1 Modello epidemico SIR (semplificato) del virus Ebola

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1 L epidemiologia è la disciplina biomedica che si occupa della distribuzione delle malattie nella popolazione. Cosa c entra con l automatica? Per rispondere a questa domanda in questo esercizio ci occuperemo di studiare l epidemia di ebola in un villaggio di persone sane nel quale viene introdotta la malattia. Lo scopo di questa esercitazione è molteplice: Comprendere la versatilità dell automatica nel trattare problemi di natura apparentemente diversa tra loro con una metodologia comune, mettendo in risalto i tratti essenziali del sistema in esame. Prendere confidenza con i concetti di linearizzazione, stabilità dell equilibrio di sistemi non lineari, movimenti dello stato. Modello epidemico SIR (semplificato) del virus Ebola Consideriamo una popolazione di un villaggio, che puó variare nel tempo. Assumption Tutti i neonati sono suscettibili di infezione. Assumption 2 La popolazione totale è suddivisa in tre gruppi: i sani o suscettibili, che possono essere infettati dal virus in qualunque momento. Il loro numero sará indicato con S(t). Gli infetti, il cui numero indicheremo con I(t). I guariti, o recovered, che indicheremo con R(t). Dunque il numero totale di abitanti del villaggio al tempo t è pari a N(t) = S(t) + I(t) + R(t) Introduciamo i seguenti parametri per la popolazione in esame: H è il numero di persone massimo che può ospitare il nostro villaggio. Lo considereremo costante. b > è il tasso di nascita, o birth rate. d > è il tasso di morte naturale della popolazione, o baseline mortality rate. α > è il tasso di guarigione, o recovery rate.

2 β > è il tasso di infezione, o contact rate. µ è il tasso di mortalità specifico della malattia, o disease mortality rate. A questo punto possiamo introdurre le leggi dinamiche che regolano la variazione di popolazione: ds(t) = bh ds(t) βs(t)i(t) di(t) = βs(t)i(t) (α + µ + d)i(t) dr(t) = αi(t) dr(t) () Domanda Quali sono le variabili di stato in questo sistema? Domanda 2 Il sistema è lineare o non lineare? Domanda 3 Il sistema è stazionario o non stazionario? 2 Scrittura in forma di sistema dinamico Il vettore di variabili di stato sarà: x x = x 2 := x 3 e scegliamo come uscite y := x. Possiamo riscrivere la dinamica del sistema come: dx (t) S I R = bh dx (t) βx (t)x 2 (t) dx 2 (t) = βx (t)x 2 (t) (α + µ + d)x 2 (t) dx 3 (t) = αx 2 (t) dx 3 (t) y (t) = x (t) y 2 (t) = x 2 (t) y 3 (t) = x 3 (t) (2) Domanda 4 Il sistema è proprio o strettamente proprio? Nella sua forma più generale, un sistema non lineare si può scrivere come: { ẋ = f(x, u) (3) y = g(x, u) 2

3 Domanda 5 Chi sono f(x, u) e g(x, u)? Hands on Calcolare le soluzioni di equilibrio (coppie stato-uscita) dell equazione (5) risolvendo: { = f( x, ū) (4) ȳ = g( x, ū) Le soluzioni di equilibrio sono: Disease free equilibrium: x = x x 2 x 3 := H Endemic equilibrium: x = x x 2 x 3 := α d α+µ+d β bh d α+µ+d β bh d α+µ+d β Procediamo alla linearizzazione del sistema, al fine di studiare la stabilità degli equilibri trovati. Per semplificare i conti aggiungeremo l ipotesi seguente. Assumption 3 Il tasso di nascita e morte naturale hanno lo stesso valore. ( ) Hands on 2 Calcolare df(x) dx e dg(x). Soluzione: dx df (x) dx = d β x 2 df (x) dx 2 = β x df (x) dx 3 = df 2 (x) dx = β x 2 df 2 (x) dx 2 = β x (α + µ + d) df 2 (x) dx 3 = df 3 (x) dx = df 3 (x) dx 2 = α df 3 (x) dx 3 = d (5) e dg(x) dx = I. 3

4 E, definendo x(t) = x+δx(t) otteniamo il sistema linearizzato nell intorno del generico equilibrio x: δẋ(t) = Aδx(t) δy(t) = Cδx(t) (6) Il sistema, per come è stato ottenuto, non possiede ingressi. Volendo si potrebbe considerare H come ingresso ma noi non lo faremo. Hands on 3 Ricavare la matrice dinamica A del sistema linearizzato nell intorno dell equilibrio disease free. Calcolarne gli autovalori. A = Autovalori di A : d βh βh (α + µ + d) α d (7). φ(s) := det(si A) = (s + d) 2 (s + (α + µ + d) βh) Hands on 4 Cosa si puo dire sulla stabilitá dell equilibrio? (Criterio di Routh Hurwitz). Osservare come i vari parametri possano rendere l equilibrio stabile o instabile e.g. una malattia con un tasso di mortalitá molto alto, µ >>, non riesce a diffondersi perché i portatori del virus muoiono prima di poter contagiare altri individui. 3 Ebola outbreak In tabella 3 troviamo i dati relativi all epidemia. Parametro Valore b.7 d.7 µ. α.2 β. H Table : Dati numerici 4

5 2.5.5 Susceptible nonlinear Susceptible linearized Population in thousands Infected nonlinear Infected linearized Recovered nonlinear Recovered linearized time [days] Figure : Condizioni iniziali: Disease free 5

6 Nelle figure che seguono confronteremo il movimento dell uscita del sistema linearizzato col movimento dell uscita del sistema non lineare. Nel primo esempio le condizioni iniziali sono condizioni di assenza della malattia. Dunque il movimento del sistema non lineare e dell equivalente sistema linearizzato coincidono, come evidente dalla Figura. Population in thousands.8.6 Susceptible nonlinear Susceptible linearized Infected nonlinear Infected linearized Recovered nonlinear Recovered linearized time [days] Figure 2: Condizioni iniziali: Disease free ma lontano dall equilibrio. Nel secondo esempio le condizioni iniziali sono condizioni di assenza della malattia ma con una popolazione di sani S() pari a metà della capacità del villaggio. Anche in questo caso, essendo I(t) =, il movimento del sistema non lineare e dell equivalente sistema linearizzato coincidono, come da Figura 2. Nel terzo esempio perturbiamo la popolazione introducendo un individuo malato e osserviamo il diffondersi dell epidemia in Figura 3. Homework Calcolare il movimento dello stato per il sistema linearizzato di matrice A e A 2. 6

7 Population in thousands.5 Theoretical Equilibrium Susceptible nonlinear Susceptible linearized Infected nonlinear Infected linearized Recovered nonlinear Recovered linearized time [days] Figure 3: Virus outbreak con I() = 7