Lezione 12 - I cerchi di Mohr

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1 Lezione 1 - I cerchi di Mohr [Ultimareviione: reviione:15 15dicembre dicembre008] In queta lezione i decrive un claico metodo di viualizzazione dello tato tenionale nell'intorno di un punto generico P del corpo in eame. Tale metodo e' tato originariamente propoto da tto Mohr nella econda meta' dell'ttocento [Mohr], in tretta conneione con l'analii della tenione; tuttavia eo e' facilmente etendibile a cai diveri, quali l'analii della deformazione ed i problemi di geometria delle mae, ed in ambiti piu' generali puo' eere applicato ad un qualiai tenore del econdo ordine. Figura 1 - tto Mohr La convenzione ui egni di tto Mohr Si conideri un punto P generico, e i fii una terna carteiana di riferimento HP, x 1, x, x 3 L. Si vuole ora eaminare come varia il vettore tenione t n in P ui piani che i appoggiano all'ae x 3, al variare dell'angolo f che definice il piano generico (cfr. Figura ). Su ciacun elemento piano coi' determinato agicono una tenione normale ed una tenione tangenziale di componenti e t nl = t nz. Nel piano Hx 1, x L, quindi, agicono le tenioni e, come riportato in Figura 3 Si noti che in Figura e' tata riportata la tenione tangenziale poitiva econdo la convenzione di Mohr, diretta in modo da far ruotare il cubetto elementare in eno orario intorno al uo baricentro. E' queta una convenzione ui egni molto uata nell'ambito della teoria dei cerchi di Mohr, che i andra' a

2 71 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb viluppare nel paragrafo eguente, convenzione in contrato con la convenzione uuale ui egni delle componenti carteiane di tenione 1. Ed infatti, dalla Figura 3 i evince con facilita' che quando f = p/, e quindi n viene a coincidere con l'ae x, la e' pari, in valore e egno, alla tenione 1, ma che quando f = 0, e quindi n coincide con l'ae x 1, i ha che la e' uguale e contraria alla 1. x 3 = l f t nl A x m f x 1 n Figura - I piani per A che i appoggiano all'ae z = l, definiti dall'angolo f e oggetti alla tenione normale ed alle tenioni tangenziali e t nl = t nz x 1 11 n A f =HxnL x 1 m Figura 3 - Le componenti carteiane di tenione nel piano x 1 x, e le componenti econdo gli ai locali m ed n

3 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 7 Il teorema di Mohr Per ciacun elemento piano appoggiato all'ae x 3, e definito dall'angolo f, i riporti in un piano t (piano di Mohr) il vettore di componenti e. Si dimotrera' il eguente: Teorema (. Mohr 188) - Il vettore di componenti (, ) decrive nel piano t un cerchio, al ruotare dell'elemento piano intorno all'ae l = x 3. Dimotrazione - Siano Hm 1, m, 0L ed Hn 1, n, 0L i coeni direttori degli ai m ed n, ripettivamente, icche' i ha, dalla Lezione 5: σ n = σ 11 n 1 + σ n +σ 1 n 1 n τ nm = σ 11 m 1 n 1 + σ m n + σ 1 Hm 1 n + m n 1 L Eprimendo ora i coeni direttori in funzione dell'angolo f, i ottiene facilmente, dalla Figura 3: n 1 = Co Hnx 1 L = Co H φl = Co φ n = Co Hnx L = Co I π φm = Sin φ m 1 = Co Hmx 1 L = Co I π (1) () (3) (4) (5) φm = Sin φ (6) m = Co Hmx L = Co Hπ φl = Co φ e quindi le (1-) divengono: σ n = σ 11 Co φ + σ Sin φ +σ 1 Sin φco φ (7) τ nm = Hσ 11 σ LSin φco φ + σ 1 HSin φ Co φl Un ultimo paaggio conite nell'eprimere le (7-8) in funzione di f, tramite le relazioni trigonometriche: (8) Si ha quindi: Sin φco φ = 1 Sinφ Co φ Sin φ = Coφ Co φ = 1 H1 + CoφL Sin φ = 1 H1 CoφL (9) (10) (11) (1) σ n = σ 11 + σ + σ 11 σ Co φ + σ 1 Sin φ (13) τ nm = σ 11 σ Sin φ σ 1 Coφ Infine, i ottiene, quadrando e ommando: (14) Iσ n σ 11 + σ M + τ = I σ11 σ nm M + σ 1 (15)

