Ad ogni arco (i,j) del grafo e' associato un valore intero c(i,j) detto capacita' dell'arco

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1 6) FLUSSI Definizione di flusso Si definisce rete di flusso un grafo orientato e connesso con i) un solo vertice con esclusivamente archi uscenti ii) un solo vertice con esclusivamente archi entranti Tradizionalmente il vertice i) si definisce sorgente ( o origine) e si denota con x0 il vertice ii) si definisce destinazione ( o pozzo ) e si denota con z Ad ogni arco (i,j) del grafo e' associato un valore intero c(i,j) detto capacita' dell'arco Funzione flusso Si definisce funzione flusso una funzione i) a valori interi 0 ii) definita per ogni arco della rete di flusso (grafo) iii) che soddisfa la legge di Kircchoff per ogni nodo i (tranne x0 e z) (h,i) f hi = (i,j) f ij Il significato della formula iii) e' che la somma del flusso entrante in i attraverso gli archi del tipo (h.i) uguaglia la somma del flusso uscente da i gli archi attraverso gli archi (i,j) La funzione flusso e' detta ammissibile se rispetta i vincoli di capacita' per ogni arco (i,j) cioe' f ij c(i,j) Valore flusso Se si somma per tutti i vertici, tranne x0 & z la quantita' nulla (h,i) f hi - (i,j) f ij si ha i ( (h,i) f hi - (i,j) f ij ) = 0 Nella somma ogni quantita' compare due volte (uscente da i e e entrante in j ) La somma si riduce a (x0,i) f x0 i - (j,z) f jz La quantita' F= (x0,i) f x0 i (flusso uscente da x0) = (j,z) f jz ( flusso entrante in z ) e' detta valore del flusso.

2 Una rete di flusso modellizza situazioni in cui si possa trasportare del materiale da un punto x0 a un punto z attraverso nodi (punti) intermedi; Si adatta quindi a situazioni reali (es: distribuzione acqua gas ecc attraverso una rete, trasporto di materiale in ferrovia ecc...) Oltre che il vincolo f ij c(i,j) puo' essere presente un ulteriore vincolo b(i,j) f ij di capacita' minima [0 b(i,j)] per alcuni archi. Uno dei principali problemi e' la caratterizzazione e determinazione, del flusso massimo che puo' percorrere la rete. Taglio Si definisce taglio un sottoinsieme di vertici T della rete t.c x0 T,z T Sia A l'insieme dei vertici non nel taglio, x0 A Effettuando la solita somma v T\{z} ( (h,v) f hv - (v,j) f vj ) = 0 e cancellando i vari termini ripetuti si ha solo h A v T\{z} f hv - v T\{z} j A f vj - v T\{z} f vz = 0 Quindi h A v T\{z} f hv - v T\{z}j A f vj = v T\{z} f vz e inoltre h A v T\{z} f hv - v T\{z}j A f vj + h A f hz = v T\{z} f vz + h A f hz = F (valore del flusso) Il termine h A v T\{z} f hi + h A f hz rappresente il flusso totale h A v T f hi che entra in T dai vertici in A Invece v T\{z} j A f ij e' il flusso che esce (ritorna) da T verso A e e vale anche v T j A f vj

3 Siccome 0 f ij c(i,j) F = h A v T f hv - v T j A f vj h A v T c(h,v) [Se vi sono limiti inferiori 0 b(i,j) f ij c(i,j) la limitazione diventa F h Av T c(h,v) - v T j A b(v,j)] Ogni taglio T definisce una quantita' ( valore del taglio) V(T) = h A v T c(h,v) [ V(T) = h Av T c(h,v) - v T j A b(v,j) in presenza di limiti inferiori ] e per ogni flusso F V(T) Flusso massimo e minimo taglio Necessariamente per il flusso massimo F M si ha F M min T { V(T) } Un flusso F e' certamente massimo se e' possibile individuare un taglio T per cui F=V(T) Vale l'uguaglianza se per tale flusso si ha f ij =c(i,j) per gli archi entranti nel taglio e f ij =0 [o f ij =b(i,j)] per gli archi uscenti dal taglio Il calcolo del flusso massimo (e del taglio di capacita' minima ) e' effettuato dal saguente algorimo Algoritmo di Ford e Fulkerson modificato da Edmonds e Karp Si parte da un flusso compatibile ( es: il flusso nullo se non vi sono limitazioni inferiori) Si considera il vertice x0 come "etichettato" e i rimanenti come non etichettati Accanto ad ogni vertice etichettato x si considera un valore V(x). Si pone inizialmente V(x0)= + Si esaminano in sequenza i vertici etichettati Si parte da x0 che in partenza e' l'unico etichettato. Se v e' etichettato si etichetta con [v] ogni vertice non ancora etichettato w tale che [ arco uscente da v su cui si puo' aumentare il flusso ]

