Ottimizzazione nella Gestione dei Progetti - Esercitazione 1: calcolo degli schedule ottimi

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1 Università degli Studi di Roma La Sapienza Ottimizzazione nella Gestione dei Progetti - Esercitazione : calcolo degli schedule ottimi di FABIO D ANDREAGIOVANNI Dipartimento di Informatica e Sistemistica A. Ruberti Fabio D Andregiovanni 8

2 CONTATTI: Fabio D Andreagiovanni nuovo edificio DIS stanza A via Ariosto, 5 MAIL: f.dandreagiovanni@dis.uniroma.it TEL: 7778 URL: RICEVIMENTO: per appuntamento

3 Richiami di modellazione Modello di riferimento: Activity on Nodes RELAZIONE di PRECEDENZA L attività i precede l attività j i < j i j ATTIVITA ATTIVITA FABBRICAZIONE DELLA BIRRA ATTIVITA FITTIZIA (INIZIO) ATTIVITA FITTIZIA (FINE) Fabio D Andregiovanni 8

4 GESTIONE TEMPORALE PROGETTO Problema di Ottimizzazione (Programmazione Lineare) VARIABILI = istanti di avvio attività VINCOLI = relazioni di precedenza INPUT: grafo G (V,A) min s n s s j s i l ij ( i, j) s i i G A MINIMIZZAZZIONE DELLA DURATA TOTALE DEL PROGETTO (differenza tra istanti di avvio delle attività fittizie di FINE e INIZIO progetto) RELAZIONI DI PRECEDENZA TRA ATTIVITA ISTANTE di AVVIO ATTIVITA (valore non negativo!!!) SCHEDULE OTTIMO S* = (S*, S*,, Sn*) lo schedule è un VETTORE con n componenti (non è costituito solo da S n *) Fabio D Andregiovanni 8

5 Calcolo dell Earliest Start Schedule Earliest Start Schedule (ESS): individua il minimo istante ammissibile di avvio di ogni attività la generica componente i ha valore pari alla lunghezza del cammino massimo dal nodo al nodo i CALCOLO ESS = RISOLVERE UN PROBLEMA DI CAMMINI MASSIMI DAL NODO A TUTTI GLI ALTRI NODI NEL GRAFO DEI VINCOLI (INDIVIDUAZIONE ARBORESCENZA MASSIMA) ALGORITMI PER IL CALCOLO DELL ARBORESCENZA MASSIMA: Bellman Ford Dinamico Ciascuno ha pregi e difetti QUALE USARE??? Dinamico Specializzato Fabio D Andregiovanni 8

6 Calcolo ESS Quale algoritmo usare? REGOLA OSSERVARE ATTENTAMENTE IL GRAFO DELLE PRECEDENZE L analisi preliminare del grafo e delle relazioni consente di escludere immediatamente l uso di alcuni algoritmi Che tipo di relazioni di precedenza sono presenti? solo FS min () vari tipi ALG. CANDIDATI: - Bellman Ford - Dinamico specializzato ALG. CANDIDATI: - Bellman Ford - Dinamico UTILIZZABILE IN OGNI SITUAZIONE MA A MAGGIORE COMPLESSITA DEGLI ALTRI! Fabio D Andregiovanni 8

7 Creazione del grafo dei vincoli Ogni relazione del grafo delle precedenze deve essere tradotta in una relazione puramente algebrica d= SF min () d= L attività deve terminare almeno unità di tempo dopo l avvio dell attività f s (s +d ) s s s d d= SS max () d= L attività deve iniziare al massimo unità di tempo dopo l avvio dell attività s s + s s - Le relazioni max invertono l orientamento dell arco Fabio D Andregiovanni 8

8 Un esercizio completo: calcolo ESS A d 5 FS min () FS min () SS min () SS min () SF min () 5 SS max () FS max () FS min () FS min () Osserviamo le precedenze dato che sono di vario tipo escludiamo subito l uso dell Alg. Dinamico Specializzato Traduzione relazioni di precedenza: FS max (l ij ) s j (s i +d i ) + l ij s j s i d i + l ij s i s j (d i + l ij ) FS min (l ij ) s j (s i +d i ) + l ij s j s i d i + l ij SS min (l ij ) s j s i + l ij s j s i l ij Fabio D Andregiovanni 8

9 Relazioni di precedenza implicite In ogni grafo si deve tenere conto di alcune precedenze implicitamente presenti: Ogni attività può iniziare solo dopo che sia stato avviato il progetto esiste una relazione FS min () dall attività avvio progetto ad ogni altro nodo del grafo Il progetto può terminare solo dopo che tutte le attività sono state completate esiste una relazione FS min () da ogni nodo del grafo all attività fine progetto n GRAFO dei VINCOLI -7 TUTTI I PESI DEGLI ARCHI SONO NULLI 5 - PESO PARI ALLA DURATA DELL ATTIVITA DA CUI PARTE L ARCO Fabio D Andregiovanni 8

