VINCENZO AIETA Spazi vettoriali

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1 VINCENZO AIETA Spazi vettoriali

2 2.1 Vettori ed operazioni Sia V n insieme di segmenti orientati ed R na relazione di eqipollenza definita in esso. De qalsiasi elementi di V stanno nella R se hanno: 1) La medesima direzione; 2) Il medesimo verso; 3) La medesima lnghezza o modlo. R è na relazione di eqivalenza poichè gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva e, come tale, determina na partizione di V in sottoinsiemi, classi di eqivalenza, elementi di n novo insieme detto insieme qoziente. V = {[ ], [ v ], [ w ], [ o ],..} R Gli elementi di V/R formano na partizione di V nel senso che: nessna classe è vota, de di esse sono ad intersezione vota, la loro nione dà ttto V. Si definisce vettore ogni classe di segmenti orientati eqipollenti. A B C x D R x x [ ] Un vettore è dnqe individato da n qalsiasi segmento orientato di V e qindi da : 1) Una direzione (qella della retta a ci appartiene il segmento); 2) Un verso (qello indicato dalla freccia, da A a B); 3) Un nmero positivo, detto modlo o norma del vettore, che esprime la misra del segmento. Esso si indica con. In particolare il vettore di modlo gale a zero, A=B, prende il nome di vettore nllo 0 e qello di modlo gale a 1 di versore o vettore nitario. Consideriamo, per il momento, l insieme V dei vettori del piano applicati nell origine. Si definisce somma dei de vettori e v, applicati in O, il vettore + v avente pnto di applicazione in O e direzione, verso e modlo della diagonale del parallelogramma di lati e v. +v P O v 1

3 Poichè l addizione in V è associativa, ammette l elemento netro 0, l opposto, ed è commtativa ne sege che la strttra algebrica V(+) è n grppo abeliano. L addizione tra vettori è n operazione interna perché + v è ancora n elemento di V e pò essere definita come na legge che ad ogni coppia (, v) V associa n elemento w = + v ancora in V. Siano, ora, v V ed a R, campo dei nmeri reali; si definisce prodotto di n vettore v per n nmero reale a (scalare) il vettore avente come direzione la direzione di v, come verso qello di v se a > 0 il verso opposto se a < 0, come modlo il prodotto a v. Si tratta, come l addizione, di n operazione interna a V e pò essere intesa come na legge che ad ogni coppia (a, v) associa il vettore w = a v. Essa gode di alcne proprietà, che vedremo appresso, per effetto delle qali V (+, ) è no spazio vettoriale. w = 2 // w Dato n vettore v del piano, applicato in 0, è possibile associare a v na coppia ordinata di nmeri reali (x, y), componenti di v nella direzione degli assi cartesiani, e viceversa. Qesta corrispondenza binivoca tra l insieme V dei vettori del piano e l insieme R 2 delle coppie ordinate di nmeri reali, consente di estendere le operazioni di V ad R 2 per ci operare in R 2 significa, in pratica, operare in V. Scomponendo v nella direzione degli assi otteniamo: y j v P(x,y) O i x v = xi + yj forma cartesiana di v, in ci i (1,0) e j (0,1) sono i versori fondamentali degli assi cartesiani e la norma di v è data da x 2 + y 2, distanza PO. Esempio 1 Esegire l addizione tra v (1,-3) e (2,4) ed il prodotto tra ed il nmero reale a = -1. v = 1i 3j ; = 2i + 4j ; + v = 3i + j ; = 2i +4j ; a = -1; a = -1(2i + 4j) = - 2i - 4j = w e w, avendo le componenti proporzionali, sono paralleli. 2

4 Graficamente : Spazi vettoriali y v a v x 2.2 Spazio vettoriale Sia V n insieme, non voto, di vettori, v, w..., mnito di addizione: + : V x V V (, v) w, v, w V e di prodotto di n campo K s V : : V x K V (a, v) av a K, v V se : V(+) è n grppo abeliano cioè: 1), v, w V ( + v) + w = + (v + w) Proprietà associativa 2) V 0 V, 0 elemento netro per l addizione / + 0 = 0 + = 3) V V / + = + = 0 Esistenza del simmetrico o opposto 4), v V + v = v + Proprietà commtativa E se valgono le segenti proprietà: 1) a( + v) = a + av a K,, v V (Proprietà distribtiva della moltiplicazione rispetto all addizione tra vettori) 2) ( a + b) = a + b a,b K, V (Proprietà distribtiva della moltiplicazione rispetto all addizione tra scalari) 3) a(b) = (ab) a,b K, V (Proprietà associativa del prodotto scalare) 3

