Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Linearizzazione di sistemi dinamici
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- Carolina Alberti
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1 Eqilibrio e stabilità di sistemi dinamici Linearizzazione di sistemi dinamici
2 Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di na fnzione reale Linearizzazione di n sistema dinamico Esempi di linearizzazione di sistemi dinamici
3 Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di na fnzione reale
4 Linearizzazione di na fnzione reale (/) Una fnzione f ( x): pò essere svilppata in serie di Taylor in n intorno di ampiezza δx = x x 0 di n qalsiasi valore x 0 della variabile reale x come: f ( x) = f ( x + δx) = 0 df ( x ) d f ( x ) = f ( x ) + δx + δx + 0 dx! dx x = x x = x 0 0 La fnzione f (x ) pò essere approssimata in tale intorno mediante il troncamento h (x ) dello svilppo in serie di Taylor arrestato al termine di o grado: df ( x ) f ( x) = f ( x + δx) f ( x ) + δx = h( x) 0 0 dx x = x 0 4
5 Linearizzazione di na fnzione reale (/) f (x ) h (x ).5 f (x 0 )= x 0 = L approssimazione h (x ) è tanto migliore qanto più piccolo è l intorno δx del pnto di linearizzazione x 0 5
6 Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di n sistema dinamico
7 Linearizzazione di n sistema dinamico I sistemi dinamici reali non sono mai perfettamente lineari, ma possono essere approssimati nell intorno di ogni prefissato movimento (qale, ad esempio, n pnto di eqilibrio) mediante opportni modelli lineari, detti modelli linearizzati Per l analisi ed il controllo di sistemi dinamici lineari si hanno a disposizione metodologie più semplici, potenti e nmerose rispetto al caso non lineare Obiettivo: costrire n modello dinamico lineare che approssimi bene il comportamento del sistema dinamico non lineare nell intorno di n prefissato movimento nominale 7
8 Movimento nominale di n sistema dinamico Dato n sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo contino, non lineare, stazionario xt () = f( xt (), t ()) y () t = g( x(), t () t ) se ne considerino de diverse evolzioni temporali: Un movimento nominale xt () ottento applicando n ingresso nominale t () al sistema posto in no stato iniziale nominale x 0, ci corrisponde na scita nominale y () t xt ()e yt () soddisfano il segente sistema di eqazioni xt () = f( xt (), t ()), xt ( = 0) = x0 yt () = gxt (), t () ( ) 8
9 Movimento pertrbato di n sistema dinamico Dato n sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo contino, non lineare, stazionario xt () = f( xt (), t ()) y () t = g( x(), t () t ) se ne considerino de diverse evolzioni temporali: Un movimento pertrbato xt () ottento applicando n ingresso differente ( pertrbato ) t () al sistema posto in no stato iniziale differente ( pertrbato ) x 0, ci corrisponde na scita pertrbata y () t xt ()e yt () soddisfano il segente sistema di eqazioni xt () = f xt (), t () xt ( = 0) = x ( ) ( ) yt () = gxt (), t (), 0 9
10 Pertrbazioni di n sistema dinamico Le differenze fra le de diverse evolzioni temporali rappresentano le pertrbazioni del sistema: n δxt () = xt () xt () = pertrbazione sllo stato xt () = xt () + δxt () δt () = t () t () = pertrbazione sll'ingresso t () = t () + δt () δyt () = yt () yt () = pertrbazione sll'scita yt () = yt () + δyt () L evolzione temporale della pertrbazione sllo stato δx (t ) è solzione dell eqazione differenziale xt d( δxt ()) d( xt () xt ()) δ () = = = () () dt dt xt xt q p 0
