1. Prima di tutto si osservi che il dominio massimale su cui definire la funzione

Transcript

1 Prima di ttto si osservi che il dominio massimale s ci definire la fnzione f è R \ 0, 0}, insieme che non è limitato, per ci non è garantita l esistenza del minimo e del massimo Cerchiamo gli insiemi di livello: si fissi na costante c R e si risolva fx, y c Si osserva sbito che per c 0 l insieme di livello è la retta Per c 0 si ha fx, y c x + y 0 x + y c x + y x + y x + y c x + y c c c c Gli insiemi di livello alcni dei qali rappresentati in figra: il rosso è il valore più basso, negativo, si sale poi fino al verde scro dove la fnzione vale zero, per continare a salire fino al marrone sono: l insieme voto per c >, } per c na circonferenza per c < c 0 na retta per c 0 Si dedce che il massimo è assnto nel pnto /, / e vale, e che il minimo non è assnto y x

2 Alternativamente, poiché lim x, y 0, 0 fx, y, si dedce che f non ammette minimo poiché è illimitata inferiormente Valtando il comportamenteo all infinito si ha che lim x, y + fx, y 0, per ci la fnzione è speriormente limitata ed ammette massimo Derivando f si ottiene y x 4xy + x x + y 0 x y 4xy + y x + y 0 Moltiplicando per x + y le de eqazioni e poi sommandole e sottraendole si ottiene 4xy + x + y 0 x y + y x 0 4xy + x + y 0 x y [ x + y ] 0 Dalla seconda eqazione si ricava che o x y oppre x + y / Nel primo caso dalla prima eqazione si ricava x 4x 0 x, e qindi y, gale a zero, opzione che va scartata, oppre x, e qindi y, gale ad / Nel secondo caso, spponendp x y, si ricava 4xy / x + y / 4x/ x / 0 4x x + / 0 eqazione che non ha solzioni reali Per ci l nico pnto critico è /, / Qesto pnto non pò essere di minimo, per qanto osservato precedentemente, e non pò essere di sella sempre per qanto precedentemente osservato:

3 poiché f è di classe C R \0, 0} e speriormente limitata, f ammette massimo Se tale pnto fosse di sella, vi sarebbe n altro pnto crititco, perché il massimo c è Diversamente si pò calcolare la matrice hessiana, che fornirà l informazione che /, / è n massimo locale e, per le considerazioni fatte precedentemente, anche il massimo assolto Separando le variabili l eqazione si integra immediatamente, a patto che t e y log y siano diversi da zero: ciò è vero per t, y 0 e log y 0 Si ha infatti dy y log y 4 t t dt log log y logt + c, c R Considerando l esponenziale di entrambi i membri si ottiene log y k t, con k > 0 k e c Se y0 e oppre se y0 e si ha che k e qindi yt e t yt e t Se y0 non si possono separare le variabili, come osservato all inizio, perché log y0 0, ma le condizioni del teorema di esistenza e nicità per il problema di Cachy sono soddisfatte, per ci la solzione nica esiste, almeno localmente intorno a t 0 È facile osservare che la costante yt è solzione per ogni t R Un modo di svolgere l integrale dato è sare le coordinate cartesiane Diversamente, tilizzando il cambio di variabile x + y, v x y si ricava che sando prima la seconda eqazione e poi sempre la prima x yv yv + y y + v x v + v

4 La matrice jacobiana di qesto cambio di variabile è data da v + v + v + v + v con, v Calcolando lo jacobiano si ottiene v + v + v + v + v v + + v + v qindi l integrale richiesto diventa logx + y dxdy D d dv / d d + v log ] log + v / ] log [ [ + log d 6 [ ] 6 log 6 log 8 d 4 La cosa più semplice, poiché il campo è a divergenza costante e il volme di S si calcola in maniera immediata, è la segente: per il teorema della divergenza si ha F, ν dσ divf dxdydz S Poiché divf 6 e il volme di S altro non è che il volme del cbo di lato privato della sfera di raggio concentrica a tale cbo si ha che S VolS 8 4 π S F, ν dσ 6 VolS 48 8π

5 5 La crva ha il sostegno mostrato in figra 00 y 50 x La sa più semplice parametrizzazione è γϑ ϑ cos ϑ, ϑ sen ϑ per ϑ [0, π] γϑ π ϑ cos ϑ, π ϑ sen ϑ per ϑ π, π] Si osserva che la crva è simmetrica rispetto all asse x, per ci è sfficiente stdiare la parte definita per ϑ [0, π] Derivando γ si ha γ ϑ cos ϑ ϑ sen ϑ, sen ϑ + ϑ cos ϑ per ϑ [0, π] Valtandone il modlo si ha e analogamente γ ϑ + ϑ solo per ϑ [0, π] f γϑ + ϑ solo per ϑ [0, π] Per simmetria di f rispetto al sostegno della crva si ha che π f ds + ϑ dϑ π + π γ Volendo svolgere ttti i calcoli si otterrebbe che γ 0 γ ϑ + π ϑ per ϑ π, π], f γϑ + π ϑ f ds π 0 per ϑ [π, π], π + ϑ dϑ + + π ϑ dϑ π + π + π π + π