A UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Seconda prova intermedia 13 giugno 2011

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1 A UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Seconda prova intermedia gigno Nome: Cognome: Matricola: voglio sostenere la prova orale il giorno venerdì // ore : venerdì // ore : Esercizio È dato il problema di PL in figra.. verificare l ammissibilità della solzione ) ( T.. Se è ammissibile dimostrarne o conftarne l ottimalità con le condizioni di ortogonalità, se non è ammissibile dimostrare o conftare l esistenza di na solzione ottima con e diverse da zero.,,, ma libera Solzione. basta sostitire la solzione ) ( T nei vincoli del problema: i vincoli sono soddisfatti, qindi è ammissibile primale.. Problema dale: libere min Dalle condizioni di ortogonalità si hanno solo de vincoli: (*) Occorre qindi trovare na solzione ammissibile dale che soddisfi le condizioni (*) oppre dimostrare che non ne esiste alcna. Allo scopo niamo le de condizioni al sistema dei vincoli dali e cerchiamo na solzione:

2 libere Il sistema è evidentemente incompatibile, dovendo essere, qindi non esiste alcn vettore ammissibile dale che soddisfi le condizioni di ortogonalità. Qindi NON è ottima. Esercizio In tabella sono riportati gli archi di na rete di flsso composta da nodi. Per ogni arco sono dati il valore della sa capacità massima ed n flsso iniziale.. Partendo dalla solzione data in tabella, si determini na solzione ottima al problema di massimo flsso dal nodo al nodo tilizzando l algoritmo di Ford e Flkerson. Evidenziare la solzione ottima trovata.. Individare n taglio di capacità minima tra i nodi e. Evidenziare il taglio ottimo trovato.. Partendo dalla solzione ottima trovata al pnto, si determini il novo flsso massimo nei tre casi segenti: a. la capacità dell arco (,) è ridotta a zero b. la capacità dell arco (,) è incrementata di nità c. la capacità dell arco (,) è ridotta a zero Archi,,,,,,,,,,,, Flssi Capacità Solzione t s Il flsso iniziale da s a t è pari a (nel nodo s entra ed esce ) Passo : -- δ Passo : ---- δ

3 s Passo : t --- δ Passo : ---- δ s t Passo : ricerca cammino amentante s La ricerca si arresta evidenziando n taglio minimo La solzione in figra è qindi ottima. L insieme S che definisce il taglio minimo è qindi S{,,}. La capacità del taglio è infatti, pari al flsso massimo trovato.. Individare n taglio di capacità minima tra i nodi e. Evidenziare il taglio ottimo trovato. Gli archi del taglio diretto sono evidenziati in rosso, qelli del taglio inverso in bl s t. Partendo dalla solzione ottima trovata al pnto, si determini il novo flsso massimo nei tre casi segenti: a. la capacità dell arco (,) è ridotta a zero b. la capacità dell arco (,) è incrementata di nità c. la capacità dell arco (,) è ridotta a zero I pnti a e c sono immediati: trattandosi di archi scarichi nella solzione ottima, ridrre la loro capacità non altera le condizioni di ottimo, in particolare il flsso corrente è ancora ammissibile e nella rete resta il taglio S{,,} di capacità pari al flsso. Il pnto b invece modifica la capacità

4 del taglio S{,,} (amentandola a ) e qindi occorre riapplicare l algoritmo a partire dalla solzione ottima del passo precedente: s t Passo ---- δ Passo : Ricerca cammino amentante La solzione in figra è qindi ottima. L insieme S che definisce il taglio minimo è qindi S{,}. La capacità del taglio è infatti, pari al flsso massimo trovato. Domanda Illstrare il problema di Albero ricoprente di peso minimo, dimostrare le proprietà di na solzione ottima e illstrare de algoritmi noti per risolvere il problema che si basano s qeste proprietà.