4 eiste arco (v,w) e f vw < c(v,w) Si pone V(w)= min { V(v), c(v,w)- f vw } con [-v] ogni vertice non ancora etichettato w tale che [ arco entrante in v su cui si puo' diminuire il flusso ] eiste arco (w,v) e f wv > 0 Si pone V(w)= min { V(v), f vw } {La condizione > 0 e' semplicemente f wv >b(w,v) se esiste una limitazione inferiore e V(w)= min { V(v), f vw -b(w,v)} } E' importante etichettare da ogni vertice tutti i vertici possibili I vertici cosi' etichettati sono inseriti in coda alla sequenza dei vertici etichettati da esaminare. Se il vertice z viene etichettato le etichette determinano un percorso da da x0 a z Il flusso sugli archi del percorso puo' essere modificato di un valore h = V(z) aumentando sugli archi orientati da x0 a z e diminuendo nel caso contrario (etichette negative) Nel cammino ogni vertice v (tra x e y ) e' in una delle seguenti situazioni (non interessa l'etichetta del vertice precedente x) i) arco entrante e arco uscente su cui aumentare caso x[ ] v[x] y[v] ii) arco uscente su cui aumentare e arco entrante su cui diminuire casi x[ ],v[-x] y[v] oppure x[ ] v[x], y[-v] iii) arco entrante su cui diminuire e uscente su cui diminuire x[?] v[-x] y[-v] La modifica del flusso non viola la legge di Kirchhoff e il flusso resta intero e compatibile dalla definizione di h. La modifica del flusso satura almeno un arco portando il flusso alla o capacita' massima o a zero, Quindi etichettato z si modifica il flusso, si cancellano le etichette e si riparte con il solo vertice x0 etichettato e V(x0)= +

5 Il procedimento delle etichette/aumenti viene ripetuto fino a che non e' piu' possibile etichettare z Se non si puo' etichettare z il flusso e' massimo I vertici della rete di trasporto si possono suddividere nei due sottinsiemi VE ( vertici etichettati) e VN (vertici non etichettati). Chiaramemte x0 VE z VN e de VN e' un taglio, Se esiste un arco ( x y ) con x VE y VN y e' adiacente a x ma non etichettato quindi f xy = c(x,y) Se esiste arco ( w,v) con w VN v VE (w,v) e' entrante in v, w non e' etichettato quindi f wv =0 [o = b(w,v) limite inferiore] Per il taglio VN vale Flusso =capacita' del taglio VN e' un taglio di capacita' minima e il flusso e' massimo Complessita' dell'algortimo (cenno) Se partendo da ogni vertice si etichettano tutti i vertici possibili si determina un albero di cammini di possibile aumento e il piu' corto cammino di aumento da x0 a z. Il flusso viene aumentato fino a saturare un arco che non entra in un cammino di aumento di pari lunghezza, Nel caso peggiore dopo (A=numero archi ) cammini si passa a cammini di lunghezza maggiore. In un grafo di n nodi un cammino non puo' essere piu' lungo di n-1 Quindi si ha un limite di A(cammini lunghi 1) + A(cammini lunghi 2) + A*N aumenti, indipendentemente dalle capacita'. Esempio 1 Si considera la seguente rete di flusso

