2. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

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1 . ANALISI DELLA DEFORMAZIONE Un elemento monodimensionale soggetto ad na forza di trazione o compressione sbisce na variazione di lnghezza Δl (rispettivamente n allngamento o n accorciamento) rispetto alla sa lnghezza originaria l. Si definisce dilatazione lineare (media) ε il rapporto tra la variazione di lnghezza Δl e la lnghezza iniziale l Δl ε = (.) l Sotto l azione delle forze esterne n corpo inizialmente sitato nella regione B dello spazio eclideo manifesta na variazione della sa geometria, andando ad occpare na regione B (non troppo discosta da B). In particolare, n generico pnto x di n corpo contino B sbisce no spostamento indicato dalla fnzione vettoriale (x), che si sppone sfficientemente regolare in modo da escldere frattre e compenetrazioni. In segito alla deformazione, il pnto x andrà ad occpare na nova posizione individata dal pnto x (Fig..). Il vettore spostamento (x) del pnto x è definito dalla differenza (x) = x x, il ci modlo si assme piccolo rispetto alle dimensioni del corpo (ipotesi di spostamenti infinitesimi). Lo spostamento di n pnto molto vicino ad x si pò valtare attraverso no svilppo in serie di Taylor della i-esima componente della fnzione spostamento 3 i (x + ) = i (x) + i, j (x) j (.) j = s b x B x x (x) B x 3 Fig.. Deformazione del corpo contino soggetto alle forze esterne b e s e spostamento (x) di n generico pnto x del corpo Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. 3-4 x

2 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE Indicando con H la matrice di componenti H ij = i,j definita gradiente di spostamento, la relazione (.) pò scriversi in forma vettoriale (x + ) = (x) + H(x) (. ) Lo spostamento dei pnti sitati in prossimità del pnto x è noto qindi se si conoscono lo spostamento del pnto x, ovvero il vettore (x), e il gradiente di spostamento calcolato nello stesso pnto, ovvero la matrice H(x). Utilizzando la (.) si stdia la deformazione di n cbetto elementare avente n vertice in corrispondenza del pnto x e spigoli di lnghezza iniziale, e 3. Per motivi di rappresentazione grafica in Fig.. si considera solo la deformazione nel piano x -x, sebbene la trattazione possa ritenersi valida anche nel caso tridimensionale. x,, (x) x' ' α ',, x Fig... Deformazione del cbo elementare con vertice nel pnto x del corpo. x. Dilatazioni (cambiamenti di lnghezza) Nel processo di deformazione, la generica fibra elementare di lnghezza infinitesima viene trasformata nell elemento, sbendo na variazione di lnghezza ed na rotazione. Si definisce coefficiente di dilatazione lineare della fibra elementare disposta nella direzione dell asse x, il rapporto tra la variazione di lnghezza e la lnghezza iniziale della fibra e si indica con ε = Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. - (.3)

3 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 3 Con riferimento alla Fig.., la lnghezza finale della fibra si pò calcolare a meno di infinitesimi di ordine speriore pari a = +, = ( +, ) (.4) Qindi, il coefficiente di dilatazione lineare della fibra nella direzione dell asse x rislta, ε = =, (.5) Analogamente, i coefficienti di dilatazione lineare nelle direzioni degli assi x ed x 3 risltano rispettivamente, 3,3 3 ε = =, ε 33 = = 3,3 (.6) 3 Valori positivi dei coefficienti di dilatazione lineare indicano allngamenti delle fibre, mentre valori negativi indicano accorciamenti delle fibre. Valori nlli, infine, si hanno se la lnghezza delle fibre rimane inalterata. Nell ipotesi che gli spostamenti possano considerarsi molto piccoli rispetto alle dimensioni del corpo e le variazioni di lnghezza delle fibre altrettanto piccole rispetto alla loro lnghezza iniziale, le componenti di deformazione (.5) e (.6) risltano essere nmeri pri di modlo molto inferiore all nità. Le componenti di deformazione (.5) e (.6) corrispondono a dei valori pntali.. Scorrimenti (variazioni angolari) Il processo di deformazione non prodce soltanto variazioni di lnghezza delle fibre ma anche variazioni degli angoli formati da qeste ltime. Come mostrato in Fig.., le fibre elementari parallele agli assi x ed x inizialmente ortogonali e di lnghezza infinitesima e, in generale, vengono rotate di n angolo diverso ed in segito alla deformazione formano n angolo diverso da π/, indicato con α in Fig... La corrispondente variazione angolare, definita scorrimento, rislta qindi γ = π α (.7) La differenza tra i de angoli corrisponde alla somma dei de angoli adiacenti all angolo α. Nell ipotesi di spostamenti e deformazioni infinitesimi è possibile confondere tali angoli con i valori delle rispettive tangenti. Pertanto, Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

