Stima dei parametri di un sistema di ODE

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1 Stima dei parametri di un sistema di ODE May 22, 2007 Questi appunti sono ispirati al Cap. 3 del libro Metodi Numerici e Statistici per le Scienze Applicate del Prof. V. Comincioli, disponibile all indirizzo Dati sperimentali Consideriamo un sistema dinamico, di cui osserviamo m grandezze y i (per i =,..., m). Si eseguono esperimenti ripetuti (con la stessa condizione iniziale) e si effettuano misurazioni delle quantità y i ai tempi t,..., t R. Se supponiamo che le misure ad istanti temporali distinti siano indipendenti tra di loro, il risultato delle nostre misurazioni è riassunto da R vettori y r R m che rappresentano la media dei valori misurati all istante t r e dalle R matrici di covarianza M r = E(y r yr T ). L ipotesi di indipendenza sopra citata implica che E(y r ys T ) = δsm r r ove δs r è la delta di Kronecker. (Se le misure delle quantità y i fossero indipendenti, le M r sarebbero le matrice diagonali delle varianze dei dati sperimentali.) 2 Modello Intendiamo modellizzare il fenomeno osservato con un sistema di ODE con parametri. Procediamo alla stima degli stessi e alla validazione del modello. Si consideri il sistema differenziale ẋ = F (t, x, k) con x R n Si supponga inoltre che le quantità misurate y siano determinate funzioni delle variabili x del modello: y i = g i (x) Questo ci permette di trattare, fra gli altri, il caso in cui le quantità misurate siano solo una parte delle variabili del sistema. In questo caso, la funzione g : R n R m sarebbe semplicemente la proiezione sulle componenti di x che sono soggette a misura sperimentale.

2 3 Stima dei parametri Consideriamo come migliore stima k per i parametri k il vettore di R p che minimizza lo scarto quadratico medio (pesato) F(k) = [y r g(x(k, t r ))] T W r [y r g(x(k, t r ))] Le matrici dei pesi si scelgono solitamente come W r = Mr. Per la stima di k si può utilizzare l algoritmo dei simplessi (Nelder-Mead) che necessita solo della calcolabilità del funzionale F per un dato valore di k. (Ad esempio questo è implementato nella funzione fminsearch di Matlab.) Osserviamo che il calcolo di F(k) richiede l integrazione del sistema ẋ = F (t, x, k) di n ODE. Per utilizzare invece un algoritmo che converga più rapidamente, si possono scegliere i metodi del tipo gradiente coniugato, che esplorano i valori di F(k) scendendo lungo la massima pendenza. Essi però richiedono la conoscenza delle derivate parziali k i, che a loro volta richiedono la conoscenza delle derivate k i (t r ), che si possono calcolare risolvendo un sistema di n(p + ) ODE. (Si vedano le equazioni di sensitività più avanti.) 4 Ellissoide di confidenza Il valore k è solo una stima del valore vero k dei parametri. Poniamo k = k + α Se l errore sulla stima è piccolo e gli scarti η r tali che y r = g(x(k, t r )) + η r sono anch essi piccoli, possiamo approssimare linearmente il problema e stimare i valori attesi e le varianze E(α) e V = E(α T α) In particolare, dalla matrice V si possono estrarre gli intervalli di confidenza per le stime k. Supponendo una distribuzione gaussiana per gli errori α, la regione di confidenza di livello γ è l ellissoide [k k] T V [k k] Φ ( +γ 2 ) centrato in k (Φ denota la distribuzione cumulativa di una normale standard). I semiassi maggiore e minore indicano gli intervalli rispettivamente più ampi e più stretti; l intersezione con le rette parallele agli assi coordinati e passanti per k, sono gli intervalli di confidenza per i singoli parametri. 2

