Lezione 12 - I cerchi di Mohr

Transcript

1 Lezione 1 - I cerchi di Mohr ü [A.a : ultima revisione 3 novembre 013] In questa lezione si descrive un classico metodo di visualizzazione dello stato tensionale nell'intorno di un punto generico del corpo in esame. Tale metodo e' stato originariamente proposto da tto Mohr nella seconda meta' dell'ttocento [Mohr], in stretta connessione con l'analisi della tensione; tuttavia esso e' facilmente estendibile a casi diversi, quali l'analisi della deformazione ed i problemi di geometria delle masse, ed in ambiti piu' generali puo' essere applicato ad un qualsiasi tensore del secondo ordine. Figura 1 - tto Mohr La convenzione sui segni di tto Mohr Si consideri un punto generico, e si fissi una terna cartesiana di riferimento H, x 1, x, x 3 L. Si vuole ora esaminare come varia il vettore tensione t n in sui piani che si appoggiano all'asse x 3, al variare dell'angolo f che definisce il piano generico (cfr. Figura ).

2 80 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb X 3 =l τ nl X φ m φ X 1 n Figura - I piani per che si appoggiano all'asse z = l, definiti dall'angolo f e soggetti alla tensione normale s n ed alle tensioni tangenziali t nm e t nl = t nz Su ciascun elemento piano cosi' determinato agiscono una tensione normale s n ed una tensione tangenziale di componenti t nm e t nl = t nz. Nel piano Hx 1, x L, quindi, agiscono le tensioni s n e t nm, come riportato in Figura 3 Si noti che in Figura e' stata riportata la tensione tangenziale positiva secondo la convenzione di Mohr, diretta in modo da far ruotare il cubetto elementare in senso orario intorno al suo baricentro. E' questa una convenzione sui segni molto usata nell'ambito della teoria dei cerchi di Mohr, che si andra' a sviluppare nel paragrafo seguente, convenzione in contrasto con la convenzione usuale sui segni delle componenti cartesiane di tensione s 1. Ed infatti, dalla Figura 3 si evince con facilita' che quando f = p/, e quindi n viene a coincidere con l'asse x, la t nm e' pari, in valore e segno, alla tensione s 1, ma che quando f = 0, e quindi n coincide con l'asse x 1, si ha che la t nm e' uguale e contraria alla s 1. Il teorema di Mohr er ciascun elemento piano appoggiato all'asse x 3, e definito dall'angolo f, si riporti in un piano st (piano di Mohr) il vettore di componenti s n e t nm. Si dimostrera' il seguente: Teorema (. Mohr 188) - Il vettore di componenti (s n,t nm ) descrive nel piano st un cerchio, al ruotare dell'elemento piano intorno all'asse l = x 3. Dimostrazione - Siano Hm 1, m, 0L ed Hn 1, n, 0L i coseni direttori degli assi m ed n, rispettivamente, sicche' si ha, dalla Lezione 5: = 1 n 1 +σ n + n 1 n = 1 m 1 n 1 + σ m n + Hm 1 n + m n 1 L (1) ()

3 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 81 X σ 1 n φ X 1 m Figura 3 - Le componenti cartesiane di tensione nel piano x 1 x, e le componenti secondo gli assi locali m ed n Esprimendo ora i coseni direttori in funzione dell'angolo f, si ottiene facilmente, dalla Figura 3: n 1 = Cos Hnx 1 L = Cos HφL = Cos φ n = Cos Hnx L = Cos K π φ = Sin φ (3) (4) m 1 = Cos Hmx 1 L = Cos K πk π φ = Sin φ m = Cos Hmx L = Cos Hπ+φL = Cos φ e quindi le (1-) divengono: = 1 Cos φ+σ Sin φ+ Sin φ Cos φ (5) (6) (7) = H1 σ L Sin φ Cos φ+ ISin φ Cos φm Un ultimo passaggio consiste nell'esprimere le (7-8) in funzione di f, tramite le relazioni trigonometriche: (8) Sin φ Cos φ = 1 Sin φ (9) Cos φ Sin φ = Cos φ (10) Cos φ = 1 H1+ Cos φl (11)