4 73 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb E' queta, come i voleva dimotrare, l'equazione di un cerchio di centro H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 11+, 0L e raggio: R = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I σ 11 σ M + σ 1 (16) La cotruzione del cerchio i effettua come illutrato in Figura 4: riportando con il loro egno i egmenti A ed B, rappreentativi di 11 e di, ripettivamente, i ottiene il centro C del cerchio nel punto medio del egmento AB. A partire da A, i riporta in AP il egmento rappreentativo di 1, vero l'alto e poitivo, ottenendo il raggio CP, ed il coiddetto polo P del cerchio. L'utilizzo del cerchio di Mohr Aegnare il piano u cui i vuol calcolare la tenione nel punto in eame equivale, per quanto detto nei paragrafi precedenti, ad aegnare l'angolo f, e quindi ad ogni valore di f corriponde un precio valore del egmento di componenti H, L, oia un precio punto T n di coordinate e. Si vuole dedurre in queto paragrafo un metodo grafico per conocere T n, una volta aegnato l'angolo f. Si utilizzi allo copo la eguente oervazione: cotruito il cerchio di Mohr, i diegni la retta t che unice il polo P con il punto T n, uppoto per il momento noto. Si dimotrera' che l'angolo tra la verticale e la uddetta retta t e' uguale a f. 11 P 1 B C A 11 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Figura 4 - La cotruzione del cerchio di Mohr Ed infatti, detta v la verticale e t la retta che congiunge il polo col punto T n, i avra' (cfr. Figura 5): tan HvtL = σ n σ 11 = σ n σ 11 σ 1 τ nm τ nm σ 1 e otituendo i valori (7-8) i ha: (17)

5 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 74 tan HvtL = σ 11 H1 Co φl + σ Sin φ + σ 1 Sin φco φ σ 1 Hσ 11 σ LSin φco φ σ 1 HSin φ Co φl = Hσ σ 11 L Sin φ + σ 1 Sin φco φ Hσ σ 11 LSin φco φ + σ 1 Co φ = Sin φ@hσ σ 11 L Sin φ + σ 1 Co φd Co φ@hσ σ 11 LSin φ + σ 1 Co φd = Sin φ Co φ = Tan φ (18) Ne egue che, aegnato f, per conocere T n bata condurre per il polo P una retta t inclinata ulla verticale dello teo angolo f di cui n e' inclinata ripetto all'ae x 1. Se gli ai,t ono paralleli ed equiveri agli ai x 1 x, l'operazione e' equivalente a condurre per il polo P la parallela alla traccia dell'elemento piano in eame. In Figura 5, oltre al cao generico, i ono riprodotti anche i due cai particolari in cui la normale al piano coincide con l'ae x 1 (f = 0) e con l'ae x (f = p/). Nel primo cao dal polo P i deve condurre la verticale, giungendo al punto T x di coordinate = 11 e = - 1. Nel econdo cao, invece, occorre portare l'orizzontale per P, giungendo nel punto T y di coordinate = e = 1. Si ha coi' conferma di quanto detto, nel primo paragrafo, ulla convenzione dei egni. t f v T y P C T x T n H, L m n f x 1 Figura 5 - L'utilizzo del cerchio di Mohr per il calcolo dello tato tenionale ul generico elemento piano di normale n Tracciato il cerchio di Mohr, e' immediato ripondere ad alcune importanti domande, che conentono in realta' lo tudio completo dello tato tenionale per tutti i piani che i appoggiano all'ae l = x 3 : 1) quali ono le giaciture cui corripondono minime e maime tenioni normali? ) quali ono le corripondondenti tenioni normali minime e maime? 3) quali ono le giaciture cui corripondono tenioni tangenziali maime? 4) quanto valgono tali tenioni tangenziali maime, e a quali tenioni normali ono aociate?