3 5 Calcolo di V Ipotizziamo che gli errori η r siano imputabili solo ad errori sperimentali e che pertanto siano a media nulla, η r e η s siano correlati solo se r = s e che in tal caso la matrice di covarianza sia quella sperimentale M r : E(η r ) = 0 E(η r T η s ) = δ r sm r ove δs r è la delta di Kronecker. Se k è un minimo per il funzionale F, abbiamo che ( k) = 0 per p =,..., P ovvero che Si ha che ( k) = (k + α) = 0 per p =, 2,..., P { R [y r g(x( k, t r ))] T W r [y r g(x( k, t r ))] { R [y r g(x(k + α, t r ))] T W r [y r g(x(k + α, t r ))] = Ipotizzando che valga l approssimazione lineare ove si ha che ( k) = g(x(k + α, t r ) g(x(k, t r ) + G r D r α = 2 (G r ) i,j = g i (D r ) j,p =, { R [η r G r D r α] T W r [η r G r D r α] ( [ηr G r D r α] T ) W r [η r G r D r α] ove nell ultimo passaggio si è sfruttato che la quantità fra parentesi graffe è un numero reale ed è pertanto uguale al suo trasposto. Osserviamo che [η r G r D r α] = G r D r e p ove si è denotato con e p il vettore di componenti (e p ) i = δ e,p. Pertanto ( k) = 0 (G r D r ) T W r [η r G r D r α] = 0 3

4 ovvero se e solo se Dr T G T r W r η r = Dr T G T r W r G r D r α Pertanto, detta H la matrice (simmetrica) H = Dr T GT r W rg r D r, gli errori α commessi nella stima di k, sono assegnati dalla relazione Hα = R DT r G T r W r η r. Allora ricaviamo immediatamente che si annulla il valore atteso E(α) in quanto combinazione lineare dei valori attesi E(η r ) (che sono nulli!). Inoltre si ha che HV H = E(Hαα T H T ) = Dr T GT r W re(η r η T s )Wr T G rd r = r= s= Dr T G T r W r M r Wr T G r D r r= sfruttando l ipotesi su E(η r η T s ). Infine se i pesi per lo scarto quadratico sono stati scelti come W r = Mr si ha che le matrici W r sono simmetriche e la relazione precedente si semplifica in HV H = H, da cui si ricava V = H. 6 Equazioni di sensitività Per il calcolo della matrice V, abbiamo bisogno dei valori D i p (t r) = xi (t r ). Essi soddisfano il sistema differenziale D i p (t) = Ai j (t)dj p (t) + Bi p (t) che si ricava sostituendo le ODE ẋ = F (t, x, k) nell espressione d dt (x i(k, t)). Si è posto A i j(t) = i(x, k, t) B i p(t) = i(x, k, t) Le n p equazioni differenziali sono dette equazioni di sensitività perchè descrivono l influenza che i vari parametri hanno sulle soluzioni del sistema differenziale. 4

5 7 Procedimento Supponiamo che le condizioni iniziali x(t 0 ) = x 0 siano note in maniera esatta (cioè non siano loro stesse dei parametri da stimare). Allora si procede alla costruzione del funzionale F(k) e alla stima del valore k per cui assume il minimo. Poi si costruisce la matrice V invertendo la H costruita come spiegato sopra. Per ricavare le matrici D(t r ) si dovrà integrare il sistema di sensitività accoppiato al sistema ẋ = F (t, x, k) con le condizioni iniziali Dj i(t 0) = 0 e x(t 0 ) = x 0 (in tutto n p + n ODE). Esercizio: come cambia la condizione iniziale D(t 0 ) se uno dei parametri è una componente di x 0? Infine si usa la matrice V per stimare l ellissoide di confidenza voluto. Inoltre è opportuno controllare il numero di condizionamento del problema, dato dal rapporto fra l autovalore massimo e quello minimo della matrice V. Se fosse troppo elevato, indicherebbe che il nostro modello approssima i dati sperimentali usando solo qualcuno dei parametri k: piccole variazioni in questi parametri provocano grosse differenze nello scarto qudratico, mentre variazioni anche più importanti degli altri parametri non modificano sostanzialmente lo scarto qudratico. In questa situazione, solo i primi parametri sono stati stimati accuratamente. Osserviamo anche che la matrice V dipende dal modello, dalla qualità dei dati, ma anche dai tempi t r a cui si fanno le osservazioni. Pertanto una conoscenza del modello matematico ci può aiutare ad ottenere stime migliori dei parametri semplicemente pianificando le osservazioni sperimentali agli opportuni istanti. (Si pensi ad esempio al modello di crescita logistica: per migliorare la stima del valore di saturazione bisognerà fare altre osservazioni a tempi molto distanti dall istante iniziale, mentre per migliorare la stima dell altro parametro bisognerà fare ulteriori osservazioni vicine all istante iniziale.) 5