4 8 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb Si ha quindi: Sin φ = 1 H1 Cos φl (1) = 1+σ + 1σ Cos φ+ Sin φ (13) = 1σ Sin φ Infine, si ottiene, quadrando e sommando: Cos φ (14) K σ 11+σ + = K 1σ + E' questa, come si voleva dimostrare, l'equazione di un cerchio di centro I s 11+s, 0M e raggio: (15) R = K σ 11σ + (16) La costruzione del cerchio si effettua come illustrato in Figura 4: riportando con il loro segno i segmenti B ed D, rappresentativi di s 11 e di s, rispettivamente, si ottiene il centro C del cerchio nel punto medio del segmento BD. A partire da D, si riporta in D il segmento rappresentativo di s 1, verso l'alto se positivo, ottenendo il raggio C, ed il cosiddetto polo del cerchio. τ n 1 B C D σ A 1 +σ Figura 4 - La costruzione del cerchio di Mohr

5 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 83 L'utilizzo del cerchio di Mohr Assegnare il piano su cui si vuol calcolare la tensione nel punto in esame equivale, per quanto detto nei paragrafi precedenti, ad assegnare l'angolo f, e quindi ad ogni valore di f corrisponde un preciso valore del segmento di componenti Hs n, t nm L, ossia un preciso punto T n di coordinate s n e t nm. Si vuole dedurre in questo paragrafo un metodo grafico per conoscere T n, una volta assegnato l'angolo f. Si utilizzi allo scopo la seguente osservazione: costruito il cerchio di Mohr, si disegni la retta t che unisce il polo con il punto T n, supposto per il momento noto. Si dimostrera' che l'angolo tra la verticale e la suddetta retta t e' uguale a f. Ed infatti, detta v la verticale e t la retta che congiunge il polo col punto T n, si avra' (cfr. Figura 5): tan HvtL = 1 = 1 e sostituendo i valori (7-8) si ha: (17) tan HvtL = 1 I1Cos φm+σ Sin φ+ Sin φ Cos φ H1 σ L Sin φ Cos φ ISin φ Cos φm = Hσ 1 L Sin φ+ Sin φ Cos φ Hσ 1 L Sin φ Cos φ+ Cos φ = Sin φ@hσ 1 L Sin φ+ Cos φd Cos φ@hσ 1 L Sin φ+ Cos φd = Sin φ Cos φ = Tan φ (18) Ne segue che, assegnato f, per conoscere T n basta condurre per il polo una retta t inclinata sulla verticale dello stesso angolo f di cui n e' inclinata rispetto all'asse x 1. Se gli assi s,t sono paralleli ed equiversi agli assi x 1 x, l'operazione e' equivalente a condurre per il polo la parallela alla traccia dell'elemento piano in esame. In Figura 5, oltre al caso generico, si sono riprodotti anche i due casi particolari in cui la normale al piano coincide con l'asse x 1 (f = 0) e con l'asse x (f = p/). Nel primo caso dal polo si deve condurre la verticale, giungendo al punto T x di coordinate s n = s 11 e t nm = -s 1. Nel secondo caso, invece, occorre portare l'orizzontale per, giungendo nel punto T y di coordinate s n = s e t nm = s 1. Si ha cosi' conferma di quanto detto, nel primo paragrafo, sulla convenzione dei segni. Tracciato il cerchio di Mohr, e' immediato rispondere ad alcune importanti domande, che consentono in realta' lo studio completo dello stato tensionale per tutti i piani che si appoggiano all'asse l=x 3 : 1) quali sono le giaciture cui corrispondono minime e massime tensioni normali? ) quali sono le corrispondenti tensioni normali minime e massime? 3) quali sono le giaciture cui corrispondono tensioni tangenziali massime? 4) quanto valgono tali tensioni tangenziali massime, e a quali tensioni normali sono associate? 5) esistono giaciture per cui la tensione e' esclusivamente tangenziale, ed in caso affermativo, quanto valgono le tensioni tangenziali in oggetto?