4 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 4 tilizzando la (.4) la variazione angolare pò scriversi γ =,, ( + ) +,, ( + ) trascrando poi le componenti deformazione, e, rispetto all nità, si ha γ =, +, =, +, (.8) Con ε = γ = (, +, ) si indica metà dello scorrimento complessivo occorso tra le fibre inizialmente parallele alle direzioni degli assi x e x. Analogamente, per le fibre inizialmente ortogonali e disposte nella direzione degli assi si possono definire le componenti di scorrimento ε ij = (i,j + j,i ) (i j) (.9) La relazione (.9) rislta valida anche per le componenti di dilatazione, ovvero per i = j, venendo in tal caso a coincidere con le relazioni (.5) e (.6)..3 Matrice di deformazione infinitesima In base alle relazioni (.5), (.6) e (.9) le componenti di deformazione possono raccogliersi nella relazione ε ij = (i,j + j,i ) (.) ovvero, in forma matriciale: ε = ( (,,3, + +, 3, ) ) ( (,,3 +, +, 3, ) ) ( (,3, ,3 3, 3, ) ) Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

5 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 5 La matrice ε cosi definita prende il nome di matrice di deformazione infinitesima. Si osservi che la matrice ε è simmetrica e, pertanto, ha solo 6 componenti significative. Inoltre, nel caso di n moto rigido di ampiezza infinitesima si ha ε =, annllandosi in tal caso sia le variazioni di lnghezza che le variazioni angolari delle fibre. Per ci la matrice ε individa il contribto di deformazione pra, sempre nell ipotesi di deformazioni infinitesime. Osservazioni I) Ttte le componenti della matrice di deformazione infinitesima sono nmeri pri, che corrispondono a rapporti tra de lnghezze o ad angoli, il ci modlo è molto più piccolo dell nità, poiché nel presente corso si considerano solo deformazioni di tipo infinitesimo. Nel segito si farà sempre riferimento alle ipotesi di spostamenti e deformazioni infinitesimi, cioè tali per ci i << l ed ε ij <<, dove l è na dimensione caratteristica del corpo. II) La matrice di deformazione infinitesima ε corrisponde alla parte simmetrica del gradiente di spostamento H. La parte antisimmetrica di H si indica invece con W e prende il nome di matrice di rotazione infinitesima, essendo responsabile di na rotazione rigida dell intorno infinitesimo del pnto x considerato. Le matrici ε e W sono qindi definite dalle relazioni ε = (H + H T ) W = (H H T ) da ci H = ε + W (.) dove H T è la matrice trasposta della matrice H, di componenti H T ij = H ji = i,j. È facile mostrare che la matrice ε è simmetrica, ovvero ε T = ε, mentre la matrice W è antisimmetrica, ovvero W T = W, infatti: ε T = (H T + H) = ε, W T = (H T H) = W Pertanto, introdcendo la relazione (. ) 3, l eqazione (. ) pò scriversi (x + ) = (x) + ε + W e per ε = si ottiene la relazione (x + ) = (x) + W (*) che corrisponde allo spostamento di n generico pnto preso nell intorno del pnto x consegente ad n moto rigido di ampiezza infinitesima. La (*) è infatti Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