5 B Nome: Cognome: Matricola: UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Seconda prova intermedia gigno voglio sostenere la prova orale il giorno venerdì // ore : venerdì // ore : Esercizio In tabella sono riportati gli archi di na rete di flsso composta da nodi. Per ogni arco sono dati il costo nitario di percorrenza ed n flsso iniziale.. Partendo dalla SBA in tabella, si calcoli la domanda di ciascn nodo e si individino le sorgenti della rete;. Si determini na solzione ottima al problema di flsso di costo minimo tilizzando la fase del simplesso s reti (o dimostrare che non esiste solzione ottima). Evidenziare la solzione ottima trovata (o n ciclo di costo negativo). Archi,,,,,,,,,,,, Flssi Costi Solzione. basta ricordare che la domanda di n nodo è pari alla differenza tra flsso entrante e scente dal nodo. Qindi: d ; d ; d ; d ; d ; d. Qindi le sorgenti sono i nodi e.. al passo entra (,) esce (,) δ; al passo entra (,) esce (,) δ; al passo entra (,) esce (,) δ; al passo entra (,) esce (,) δ; al passo si dimostra l ottimalità della base corrente. La solzione ottima è data dai flssi in base: ; ; ; ;. Ttti gli altri archi sono fori base. Esercizio In tabella è riportata la matrice di incidenza nodi/archi di n grafo orientato. a b c d e f g h i l m n o p q r s Pesi

6 . Trovare l albero dei cammini di peso minimo, a partire dal nodo, tilizzando l algoritmo di Dijkstra (versione efficiente). Indicare in qale ordine vengono agginti archi all albero (in qale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi).. Come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso?. Come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso?. Calcolare il cammino minimo nell albero dal nodo al nodo, ed il so peso.. Ci sono più alberi dei cammini minimi ottimi? Se sì, qali?

7 Solzione a b c d e f g h i l m n o p q r s Pesi

8 . Trovare l albero dei cammini di peso minimo, a partire dal nodo, tramite l algoritmo di Dijkstra (versione efficiente). Indicare in qale ordine vengono agginti archi all albero (in qale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi). nodo V D pred nll inf inf inf inf S {} nodo V D pred nll S {,[,],,[,],[,,]} Archi agginti nell ordine: (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)

9 . Come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso? Risposta: Solzione invariata.. Come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso? Risposta: pred(), il cammino da a pesa. S {,[,],,[,],,[,]}. Mostrate il cammino minimo nell albero dal nodo al nodo, ed il so peso. Risposta: -- con peso.. Ci sono più alberi dei cammini minimi ottimi? Se sì, qali? Risposta: L albero dei cammini minimi è nico. Domanda Definire il problema di cammino minimo, illstrare n algoritmo noto per risolverlo nel caso in ci siano presenti archi di peso negativo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

10 C Nome: Cognome: Matricola: UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo Appello gigno voglio sostenere la prova orale il giorno venerdì // ore : venerdì // ore : Esercizio State applicando l algoritmo di Floyd e Warshall ad n grafo con nodi, A E. Alla fine del passo ottenete le matrici in figra (qella di sinistra indica i cammini minimi, qella di destra i predecessori).. Effettate i passi, e dell algoritmo, aggiornando entrambe le matrici ad ogni passo dell eseczione. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate n ciclo negativo.. Se non trovate cicli negativi, mostrate il cammino minimo dal nodo E al nodo B.. Se non trovate cicli negativi, mostrate il cammino minimo dal nodo A al nodo E.. Se non trovate cicli negativi, mostrate il cammino minimo dal nodo E al nodo C.. Fissate l elemento in posizione (C, B) - e ripetete i passi, e dell algoritmo. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate n ciclo negativo.

11 passo A B C D E A inf B inf inf C inf D inf inf E inf inf inf passo A B C D E A A A A A A B B B B B B C C C C C B D D D D D D E E E E E E Solzione passo A B C D E A B inf C inf D inf E inf inf inf passo A B C D E A A C A C B B B B B C B C C C C C B D D C D D D E E E E E E passo A B C D E A B inf C inf D inf E inf passo A B C D E A A C A C B B B B B C B C C C C C B D D C D D D E E C D E E passo A B C D E A B inf C inf D inf E inf passo A B C D E A A C A C B B B B B C B C C C C C B D D C D D D E E C D E E. Se l algoritmo termina, mostrate il cammino minimo dal nodo E al nodo B.. Se l algoritmo termina, mostrate il cammino minimo dal nodo A al nodo E.. Se l algoritmo termina, mostrate il cammino minimo dal nodo E al nodo C. passo A B C D E A B inf C inf D inf E inf passo A B C D E A A C A C B B B B B C B C C C C C B D D C D D D E E C D E E. Cammino da E a B: E D C - B. Cammino da A a E: A C B - E. Cammino da E a C: E D C