6 Si parte da x0 [da ogni vertice si etichettino in sequenza i vertici a partire dall' indice piu' basso. ] si etichettano 1 [x0] e 2[x0] i valori V sono V(1) = 30 V(2)=20 i vertici etichettati da esaminare ancora sono { 1,2} da 1 si etichettano 3 [1] e 4[1] i valori V sono V(3)=min (30,12) =12 e V(4)= min(30,5)=5 i vertici etichettati da esaminare ancora sono { 2,3,4} da 2 si etichetta 5[2], V(5) = min (20,18)=18 vertici etichettati da esaminare ancora sono { 3,4,5} da 3 si etichetta z[3], V(z)= min( 12, 15) = 12 Le etichette z[3], 3[2], 2[x0], ( e x0[x0] per indicare x0 come origine ) individuano il cammino x z l'aumento di flusso e' V(z)= 12 l' arco saturato e' (1,3) ( flusso = capacita' ) Il flusso totale vale 12 Si cancellano tutte le etichette e si riparte da x0 Da 1 non sara' piu possibile etichettare 3 e si determinera' un cammino diverso L'algoritmo determina in sempre i cammini piu' corti possibili; i cammini successivi corrispondono quindi ai cammini x z Aumento di flusso =5 arco saturato (1,4) Flusso totale = 17 x z Aumento di flusso =18 arco saturato (2,4) Flusso totale = 35 x z Aumento di flusso =2 arco saturato (x0,2) Flusso totale = 37 x z Aumento di flusso =7 arco saturato (5,z) Flusso totale = 44 x z Aumento di flusso =1 arco saturato (4,z) Flusso totale = 45 x z [Aumento di flusso = 2 arco saturato (1,2)] Flusso totale = 47

7 Su nessun arco il flusso e' stato diminuito Da x0 e' possibile etichettare 1 Da 1 non e' possibile etichettare ulteriormente Si determina il taglio (archi non etichettati) costituito da tutti i vertici tranne x0 e 1. Nella figura sono indicati sia gli archi saturi sia gli archi entranti nel taglio. All'interno del taglio sono possibili modifiche (diminuzione di flusso su archi saturi) senza modificare il flusso totale. Il flusso su (2,4) puo' diminuire di 2 se si aumenta della stessa quantita' sul percorso Analogamente su 4-z il flusso puo' diminuire di 1 se aumenta di 1 su 4-3-z Osservazione 1 I primi studi sui flussi hanno avuto origini militari ( studio della rete ferroviaria del "nemico") L'algoritmo del massimo flusso individua implicitamente un taglio di capacita' minima e gli archi entranti nel taglio. Il bombardamento/ danneggiamento delle linee ferroviarie corrispondenti diminuisce sicuramente la capacita' complessiva di trasporto. Osservazione 2 E' necessario etichettare tutti i vertici possibili in modo da considerare il minimo cammino x0-z e non un percorso x0-z arbitrario Esempio 2 ( necessita' min cammino )

8 Se si etichettano tutti i vertici possibbili trova il flusso massimo in due passi aumentando di 1000 sul cammino x0-1-z (x0 1) saturato e poi aumentando di pari quantita' su x0-2-z Se si etichetta in modo arbitrario e' possibile aumentare di 1 sul percorso x0-1-2-z etichette 1[x0], 2[1], z[1] e successivamente etichettare 2[x0], 1[-2], z[1] portando il flusso a 1 sui due cammini x0-1-z x0-2-z Se il procedimeto e' ripetuto il flusso massimo e' trovato dopo 2000 passi. Il numero di passi dipende in questo caso dalle capacita' e non dalla geometria della rete (cammini) Osservazione 3 Non e' possibile escludere la necessita' di diminuzioni di flusso su singoli archi (etichette negative) poiche' non sempre i cammini piu' corti sono i piu' vantaggiosi Esempio 3 (obbligo di diminuzione )

9 . In questo caso i cammini piu' corti determinati dall'algoritmo sono Cammini x z [1] con Aumento di 1 (x0,2) saturo x z con Aumento di 1 (5,z) saturo x z Aumento di 1 ( x0,1) saturo In questo caso 2 e' etichettato [-5], il flusso aumenta su x0-1-3, dimunuisce su (2,5), aumenta su z[1] Scrittura matematica Se si considera la solita matrice A (nodi per archi) con vettori colonna corrispondenti all'arco (ij) ed elementi c(i)= -1, c(j)=1, 0 altrimenti Un flusso corrisponde ad un vettore intero x di componemti (una per arco) Sia y il valore complessivo del flusso Determinare il massimo flusso equivale a max y (= max 0x+y) con i vincoli 1) (Ax) i =0 ( per i nodi i diversi da x0 e z - Flusso entrante = flusso uscente ) 2) (Ax) x0 + y =0 ( flusso uscente da x0 ) [Basta una sola delle condixioni sul flusso o in x0 o in z ] 3) i vincoli sui singoli archi 0 f ij c(i,j) [oppure b(i,j) f ij c(i,j)]