Equazione vettoriale del piano

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1 Osservazione (/) z s P 0 (x 0, y 0,z 0 ) P(x, y,z) v (0) v (0) +vt v (0) +vt+ut Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design 9 Marzo 00 Piani e posizioni reciproche rette e piani F. Caliò x 0 vt ut Al variare dei due parametri t e t in R il punto rappresentatore del vettore somma v (0) +vt+ut descrive un piano passante per le due rette r e s incidenti in P 0 y r 4 Piano in forma vettoriale Un qualunque punto P rappresentatore di un vettore algebrico p Equazione vettoriale del piano x0 + vt + u t p = y 0 + v t + ut z0 v t ut + + t t appartiene al piano individuato dalle due rette incidenti in P 0 (x 0,y 0,z 0 ) x0 + vt r = y 0 + v t z + v t 0 t x0 + ut s = y 0 + ut z0 + ut t 5 x Osservazione (/) z P 0 r un piano si può pensare come insieme di punti appartenenti a parallele ad una retta data s, condotte attraverso i punti di una retta r incidente la retta data s y Dato il piano Vettori di giacitura 0 x + v t + u t 0 p = y + v t + u t t t 0 z + v t + u t esso passa per il punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e ad esso appartengono le rette incidenti in P 0 ed aventi vettori di direzione v u che si dicono vettori di v = v, u = u giacitura del piano v u Un equazione vettoriale di un piano è dunque determinabile attraverso le coordinate di un punto e due direzioni (vettori di giacitura) 6 Lezione 9 Marzo 00 Pagina

2 Esercizio: equazione di un piano dato un punto e due direzioni Individuare un equazione vettoriale del piano passante per O e avente vettori di giacitura v =, 0 Una equazione vettoriale del piano è u = Esercizio: piano per tre punti Determinare una equazione vettoriale del piano passante per i tre punti P(,,), Q(-,0,), R(0,-,-) + t Una equazione vettoriale della r = t t retta da Q a P: + t Una equazione vettoriale della retta da Q a R: + t = t t r ( ) t R t t p = t + t t t R,t R 7 Le due rette non sono parallele ed hanno in comune il punto Q(-,0,) (dunque i tre punti P,Q,R non sono allineati), i loro vettori di direzione possono essere considerati come vettori di giacitura del piano. 0 Esercizio: equazione vettoriale di xy Si possono assumere come vettori di giacitura del piano coordinato xy i vettori direzione dell asse x e dell asse y aventi come equazioni vettoriali, ad esempio: t x = 0 0 t R, 0 y = t 0 Dunque un equazione vettoriale di xy è: t p = t 0 t R,t R t R 8 Una equazione vettoriale del piano è: + t + t p = 0 + t t + t t i cui vettori di giacitura sono: passa per il punto Q(-,0,) passa per il punto S(,0,) t,t, Esercizio: piano per due rette Determinare una equazione vettoriale del piano passante per le due rette + t t ( ) r = t t r = + t t t Le due rette sono incidenti nel punto P 0 (,0,) (dunque determinano un piano); i loro vettori di direzione possono essere considerati come vettori di giacitura del piano. Una equazione vettoriale del piano è: Perpendicolarità fra Retta e Piano + t + t p = 0 + t + t + t t,t 9 una retta si dice perpendicolare a un piano quando è perpendicolare a tutte le rette del piano Lezione 9 Marzo 00 Pagina

3 Perpendicolarità: Condizione necessaria e sufficiente Una retta è perpendicolare ad un piano se e solo se è perpendicolare ad almeno due rette del piano distinte e non parallele fra loro Necessaria: SE una retta è perpendicolare ad un piano ALLORA è perpendicolare a due vettori di giacitura del piano. Problemi sulla perpendicolarità fra retta e piano Siano p=v (0) + vt + ut un piano e r=w (0) + wt una retta Verifica di perpendicolarità: deve risultare: wv =0 e wu=0 Sufficiente: perché una retta sia perpendicolare ad un piano dato BASTA CHE sia perpendicolare a due vettori di giacitura del piano. Costruzione della direzione perpendicolare al piano: si costruisce w proporzionale a uλv 6 Condizione necessaria (una retta è perpendicolare ad un piano se è perpendicolare a due vettori di giacitura del piano). Verifica: una retta DATA è perpendicolare ad un piano DATO se risulta perpendicolare a due vettori di giacitura del piano. 4 Perpendicolarità retta-piano: Esercizio di verifica Verificare che la retta + t" r = t" è perpendicolare al piano t" + t t p = t + t + t + t t,t Infatti il vettore di direzione della retta r: 0 ha prodotto scalare nullo con i due vettori di giacitura del piano, + 0 = = 0 7 Condizione sufficiente (se una retta è perpendicolare a due vettori di giacitura del piano allora è perpendicolare al piano ). Costruzione: DATO un piano, per costruire una retta perpendicolare al piano si determina una retta di direzione perpendicolare a due vettori di giacitura del piano. Perpendicolarità retta-piano: Esercizio di costruzione Dato il piano + 5t t p = t + t t R,t R + t individuarne la direzione perpendicolare. La direzione perpendicolare al piano è la direzione del prodotto vettore dei vettori di giacitura del piano: = = Lezione 9 Marzo 00 Pagina