10 GRAFO dei VINCOLI -7 LA NATURA DEL GRAFO DETERMINA L ALGORITMO UTILIZZABILE ciclico aciclico 5 - BELLMAN FORD DINAMICO La natura del grafo si individua mediante l alg. di ORDINAMENTO TOPOLOGICO. Ad ogni iterazione: si individua un nodo privo di archi entranti si assegna al nodo trovato un etichetta numerica crescente si cancella dal grafo il nodo, insieme a tutti i suoi archi uscenti Se si riescono ad etichettare tutti i nodi allora il grafo è ACICLICO altrimenti è CICLICO Fabio D Andregiovanni 8

11 GRAFO dei VINCOLI ORIGINALE GRAFO dei VINCOLI ORDINATO TOPOLOGICAMENTE 5-7 OGNI NODO HA ARCHI ENTRANTI SOLO DA NODI CON ETICHETTE DI VALORE INFERIORE - Fabio D Andregiovanni 8

12 L Algoritmo Dinamico SEGUENDO LA NUMERAZIONE TOPOLOGICA, ad ogni iterazione: si considera l insieme degli archi entranti nel nodo corrente si individua il nodo coda dell arco per cui è massima la somma dell etichetta temporale es con la lunghezza l dell arco si valorizzano i parametri del nodo corrente in base a quelli del nodo e dell arco a valore massimo Ad ogni iterazione si individua definitivamente una componente dell ESS Fabio D Andregiovanni 8

13 GRAFO dei VINCOLI ORDINATO TOPOLOGICAMENTE Inizializzazione: es =, prec = Nodo - archi entranti: (,): es = + =, prec = Nodo archi entranti: (,) (,): es = max [+, +]=, prec = Nodo archi entranti: (,) (,): es = max [-, +]=, prec = Nodo 5 archi entranti: (,5) (,5): es 5 = max [+, -7]=, prec 5 = Nodo archi entranti: (,5) (,5): es = max [+, +]= 8, prec =5 ESS= A es Fabio D Andregiovanni 8

14 L Algoritmo Dinamico Specializzato: esempio A d 5 FS min () FS min () FS min () FS min () FS min () 5 FS min () FS min () FS min () FS min () SONO PRESENTI SOLO RELAZIONI SEMPLICI! Il Grafo dei Vincoli è aciclico Si usa il Dinamico Specializzato STESSA STRUTTURA DEL DINAMICO SEMPLICE SI SFRUTTA IN PIU LA PECULIARITA DI UNA RELAZIONE SEMPLICE: i l ij = d i j Fabio D Andregiovanni 8

15 A d 5 5 Inizializzazione: es = ef =, prec = Nodo - archi entranti: (,): es =, prec =, ef =+= Nodo archi entranti: (,) (,): es = max [, ]=, prec =, ef =+=5 Nodo archi entranti: (,) (,): es = max [, 5]=, prec =, ef =5+=9 Nodo 5 archi entranti: (,5) (,5): es 5 = max [, 9]= 9, prec 5 =, ef 5 =9+= Nodo archi entranti: (,5) (,5): es = max [9, ]=, prec =5 5 ESS = A es 5 9 Fabio D Andregiovanni 8

16 ESS: diagramma di flusso GRAFO delle PRECEDENZE solo FS min () Costruzione GRAFO dei VINCOLI Che relazioni sono presenti? vari tipi Costruzione GRAFO dei VINCOLI Applica DINAMICO SPECIALIZZATO Applica BELLMAN FORD NO il grafo può essere numerato topologicamente? SI Applica DINAMICO SEMPLICE ESS Fabio D Andregiovanni 8

17 Calcolo del Latest Start Schedule Latest Start Schedule (LSS): individua il massimo istante ammissibile di avvio di ogni attività per completare il progetto entro una deadline T la generica componente i ha valore pari alla differenza tra la deadline T e la lunghezza del cammino massimo dal nodo n al nodo i sul grafo reverse Grafo ottenuto invertendo l orientamento di tutti gli archi del grafo dei vincoli 5 5 Fabio D Andregiovanni 8

18 LSS: diagramma di flusso GRAFO delle PRECEDENZE NB: IL DINAMICO SPECIALIZZATO NON RICHIEDE LA COSTRUZIONE DEL GRAFO REVERSE! solo FS min () Costruzione GRAFO dei VINCOLI Applica DINAMICO SPECIALIZZATO Che relazioni sono presenti? Applica BELLMAN FORD LSS NO vari tipi Costruzione GRAFO dei VINCOLI Costruzione GRAFO REVERSE il grafo può essere numerato topologicamente? Applica DINAMICO SEMPLICE SI Fabio D Andregiovanni 8