6 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 6 simile alla relazione = + W (P P ) che descrive n generico moto rigido di ampiezza infinitesima, ottenta nello stdio della cinematica dei corpi rigidi a partire dalla formla di Poisson. Se si assmono i pnti P e P coincidenti rispettivamente con i pnti x e x + si ottiene proprio la (*), dove la matrice antisimmetrica W raccoglie le componenti di rotazione attorno agli assi. Nell ipotesi di deformazioni infinitesime, la matrice ε individa qindi il contribto di deformazione pra, assente nella (*)..3. Estensione semplice (variazione di lnghezza) Si consideri il campo di spostamenti definito dalle segenti relazioni: = δ x = 3 = (.) I pnti sbiscono qindi no spostamento nella direzione dell asse x proporzionale alla loro coordinata x (Fig..3). In particolare, le fibre ad x = l sbiscono no spostamento = δ l (.3) Pertanto, le fibre in direzione orizzontale, di lnghezza iniziale l, sbiscono n allngamento Δl = δ l, assmendo na lnghezza finale l = l + δ l (.4) mentre la lnghezza delle fibre disposte lngo le direzioni ortogonali ad x rimane invariata. Il coefficiente di dilatazione lineare delle fibre disposte lngo la direzione dell asse x coincide qindi con δ = Δl / l. x l h l Δl x Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. - Fig..3. Estensione semplice in direzione x

7 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 7 Per la deformazione considerata, l nica componente diversa da zero della matrice di deformazione infinitesima ε rislta essere la componente ε, che coincide qindi con δ, avendosi ε =, = δ ε = ε 33 = ε = ε 3 = ε 3 = (.6) Ttte le componenti della matrice ε diverse da ε si annllano, come è facile verificare dalle derivate delle componenti di spostamento (.). In particolare, si annllano le componenti ε e ε 33, che, per estensione, corrispondono rispettivamente ai coefficienti di dilatazione lineare δ e δ 3 lngo le direzioni degli assi x ed x 3. Le fibre disposte secondo tali assi non sbiscono infatti variazioni di lnghezza in segito alla deformazione (.)..3. Scorrimento semplice (variazione angolare) Si consideri il campo di spostamenti definito dalle segenti relazioni: = γ x = 3 = (.7) in segito al qale i pnti del corpo sbiscono no spostamento nella direzione dell asse x proporzionale alla loro coordinata x (Fig..4). Pertanto, le fibre orizzontali, traslano in direzione orizzontale, rimanendo di lnghezza invariata l. In particolare, le fibre a qota x = h sbiscono no spostamento orizzontale = γ h, (.8) Tra le fibre inizialmente orientate secondo gli assi x ed x si verifica qindi na variazione angolare, che viene definita scorrimento, pari all angolo γ h ϕ tg ϕ = = γ (.9) h Per la deformazione di scorrimento considerata, l nica componente non nlla della matrice di deformazione infinitesima ε rislta essere la componente ε = ε, che coincide con metà della variazione angolare γ avventa tra le fibre orientate rispettivamente secondo le direzioni degli assi x ed x, avendosi ε =, = γ ε = ε = ε 33 = ε 3 = ε 3 = (.) Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