6 75 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 5) eitono giaciture per cui la tenione e' ecluivamente tangenziale, ed in cao affermativo, quanto valgono le tenioni tangenziali in oggetto? à Eempi Si conidera, come primo eempio, uno tato tenionale caratterizzato da 11 > 0 e > 0, e da 1 < 0. Il cerchio di Mohr relativo agli elementi che i appoggiano all'ae x 3 i caratterizza quindi come in Figura 6. 1 n 1 n C H K P 1 Figura 6 - Il cerchio di Mohr in un cao per cui 11 e ono poitive, mentre 1 e' negativo. In eo e' evidenziato il polo P, da cui ono tate condotte le due rette PH e PK, che identificano le due direzioni n 1 = PH ed n = PK. Sul piano di normale n 1 agice la tenione 1, maima tra quelle agenti ui piani del facio in eame; ul piano di normale n agice la tenione, minima tra quelle agenti ui piani del facio in eame. Ad ee non i accompagna tenione tangenziale. Come econdo eempio, invece, i puo' ipotizzare che 11 ia poitivo, mentre e 1 ono negativi. In queta ipotei, il cerchio deve neceariamente interecare l'ae verticale, come indicato in Figura 7, e quindi una delle due tenioni etreme e' negativa, come evidenziato anche dal cubetto. Inoltre, in queto cao i oerva che ui piani di normale PS e PT agicono olo tenioni tangenziali. Nel primo cao, ul cubetto di normale PS agice una tenione tangenziale poitiva, tendente quindi a far ruotare il cubetto in eno orario, nel econdo cao, invece, la tenione e' negativa, e quindi il cubetto tendera' a ruotare in eno antiorario.

7 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 76 1 S n 1 n C H K T P 1 Figura 7 - Il cerchio di Mohr in un cao per cui 11 e' poitivo, mentre e 1 ono negative. La ricerca delle tenioni e direzioni principali tramite l'utilizzo dei cerchi di Mohr principali Scrivendo il teorema di Cauchy-Poion in termini di tenioni principali i ha, come noto: t n1 = σ 1 n 1 ; t n = σ n ; t n3 = σ 3 n 3 (19) Ipotizzando che uno degli ai carteiani ia principale, ad eempio l'ae x 3, e tudiando i piani che i appoggiano all'ae x 3 ª 3, i deduce ubito dalla terza delle (19) che i tudiano i piani per cui t n3 e' nulla. In altri termini, ui piani di tale facio la tenione normale e la tenione tangenziale eauricono lo tato tenionale, e quindi le tenioni etreme, che nel paragrafo precedente i erano battezzate 1 e, aumono ora il ignificato di tenioni principali 1 e. Dall'eame di un cerchio di Mohr principale i puo' anche dedurre graficamente l'epreione analitica delle tenioni principali, aieme all'epreione dell'angolo f * che definice le due direzioni principali. Si ha infatti, dalla Figura 8: σ 1, = σ 11 + σ ± $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I σ 11 σ M + σ 1 (0) tan φ = σ 1 σ 11 σ (1)

8 77 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb τ nm σ 11 σ 1 σ P 1 φ * P φ * P 1 B C A σ 1 σ σ n σ 1 σ σ 11 +σ Figura 8 - Il cerchio principale di Mohr per i faci che i appoggiano all'ae x 3 ª 3 Aegnato allora uno tato tenionale: S = i σ 11 σ 1 σ 13 y j σ 1 σ σ 3 z k σ 13 σ 3 σ 33 { i ricavino le tre direzioni principali, ordinandole come egue: () σ 1 σ σ 3 (3) I tre cerchi di Mohr relativi ai tre faci di piani che i appoggiano alle tre direzioni principali ono immediatamente diegnabili, riportando emplicemente ull'ae orizzontale i tre egmenti: σ 3 = P 1 ; σ = P ; σ 1 = P 1 e tracciando i cerchi di centri: (4) C 1 = P +P 3 ; C = P 1 +P 3 ; C 3 = P 1 +P e diametri H - 1 L, H 1-3 L e H 1 - L, ripettivamente, come illutrato in Figura 9. (5) In Figura 10 e' riportato il cao in cui le tre tenioni principali ono poitive, e ditinte tra loro. Dal uo eame i poono dedurre parecchie caratteritiche dello tato tenionale nel punto del corpo in eame. Ad eempio, e' banale calcolare la tenione tangenziale maima, pari a H 1-3 Lê, e capire che ea agice u di un piano del facio che i appoggia all'ae, e preciamente ul piano con traccia che bieca l'angolo 1-3. Ad ea i accompagna la tenione normale H Lê. Si ritrovano coi' in via grafica i riultati della Lezione 11. Si tudino con cura i egni delle tenioni tangenziali ulle facce del cubetto elementare.

9 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb 78 τ nm P 3 P P 1 C 1 C C 3 σ n σ 1 σ σ 3 Figura 9. - I tre cerchi principali di Mohr per i faci che i appoggiano alle tre direzioni principali τ nm H P 3 P σ n C 1 C C 3 P 1 K σ 1 σ σ 3 Figura 10 - Lo tato tenionale corripondente alla maima tenione tangenziale

10 79 Lezione 1 - I cerchi di Mohr.nb Note [Mohr] - Si veda. Mohr, Zivilingenieur, pag. 113 (188) [Torna al teto]