4 Condizione sufficiente (se una retta è ortogonale alla direzione perpendicolare al piano, allora è parallela al piano) Parallelismo fra Retta e Piano una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno punti in comune Costruzione: DATO un piano, per costruire una retta parallela al piano si determina la direzione perpendicolare al piano, quindi si considera una generica retta ortogonale a tale direzione. 9 Parallelismo: Condizione necessaria e sufficiente Una retta è parallela ad un piano se e solo se non appartiene al piano ed è ortogonale alla direzione perpendicolare al piano Necessaria: SE una retta è parallela ad un piano ALLORA è ortogonale alla direzione perpendicolare al piano e non vi appartiene. Problemi sul parallelismo fra retta e piano Siano p=v (0) + vt + ut un piano e r=w (0) + wt una retta Verifica di parallelismo: deve risultare: w (uλv) = 0 Sufficiente: perché una retta sia parallela ad un piano dato BASTA CHE non appartenga al piano e sia ortogonale alla direzione perpendicolare al piano. 0 Costruzione di una parallela al piano: si costruisce w proporzionale a u (oppure a v ) Condizione necessaria (una retta è parallela a un piano se è ortogonale alla direzione perpendicolare al piano) Verifica: una retta DATA è parallela a un piano DATO se risulta ortogonale al prodotto vettore di due vettori di giacitura del piano e non ha punti comuni con il piano. Parallelismo retta-piano: Esercizio di verifica t" Verificare che la retta + r = t" t" è parallela al piano t + t p = t t t,t + t + t Vettore di direzione della retta: 0 vettori di giacitura del piano:, 4 Lezione 9 Marzo 00 Pagina 4

5 direzione perpendicolare al piano: I due vettori: 0 (direzione retta) = 5 5 (perpendicolare al piano) sono ortogonali perché il loro prodotto scalare è nullo: = 0 Quindi la retta è parallela al piano oppure appartiene al piano 5 Punti comuni retta-piano Esistono tre sole possibilità. Una retta ha in comune con un piano: nessun punto: retta e piano sono paralleli due punti (tutti): la retta appartiene al piano un solo punto: la retta è incidente il piano 8 Parallelismo retta-piano: Esercizio di costruzione Determinare una retta passante per P(,-4,0) e parallela al piano + t t p = t + t t,t + t + t + t" r = 4 t" t" t" Infatti il vettore di direzione della retta: passa per P ed è parallela al piano coincide con un vettore di giacitura del piano. 6 Primo Esercizio sull intersezione retta-piano: Dati: + t" la retta r = t" t" t + t e il piano p = t t,t stabilire la loro posizione reciproca + t = t + t = t t R, t R, t R t = 9 Intersezione fra Retta e Piano L unica soluzione è data da questa terna di valori: = 5 t = t = Il piano e la retta dati hanno in comune il solo punto P( -5,-,-) Quindi la retta e il piano sono incidenti 7 0 Lezione 9 Marzo 00 Pagina 5

6 Secondo Esercizio sull intersezione retta-piano: Dati: + t" la retta r = 0 t" t" t + t e il piano p = t t,t t stabilire la loro posizione reciproca Non esiste nessuna soluzione, che soddisfi alle seguenti condizioni: = t t = 0 t = + t Il piano e la retta non hanno punti comuni + t = t + t 0 = t t R, t R, t R t = t Quindi la retta è parallela al piano 4 Esiste un infinità di soluzioni, che devono soddisfare alle seguenti condizioni: = t t = 0 t = t Il piano e la retta dati hanno infiniti punti comuni Quindi la retta appartiene al piano Terzo esercizio sull intersezione retta-piano: Dati: la retta t" r = 0 t" t" t + t e il piano p = t t,t t stabilire la loro posizione reciproca = t + t 0 = t t = t t R, t R, t R Lezione 9 Marzo 00 Pagina 6