11 Calcolo delle pertrbazioni del sistema (/3) L evolzione temporale della pertrbazione sllo stato δx (t ) è solzione dell eqazione differenziale δ xt () = xt () xt () = f( xt (), t ()) f( xt (), t ()) La fnzione f (x (t ), (t )) pò essere svilppata in serie di Taylor in n intorno di xt () e t () come f xt (), t () = f xt () + δxt (), t () + δt () = ( ) ( ) f( x, ) f( x, ) = f ( x(), t () t ) + δx() t + δ() t + x x= x x= x e pò essere approssimata mediante il troncamento di tale svilppo in serie arrestato al termine lineare: fx (,) fx (,) f( x(), t t ()) f ( x(), t () t ) x() t t () x δ + + x x δ = x= x
12 Calcolo delle pertrbazioni del sistema (/3) Qindi δx (t ) è solzione dell eqazione differenziale δxt () = f( xt (), t ()) f( xt (), t ()) f (,) x f (,) x δxt () + δt () = x x= x x= x = At () δx() t + B() t δt () fx At () = = : x x= x (,) n n n Jacobiano di n n n fx Bt () = = : x= x (,) p n p Jacobiano di f x f x f x f x f f f f n n p x= x x= x f rispetto ad x f rispetto ad
13 Calcolo delle pertrbazioni del sistema (3/3) Procedendo in maniera analoga con δy (t ), si ricava: δy () t = y() t y() t = g( xt (), t ()) g( xt (), t ()) gx (,) gx (,) δxt () + δt () = x x= x x= x = Ct () δxt () + Dt () δt () gx Ct () = = : x x= x (,) n q n Jacobiano di q q n (,) p q p Jacobiano di gx Dt () = = : x= x g x g x g x g x g g g g q q p x= x x= x g rispetto ad x g rispetto ad 3
14 Sistema dinamico linearizzato TC Qindi l evolzione temporale del sistema dinamico xt () = f( xt (), t ()) y () t = g( x(), t () t ) nell intorno del movimento nominale ( xt (), t (), yt ()) pò essere espressa in forma approssimata come xt () = xt () + δxt (), t () = t () + δt (), yt () = yt () + δyt () in fnzione delle pertrbazioni δxt ()e δyt () che sono le solzioni del sistema dinamico linearizzato δxt () = At () δxt () + Bt () δt (), δxt ( = 0) = xt ( = 0) x0 δyt () = Ct () δxt () + Dt () δt () f( x, ) f( x, ) gx (, ) gx (, ) () =, () =, () =, () = x x At B t C t Dt x = x x = x x = x x = x 4
15 Sistema dinamico linearizzato TD Analogamente, l evolzione temporale del sistema xk ( + ) = f ( xk ( ), k ( )) y ( k) = g( x( k), ( k) ) nell intorno del movimento nominale xk (),(), k yk () pò essere espressa in forma approssimata come xk () = xk () + δxk (), k () = k () + δk (), yk () = yk () + δyk () in fnzione delle pertrbazioni δxk ()e δyk () che sono le solzioni del sistema dinamico linearizzato δxk ( + ) = Ak ( ) δxk ( ) + Bk ( ) δk ( ), δxk ( = 0) = xk ( = 0) x0 δyk () = Ck () δxk () + Dk () δk () ( ) f( x, ) f( x, ) gx (, ) gx (, ) ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) = x x Ak B k C k Dk x = x x = x x = x x = x 5
16 Linearizzazione nell intorno dell eqilibrio In generale, il sistema dinamico linearizzato pò risltare variante nel tempo, anche se il sistema dinamico non lineare da approssimare è stazionario Se però il movimento nominale considerato è n pnto di eqilibrio ( x, ), allora le matrici A, B, C e D del sistema dinamico linearizzato risltano costanti e qindi il sistema dinamico linearizzato è LTI: δxt () = Aδxt () + Bδt () δxk ( + ) = Aδxk ( ) + Bδk ( ) δy () t = Cδx() t + Dδ() t δy( k) = Cδx( k) + Dδ( k) Qale che sia il movimento nominale considerato, la validità dell approssimazione mediante il sistema linearizzato è tanto maggiore qanto minori sono le pertrbazioni rispetto a tale movimento nominale 6
17 Linearizzazione di sistemi dinamici Esempi di linearizzazione di sistemi dinamici
18 Esempio # di linearizzazione (/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da x = x = f ( x, ) i 0 ( ) x = g k i M x = f ( x, ) f M y = x = g( x, ) p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k i nell intorno del pnto di eqilibrio Mg x =, 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: f f 0 0 fx (,) x x A = = = i x x f f k = 0 g Mg x = 0 3 x x x x Mx k i = = = 8