5 1 = V (1 elemento netro della moltiplicazione in R) Diremo che la strttra V (+, ) è no spazio vettoriale. Esempi Sia V = R 2 l insieme delle coppie ordinate di nmeri reali e sia K = R il campo degli scalari. Se definiamo in V, come addizione, la legge: (a,b) + (c,d) (a + c,b + d) e come moltiplicazione per no scalare la legge: h(a,b) (ha, hb) è semplice verificare che R 2 (+, ) è no spazio vettoriale s R. Si dice che R 2 (+, ) è isomorfo allo spazio V dei vettori del piano applicati in 0. Il vettore nllo è 0 = (0,0), il simmetrico di = (a,b) è = (-a,-b). Analogamente si pò provare che l insieme dei nmeri reali R dotato delle stesse operazioni, R (+, ), è no spazio vettoriale s se stesso, isomorfo a qello dei vettori applicati nell origine di na retta orientata. Così anche V = R 3, strttrato con le solite operazioni è no spazio vettoriale R 3 (+, )s R isomorfo ai vettori dello spazio eclideo a tre dimensioni applicati nell origine. 2.3 Sottospazi vettoriali Sia V no spazio vettoriale s R ed S n sottoinsieme di V. Siano assegnate in S l addizione tra vettori di V ed il prodotto di no scalare di R per n vettore di V. Diremo che S è n sottospazio vettoriale di V s R se, operando in S con le operazioni di V il risltato rimane in S, cioè S è chiso rispetto alle operazioni di V. Esempio Nell insieme R 3 = V delle terne ordinate di nmeri reali, l insieme S = { (x,0,0) / x R} È n sottospazio, di eqazione {z = 0, y =0 } che individa l asse delle x, mentre S ={ (x,y,0) / x R} È n sottospazio di eqazione z = 0, che individa il piano xy. I sottospazi di R 3 sono 2 3 =8 e cioè i piani xy, yz, xz, gli assi, l origine e ttto R 3. L insieme delle matrici qadrate di ordine 2 s R, M (2x2) (+, ), strttrato Esempio con l addizione tra matrici ed il prodotto di no scalare per na matrice, è (2x2) no spazio vettoriale.l insieme delle matrici diagonali M d (+, ) è n sottospazio vettoriale di M (2x2), così qello delle matrici triangolari. 4

6 Matrice a b Matrice a 0 Matrice a b 2x2 diagonale triangolare c d 0 b 0 d 2.4 Sistema di generatori Sia V no spazio vettoriale s R ed S = { 1, 2,..., n } n sistema di vettori di V. Diremo che S è n sistema di generatori di V se ogni vettore V si pò esprimere come combinazione lineare dei vettori di S, cioè se esistono n scalari λ 1, λ 2,..., λ n di R tali che: = λ λ λ n n Esempio I vettori (1,2) e (2,1) generano ttto il piano R 2, difatti: λ 1 (1,2) +λ 2 (2,1) = (a,b) con (a,b) generico vettore di R 2, dà l nica solzione: λ 1 +2λ 2 = a λ 1 +2λ 2 = a λ 1 = 2b a; 2λ 1 + λ 2 = b -4λ 1-2λ 2 = -2b 3-3λ 1 = a 2b λ 2 = b -2λ 1 = 2a b ; Vettori linearmente dipendenti e indipendenti Sia S = { 1, 2,..., n } n sistema di vettori di no spazio vettoriale V s R. Diremo che 1, 2,..., n sono linearmente dipendenti se esistono n scalari λ 1, λ 2,..., λ n di R non ttti nlli, che danno come combinazione lineare il vettore nllo: λ λ λ n n = 0 (1) se invece la (1) è vera se e solo se λ i indipendenti. = 0 i, allora i vettori si diranno linearmente 5

7 2.6 Base di no spazio vettoriale Sia S n sistema di vettori di no spazio vettoriale V sl campo dei reali R. S= { 1, 2,.., n } Si dice che S è na base di V se vale na delle segenti proposizioni tra loro eqivalenti: 1) S è generante minimale (è il più piccolo sistema di vettori di V che genera V); 2) S è indipendente massimale (è il più grande sistema di vettori di V lin. indipendente); 3) S è linearmente indipendente e genera V. Si definisce dimensione di no spazio vettoriale V il nmero di vettori di ogni sa base. Pertanto la retta è no spazio vettoriale di dimensione 1, il piano di dimensione 2, lo spazio eclideo di dimensione 3. Ogni spazio vettoriale ha almeno na base, detta base canonica, costitita dai vettori nitari. Così S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} è na base canonica di R 3, mentre S =,,, è na base canonica di M (2x2) di dimensione 4.Infatti: λ 1 λ λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = = λ 3 λ è vera λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0 e qalnqe matrice di ordine 2 si pò esprimere come combinazione delle matrici date. a b = λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 c d a b λ 1 λ 2 λ 1 = a ; λ 2 = b ; = c d λ 3 λ 4 λ 3 = c ; λ 4 = d ; 6

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