12 . Effettate i passi, e dell algoritmo se l elemento in posizione (C, B) -. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate n ciclo negativo. passo A B C D E A B inf - C inf D inf E inf inf inf passo A B C D E A A C A C B B B C B C B C C C C C B D D C D D D E E E E E E. ripetendo il passo dell algoritmo con (C,B)- ci si arresta sbito perché si individa il ciclo negativo B C B di peso -. Esercizio È dato il problema di PL in figra.. verificare l ammissibilità della solzione T ( ).. Se è ammissibile dimostrarne o conftarne l ottimalità con le condizioni di ortogonalità, se non è ammissibile risolvere il problema con l algoritmo del simplesso rivisto (fase e fase ). ma libera,,, Solzione. La solzione non è ammissibile perché viola il terzo vincolo:.. Per risolvere il problema con l algoritmo del simplesso è necessario impostare il problema artificiale: min y y y y, y A qesto pnto si pò iniziare la fase. Entra esce y ; fine della fase (-z), è necessario far scire di base y (di valore nllo), pò entrare. Dopo aver effettato il pivot per far entrare si pò ricalcolare la riga zero per iniziare la fase (si osserva che, essendo il primale n problema di massimo, è necessario cambiare di segno la fnzione obiettivo). T. Il problema rislta illimitato inferiormente. Si ha: ( ) Domanda Definire il problema di Massimo Flsso, illstrare n algoritmo noto per risolverlo e dimostrare il teorema di Ford-Flkerson.

13 D Nome: Cognome: Matricola: UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo Appello gigno voglio sostenere la prova orale il giorno venerdì // ore : venerdì // ore : Esercizio In tabella è riportata la matrice di incidenza nodi/archi di n grafo non orientato. a b c d e f g h i l m n o p q r s Pesi. Trovare l albero ricoprente di peso minimo, a partire dal nodo, tramite l algoritmo di Prim- Dijkstra (vers. efficiente). Indicare in qale ordine vengono agginti archi all albero (in qale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi).. Come varia la solzione ottima se come nodo di partenza si prende il nodo?. Partendo dal nodo, esistono più alberi ricoprenti ottimi? Se sì, mostrarne almeno n altro.. Partendo dal nodo, come varia la solzione ottima togliendo dal grafo i de archi (, )?. Partendo dal nodo, come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso?

14 Solzione a b c d e f g h i l m n o p q r s Pesi

15 nodo V C pred nll inf inf inf inf S {} nodo V C pred nll S {,[,],,,,,,} Peso albero

16 . Come varia la solzione ottima se come nodo di partenza si prende il nodo? Risposta. Il peso del novo albero ricoprente sarà lo stesso del precedente albero.. Partendo dal nodo, esistono più alberi ricoprenti ottimi? Se sì, mostrarne almeno n altro S {,[,],,,,,,} S {,[,],,,,,,} S {,[,],,,,,,}

17 . Partendo dal nodo, come varia la solzione ottima togliendo dal grafo i de archi (, )? Risposta. Solzione invariata.. Partendo dal nodo, come varia la solzione ottima se l arco (, ) ha peso? Risposta. L albero ricoprente ottimo ha peso invece di. S {,[,],,,,,,} Esercizio È dato il problema di PL in figra.. verificare l ammissibilità della solzione T ( ).. Se è ammissibile dimostrarne o conftarne l ottimalità con le condizioni di ortogonalità, se non è ammissibile risolvere il problema con l algoritmo del simplesso rivisto (fase e fase ). min libera,,, Solzione. La solzione non è ammissibile perché viola il terzo vincolo:. Per risolvere il problema con l algoritmo del simplesso è necessario impostare il problema artificiale, applicare la fase e la fase. Il problema rislta illimitato inferiormente. Domanda Definire il problema di Flsso di costo minimo, illstrare n algoritmo noto per risolverlo e dimostrare che na base della matrice dei coefficienti del problema in forma standard corrisponde a n albero ricoprente della rete di flsso.

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