Ipotesi di piccoli spostamenti

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1 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A potei di piccoli potamenti Permette di confondere la traiettoria con lo potamento, ovvero aimilare la cinematica finita a quella di un atto di moto a partire dalla configurazioe iniziale G 0 MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Spotamenti e deformazioni ono coi piccoli da non influenzare il modo con cui l equilibrio i intaura nella truttura. E pertanto poibile imporre le condizioni di equilibrio nella configurazione iniziale (indeformata Nello tudio dell equilibrio elatico è irrilevante conocere la traiettoria: lo tato iniziale e finale ono ufficienti per definire la deformazione Nei problemi idrodinamici o nelle deformazioni di olidi elato-platici è neceario eguire la toria di deformazione e conocere le velocità che decrivono il moto tangente alla traiettoria.

2 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A x x Su Corpo deformabile P0 x NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE x P Γ 0: configurazione iniziale (t=0 Γ: configurazione deformata al tempo t = x( X, t è una funzione vettoriale che decrive la traiettoria di P di coordinate X ( X, t = x( X, t X Vettore potamento MECCA

3 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Superficie vincolata Configurazione deformata MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Configurazione indeformata VETTORE SPOSTAMENTO (X,X,X (X,X,X = (X,X,X (X,X,X P( X, X, X p( X +, X +, X +

4 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Configurazione indeformata Configurazione deformata NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE MECCA potei di CONGRUENZA il cambiamento di configurazione avviene enza lacerazioni o ovrappoizione di materiale e nel ripetto delle condizioni al contorno funzioni continue ad un olo valore nel punto (X,X,X (X,X,X = (X,X,X X (X,X,X = = u = S u condizioni al contorno

5 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Miura della deformazione locale (variazione di volume e di forma nell intorno di un punto NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE MECCA Configurazione indeformata d = d = dx + dx + dx X X X d = dx + dx + dx X X X d = dx + dx + dx X X X Configurazione deformata ncremento infiniteimo dello potamento del punto P ripetto allo potamento del punto P 0 grad( d = grad( grad( gradiente di ψ potamento d =Ψ dx X X X d dx d = dx X X X d dx X X X

6 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Tenore delle deformazioni NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON MECCA NEϑ Ψ = + X X X ψ = X X X X X X parte immetrica, +,, +,, ,,,,, + + =,, +,,,,, parte emiimmetrica = ( Ψ + Ψ T ϑ = ( Ψ Ψ T, 0,,, ϑ =,, 0,,,,, 0,,

7 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Deformazione d =Ψ dx MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE potamento del punto P nell intorno di P 0 d = dx +ϑdx = + dx + +ϑ dx 0 + +

8 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE T ( ij ( i, j j, i = Ψ +Ψ = + T θ = Ψ Ψ θ = ( ij ( i, j j, i ( ( X = X + dx + θdx 0 0 ( X Tralazione rigida θd X θ θ Tenore di piccole deformazioni Tenore di rotazione riulta ortogonale a dx: i ricorda infatti che la forma quadratica aociata ad una matrice emiimmetrica è nulla per cui θ dx e' a = ( =0 ( = Rotazione attorno all'aeae,,,, dx

9 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Significato fiico delle componenti del tenore MECCANCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE =, Nel piano x x con 0 non nullo Si conideri il egmento AB di lunghezza dx orientato econdo l ae X, {dx,0,0} T.l punto B, per effetto della deformazione, ubice uno potamento relativo d = ψ dx d,, 0, dx,dx d =,, 0, 0 =, dx d,,, 0,dX

10 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Significato fiico delle componenti del tenore =, Nel piano X X con 0 non nullo MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Lunghezza della fibra deformata dξ Th. di Pitagora X X X X dξ = dx + + dx + + dx = dx + + dξ dx, X X X X dx = dx dx + = = Miura la variazione di lunghezza di una fibra unitaria originariamente dipota come X. Analoghe coniderazioni valgono per le fibre dirette come gli ai X ex.