6 84 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb t φ v T y C T n H, L T x φ n m Figura 5 - L'utilizzo del cerchio di Mohr per il calcolo dello stato tensionale sul generico elemento piano di normale n à Esempi Si considera, come primo esempio, uno stato tensionale caratterizzato da s 11 > 0 e s > 0, e da s 1 < 0. Il cerchio di Mohr relativo agli elementi che si appoggiano all'asse x 3 si caratterizza quindi come in Figura 6. In esso e' evidenziato il polo, da cui sono state condotte le due rette H e K, che identificano le due direzioni n 1 = H ed n = K. Sul piano di normale n 1 agisce la tensione s 1, massima tra quelle agenti sui piani del fascio in esame; sul piano di normale n agisce la tensione s, minima tra quelle agenti sui piani del fascio in esame. Ad esse non si accompagna tensione tangenziale. Come secondo esempio, invece, si puo' ipotizzare che s 11 sia positivo, mentre s e' nullo, e s 1 e' negativo. In questa ipotesi, il cerchio deve necessariamente intersecare l'asse verticale, come indicato in Figura 7, e quindi una delle due tensioni estreme e' negativa, come evidenziato anche dal cubetto. Inoltre, in questo caso si osserva che sui piani di normale S e T agiscono solo tensioni tangenziali. Nel primo caso, sul cubetto di normale S agisce una tensione tangenziale positiva, tendente quindi a far ruotare il cubetto in senso orario, nel secondo caso, invece, la tensione e' negativa, e quindi il cubetto tendera' a ruotare in senso antiorario.

7 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 85 n n 1 H C K σ σ Figura 6 - Il cerchio di Mohr in un caso per cui s 11 e s sono positive, mentre s 1 e' negativo. S n n 1 H C K σ σ T Figura 7 - Il cerchio di Mohr in un caso per cui s 11 e' positivo, mentre s =0, e s 1 e' negativo.

8 86 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb La ricerca delle tensioni e direzioni principali tramite l'utilizzo dei cerchi di Mohr principali Scrivendo il teorema di Cauchy-oisson in termini di tensioni principali si ha, come noto: t n1 = n 1 ; t n = σ n ; t n3 = σ 3 n 3 (19) Ipotizzando che uno degli assi cartesiani sia principale, ad esempio l'asse x 3, e studiando i piani che si appoggiano all'asse x 3 ª 3, si deduce subito dalla terza delle (19) che si studiano i piani per cui t n3 e' nulla. In altri termini, sui piani di tale fascio la tensione normale s n e la tensione tangenziale t nm esauriscono lo stato tensionale, e quindi le tensioni estreme, che nel paragrafo precedente si erano battezzate s 1 e s, assumono ora il significato di tensioni principali s 1 e s. Dall'esame di un cerchio di Mohr principale si puo' anche dedurre graficamente l'espressione analitica delle tensioni principali, assieme all'espressione dell'angolo f * che definisce le due direzioni principali. Si ha infatti, dalla Figura 8: 1 φ C φ 1 1 B D σ σ A σ Figura 8 - Il cerchio principale di Mohr per i fasci che si appoggiano all'asse x 3 ª 3, = 1+ σ ± K 1 σ + (0)

9 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 87 tan φ = 1 σ Assegnato allora uno stato tensionale: (1) S = 1 3 σ σ 3 3 σ 3 σ 33 si ricavino le tre direzioni principali, ordinandole come segue: () σ σ 3 (3) I tre cerchi di Mohr relativi ai tre fasci di piani che si appoggiano alle tre direzioni principali sono immediatamente disegnabili, riportando semplicemente sull'asse orizzontale s n i tre segmenti: σ 3 = 1 ; σ = ; = 1 e tracciando i cerchi di centri: (4) C 1 = + 3 ; C = 1+ 3 ; C 3 = 1+ e diametri Hs -s 1 L, Hs 1 -s 3 L e Hs 1 -s L, rispettivamente, come illustrato in Figura 9. (5) 3 1 C C 1 C 3 σ σ 3 Figura 9. - I tre cerchi principali di Mohr per i fasci che si appoggiano alle tre direzioni principali In Figura 10 e' riportato il caso in cui le tre tensioni principali sono positive, e distinte tra loro. Dal suo esame si possono dedurre parecchie caratteristiche dello stato tensionale nel punto del corpo in esame. Ad esempio, e' banale calcolare la tensione tangenziale massima, pari a Hs 1 -s 3 Lê, e capire che essa agisce su di un piano del fascio che si appoggia all'asse, e precisamente sul piano con traccia che biseca l'angolo 1-3.

10 88 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb Ad essa si accompagna la tensione normale Hs 3 +s 1 Lê. Si ritrovano cosi' in via grafica i risultati della Lezione 11. Si studino con cura i segni delle tensioni tangenziali sulle facce del cubetto elementare. H 3 C C 1 C 3 1 K σ σ 3 Figura 10 - Lo stato tensionale corrispondente alla massima tensione tangenziale Note [Mohr] - Si veda. Mohr, Zivilingenieur, pag. 113 (188) [Torna al testo] Figure