ) dt(-45 ) = cos45 da (-45 ) P σ (-45 ) n dn(-45 ) = cos45 da 9

10 Esercizio 7 Sui tre lati di un parallelepipedo elementare agiscono le tensioni di trazione pari a: σ = 200 N/mm 2 σ 2 = 0 N/mm 2 σ 3 = -200 N/mm 2 Trovare le componenti di tensione (abbreviato, le tensioni) agenti su una superficie obliqua la cui normale è inclinata di -45 rispetto all asse. (-45 )=-200 (-45 ) dt(-45 ) τ = cos45 n (-45 ) dt(-45 ) = da cos45 da (-45 )=0 Esercizio 8 Nei casi degli esercizi 4 e 6, trovare le tensioni sapendo che della tensione tangenziale interessa conoscere il solo valore assoluto. 0