8 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 8 Un valore positivo dello scorrimento γ ij indica na ridzione dell angolo compreso tra le fibre inizialmente parallele agli assi x i ed x j da π/ a π/ γ ij, e viceversa. Ttte le altre componenti della matrice ε diverse da ε = ε si annllano, come è facile verificare dalle derivate delle componenti di spostamento (.7). In particolare, si annllano le componenti ε, ε e ε 33, che corrispondono ai coefficienti di dilatazione lineare lngo le direzioni degli assi x, x ed x 3 ed anche le componenti ε 3 e ε 3, che corrispondono a metà degli scorrimenti tra le fibre orientate rispettivamente secondo le direzioni degli assi x -x 3 ed x -x 3. x γ h γ h h ϕ = γ l x Fig..4. Scorrimento semplice tra le direzioni degli assi x ed x.3.3 Deformazione volmetrica Si consideri n cbetto elementare di lati infinitesimi, e 3 (Fig..5), a ci corrisponde il volme infinitesimo dv = 3 (.) In segito alla deformazione, gli spigoli di tale cbetto sbiranno delle variazioni di lnghezza. A deformazione avventa, le lnghezze finali degli spigoli del cbetto rislteranno i = i + ε ii i = ( + ε ii ) i i =,, 3 (.) Pertanto, il volme del cbetto elementare deformato rislta dv = 3 = ( + ε ) ( + ε ) ( + ε 33 ) dv (.3) Nell ipotesi di deformazioni infinitesime le componenti di deformazione ε ii hanno modli molto più piccoli dell nita, cioè ε ii <<. In tal caso, è possibile Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

9 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 9 svilppare il prodotto dei tre binomi nella (.3) trascrando i termini di ordine speriore al primo nelle componenti ε, ε ed ε 33, ovvero dv ( + ε + ε + ε 33 ) dv = ( + tr ε) dv (.4) Si definisce coefficiente di dilatazione volmetrica δ V il rapporto tra la variazione di volme dv dv ed il volme iniziale dv δ V = dv dv dv = ( + tr ε) dv dv dv = tr ε = ε + ε + ε 33 (.5) Il coefficiente di dilatazione volmetrica coincide qindi con la traccia della matrice di deformazione infinitesima (ovvero la somma degli elementi che stanno slla diagonale principale). Se il so valore è positivo allora la deformazione ha prodotto n amento di volme, e viceversa. Se il materiale è incomprimibile si ha sempre tr ε =. dv 3 dv 3 Fig..5 Deformazione dell elemento di volme elementare.4 Deformazioni principali e direzioni principali di deformazione In analogia con lo stdio effettato slla matrice simmetrica degli sforzi σ, assegnata na generica matrice di deformazione infinitesima ε è sempre possibile individare tre direzioni ortogonali tra le qali non si verificano scorrimenti, ovvero si annllano le componenti di deformazione ε, ε 3 ed ε 3. Tali direzioni rimangono qindi ortogonali anche in segito alla deformazione (Fig..6) e sono dette direzioni principali di deformazione. Le corrispondenti dilatazioni ε, ε ed ε 33 sono le componenti principali di deformazione e vengono individate dalla condizione Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -

10 Cap. II ANALISI DELLA DEFORMAZIONE det (ε λ I) = (.6) che rappresenta l eqazione caratteristica della matrice simmetrica ε. Si tratta, come è noto, di n eqazione di terzo grado in λ, che possiede sempre 3 radici reali per λ, indicate con ε Ι, ε ΙΙ, ε ΙΙΙ. Tali radici sono le componenti principali di deformazione cercate e corrispondono ai coefficienti di dilatazione lineare lngo le tre direzioni principali di deformazione, tra loro ortogonali. Le tre direzioni principali di deformazione corrispondenti sono individate rispettivamente dagli versori m I, m II e m III, che verificano le condizioni (ε ε K I) m K = per K = I, II, III (.) nonché la condizione di normalizzazione m K =. Pertanto, il versore m K individa la direzione della componente principale di deformazione ε K. Scegliendo come sistema di riferimento proprio qello corrispondente alle direzioni principali di deformazione, la matrice di deformazione infinitesima ε rislta diagonale: ε = εi ε II ε III (.) x II x II xii x I x III d V x I Fig..6 Direzioni principali di deformazione Lezioni di scienza delle costrzioni, a.a. -