11 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Significato fiico delle componenti del tenore = ½(, +, MECCANCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Nel piano X X con 0 non nullo

12 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE MECCA α α ( α ( ( + X dx X dx tan = = = X dx dx ( α ( ( + X dx x dx tan = = = X dx dx α + α = + X X

13 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE tenore delle piccole deformazioni = ij = ij ( i j = ij i j = + ( i, j =,, X j X i = = im. tenore doppio immetrico = /, metà dello corrimento angolare tra fibre originariamente ortogonali e dipote econdo gli ai delle coordinate. Non neceariamente α =αα ma nel tenore i riporta in e la emiomma deidueangolialfinediimmetrizzarla.noto ènotalaemiommadiα e α, non i loro ingoli valori che ono e

14 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Eercizio h=0mm d =0.0mm 0mm deformata d =0.0mm amplificata MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE = ( x, x x x ( d h xx ( x, x = d h x x ( x, x = d h x ( x, x = d h x x ( x, x = d + d h h 0 x

15 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Deformazioni principali MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE n α en α = 0 ( e n = α 0 e nα 0 e nα = 0 e nα 0 Soluzioni non banali del itema problema agli autovalori: valori di e e che annullano il determinante della matrice dei coefficienti det( e immetrica teorema algebra lineare aicura l eitenza di tre radici = 0 e e + e autovalori: autovettori: tt n, n, n Direzioni principali e, e, e Deformazioni principali = 0

16 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Deformazione Deformazioni i principali i MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE e, e, e DEFORMAZON PRNCPAL non dipendono dal itema di riferimento originale aunto e e + Coefficienti i dell equazione ono anche indipendenti d dal itema di riferimento i aunto = = + = det( ( + + e = 0 NVARANT D DEFORMAZONE = e = e = e + e e e + e e + e e + e e

17 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Variazione di volume Deformazione MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Per piccole deformazioni i >> dv = dx dx dx i { + }{ + }{ + } dv = dx ( + e dx ( + e dx ( + e d Variazione di volume indipendente dal itema di riferimento dvd ( e ( e ( e dv = = dv dv + e >> d i dv i = = e + e L invariante lineare rappreenta la variazione di volume nell intorno del punto

18 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Variazione di forma Deformazione NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE Deviatore di Deformazione θ η = θ θ θ = = ( e + e + e ha invariante lineare nullo quindi rappreenta una deformazione a volume cotante MECCA

19 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Tenori di Sforzo e Deformazione Rotazione del itema di riferimento i MECCA NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE n n x y co ( xx coα coα = = = co( xx co(90 α in α co( yx co(90 α in α = = = co( yx coα coα σ τ xx yx τ σ xy yy n x coα in α σ τ coα = in α coα τ σ in α σ σ τ xx yy xy = n = n = n T x T y T y σn σn σn x y x = σ = σ n y in α coα co α + σ in α + τ in α coα in α + σ co α τ in α coα = ( σ σin α coα + τ(co α in α σ ( xy = N T σ ( N σ N

20 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Tenori di Sforzo e Deformazione Rotazione del itema di riferimento i NCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE xx yy xx yx = = n n T x T y xyy yy n n x y = = = n x n y coα in α coα in α in α coα in α coα α + α + co in in α coα in α + co α in α coα ( xy = N T ( N MECCA = n n = ( in α coα + (co α in α xy T y x

21 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A Eempio Prova Sperimentale di Trazione Miura delle deformazioni tangenziali Roetta etenimetrica MECCANCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE = co α + in α + inαcoα ηη

22 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A MECCANCA DE SO OLD : LO STATO D DE EFORMAZON NE η a η c η b a c b o o o o = co (0 + in (0 + in(0 co(0 = = = co co (90 (45 o o + + in in (90 (45 o o + + in(90 in(45 = = a c o o = co(0 b o co(45 a = o = c + +

23 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A MECCANCA DE SOLD : LO STATO D DEFORMAZONE

24 POLTECNCO D MLANO - CORSO D STUD N NGEGNERA DE MATERAL A.A MECCANCA DE SOLD : LO STATO D DEFORMAZONE