19 Esempio # di linearizzazione (/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da x = x = f ( x, ) i 0 ( ) x = g k i M x = f ( x, ) f M y = x = g( x, ) p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k i nell intorno del pnto di eqilibrio Mg x =, 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: f 0 f( x, ) 0 B = = = k i = x x f g = x = x Mx 9
20 Esempio # di linearizzazione (3/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da x = x = f ( x, ) i 0 ( ) x = g k i M x = f ( x, ) f M y = x = g( x, ) p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k i nell intorno del pnto di eqilibrio Mg x =, 0 0 Nell eqazione δy () t = Cδx() t + Dδ() t compaiono: gx (, ) g g C = = = [ 0 ] x = x x x x = x x 0
21 Esempio # di linearizzazione (4/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da x = x = f ( x, ) i 0 ( ) x = g k i M x = f ( x, ) f M y = x = g( x, ) p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k i nell intorno del pnto di eqilibrio Mg x =, 0 0 Nell eqazione δy () t = Cδx() t + Dδ() t compaiono: gx (, ) g D x x x x = = = = = [ 0]
22 Esempio # di linearizzazione (/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: f f 0 fx (,) x x A = = = sinx x x f f g β x = cosx x x x x l Ml Ml = = =
23 Esempio # di linearizzazione (/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: 0 0 k pari A = g β, k dispari A = g β + l Ml l Ml 3
24 Esempio # di linearizzazione (3/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: f 0 fx (,) B = = = cos x x f x = x= x Ml 4
25 Esempio # di linearizzazione (4/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δxt () = Aδxt () + Bδt () compaiono: 0 0 k pari B =, k dispari B = + Ml Ml 5
26 Esempio # di linearizzazione (5/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δy () t = Cδx() t + Dδ() t compaiono: C gx (, ) g g = = = x x x x = x x = x [ 0 ] 6
27 Esempio # di linearizzazione (6/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da x = x = f ( x, ) M F o (t ) cos x g βx sin θ x = + x = f ( x, ) Ml l l g Ml β y = x = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato k π nell intorno dei pnti di eqilibrio x =, = 0 0 Nell eqazione δy () t = Cδx() t + Dδ() t compaiono: gx (, ) g D x x x x = = = = = [ 0] 7
28 Esempio #3 di linearizzazione (/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δxk ( + ) = Aδxk ( ) + Bδk ( ), f f fx (,) x x + x x A = = = x x= x f f 0 + 6x x x x x = = = 8
29 Esempio #3 di linearizzazione (/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δxk ( + ) = Aδxk ( ) + Bδk ( ), () a () a se x = x A = A = + x x A = 0 + 6x () b () b c se x = x A = A = 0.5 9
30 Esempio #3 di linearizzazione (3/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δxk ( + ) = Aδxk ( ) + Bδk ( ), f fx (,) x B = = = x= x f x x= x 30
31 Esempio #3 di linearizzazione (4/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δxk ( + ) = Aδxk ( ) + Bδk ( ), () a () a 0 se x = x B = B = x 0 B = x () b () b c se x = x B = B = 0.5 3
32 Esempio #3 di linearizzazione (5/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δy () k = Cδx() k + Dδ() k, gx (, ) g g C = = = [ x x ] x x = x x x x = x () a () a () b () b [ 00] se [ 0.5c ] se x = x C = C = x = x C = C =, 3
33 Esempio #3 di linearizzazione (6/6) Dato il sistema descritto dal segente modello x ( k + ) = x ( k) ( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, ) x ( k + ) = x ( k) ( k) + 3 x ( k) = f ( x, ) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( x, ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ( a) 0 ( ) in, 0.5 e b c x = = x =, = 0.5, c Nell eqazione δy () k = Cδx() k + Dδ() k, gx (, ) g D x x x x = = = = = [ 0] 33
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