Ottimizzazione Combinatoria e Reti (a.a. 2007/08)

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1 o Appello 6/07/008 Ottimizzazione Combinatoria e Reti (a.a. 007/08) Nome Cognome: Matricola: ) Dopo avere finalmente superato l esame di Ricerca Operativa, Tommaso è pronto per partire in vacanza. Tommaso sceglie n oggetti che desidera portare con sè, e si pone il problema di mattere tali oggetti nel suo set di m valigie, tutte indentiche tra loro. Individua tre sottoinsiemi di oggetti critici per il trasporto, vale a dire l insieme S delle paia di scarpe, l insieme A degli abiti facilmente spiegazzabili, e l insieme I degli oggetti per l igiene personale. Per ovvie ragioni decide che nessun paio di scarpe possa essere inserito in valigia insieme ad un oggetto di igiene personale, e neppure insieme ad un abito spiegazzabile. Sapendo che l oggetto i ha peso p i, e che ogni valigia è in grado di contenere oggetti per un peso complessivo pari a P, si formuli in termini di PLI il problema di decidere come mettere gli oggetti nelle valigie minimizzando il numero di valigie utilizzate, nel rispetto dei vincoli di peso e dei vincoli di compatibilità tra oggetti. Introduciamo le variabili di assegnamento x ij tali che: {, se l oggetto i vien inserito nella valigia j x ij = 0, altrimenti i =,.., n, j =,.., m. Introduciamo inoltre le variabili binarie y j tali che: {, se si utilizza la valigia j y j = 0, altrimenti j =,..m. Una formulazione del problema è la seguente: min m j= y j m x ij = j= n p i x ij Py j i= x ij + x hj x ij + x hj x ij {0, } y j {0, } i =,.., n j =,..m i S, h I, j =,..m i S, h A, j =,..m i =,..n, j =,..m j =,..m Il primo blocco di vincoli rappresenta i vincoli di semiassegnamento (degli oggetti alle valigie). Il secondo blocco di vincoli garantisce il soddisfacimento dei vincoli di peso. Inoltre assicura che, se un oggetto viene assegnato ad una valigia j, questa venga utilizzata (e quindi y j = ). Il terzo blocco di vincoli costituisce i vincoli di compatibilità tra le scarpe, gli abiti spiegazzabili e gli oggetti per l igiene personale. Infine la funzione obiettivo, da minimizzare, rappresenta il numero totale di valigie utilizzate.

2 o Appello 6/07/008 ) Si applichi l algoritmo SPT-multilabel al grafo in figura, per determinare cammini Pareto ottimi di radice rispetto al criterio costo (associato agli archi in figura) e al criteria lunghezza dei cammini (inteso come numero di archi). Per ogni iterazione si riportino la coppia selezionata i, h (i nodo, h lunghezza dei cammini dalla radice ad i), il vettore delle etichette, il vettore dei predecessori, e l insieme delle coppie candidate Q. Si selezionino da Q le coppie i, h per valori non decrescenti di h. Al termine, si fornisca l insieme delle etichette corrispondenti ai cammini Pareto ottimi dal nodo radice al nodo, giustificando la risposta. 0 Indichiamo con d ih l etichetta corrente della coppia i, h, vale a dire il minor costo corrente dei cammini dal nodo radice al nodo i formati da esattamente h archi. Indichiamo inoltre con p ih il predecessore corrente di i, h. Indichiamo infine con u la coppia selezionata ad ogni iterazione. Per semplificare la presentazione, ad ogni iterazione riporteremo solo le etichette ed i predecessori che subiscono un aggiornamento del rispettivo valore. Inizializzazione: d ih = M, p ih = nil, i =,,,,, h, intero (al solito, M denota un costo opportunamente elevato); d i0 = 0, p i0 = nil; Q = {, 0 }. Iter. : u =, 0 : d =, p =, 0 ; d =, p =, 0 ; d =, p =, 0 ; Q = {,,,,, }. Iter. : u =, : d =, p =, ; d =, p =, ; d =, p =, ; Q = {,,,,,,,,, }. Iter. : u =, : Q = {,,,,,,, }. Iter. : u =, : Q = {,,,,, }. Iter. : u =, : d =, p =, ; d =, p =, ; Q = {,,,,,,, }. Iter. 6: u =, : Q = {,,,,, }. Iter. 7: u =, : Q = {,,, }. Iter. 8: u =, : Q = {, }. Iter. 9: u =, : Q =, STOP. Per ogni nodo destinazione i (i =,,, ), le etichette corrispondenti ai cammini Pareto ottimi da ad i si ottengono eliminando le eventuali etichette di valore M, ordinando le rimanenti etichette relative ad i per h crescente, ed estraendo dalla sequenza così ottenuta la sottosequenza di costo decrescente (in caso di parità, si estrae l etichetta corrispondente al minimo valore di h); considerando il nodo destinazione si ottiene quindi: nodo : d =, d =

3 o Appello 6/07/008 ) Si proponga un euristica di tipo greedy ed una di tipo ricerca locale per il problema descritto in ). Il problema è una variante di un problema noto in letteratura come problema di bin packing. Si tratta di un problema NP-Hard, per il quale sono state proposte sia euristiche di tipo greedy, che euristiche basate su ricerca locale. Per quanto riguarda euristiche di tipo greedy, si possono ordinare gli n oggetti in ordine (non crescente oppure non decrescente) di peso, ed inserirli, seguendo tale ordine, nella valigia più vuota tra quelle già utilizzate. Solo nel caso in cui l oggetto in esame non possa essere inserito in nessuna delle valigie già in uso, allora si utilizza una nuova valigia. Per il problema in esame, naturalmente, vanno considerati anche i vincoli di compatibilità tra oggetti. Un paio di scarpe, quindi, non potrà essere inserito in una valigia contenente un abito spiegazzabile oppure un oggetto per l igiene personale, anche se i vincoli di peso permetterebbero tale inserimento. Si possono anche considerare euristiche greedy un poco più sofisticate, ad esempio basate sull ordinamento separato delle scarpe e degli oggetti restanti. Tali euristiche inseriscono prima gli oggetti in S, considerati più critici, e poi provvedono all inserimento degli oggetti restanti. A partire da una soluzione ammissibile restituita da un algoritmo greedy, si può progettare un algoritmo di ricerca locale che, ad ogni iterazione, scambi una coppia di oggetti appartenenti a due diverse valigie (nel rispetto dei vincoli di peso e di compatibilitgià). Tali mosse, di tipo -scambio, possono naturalmente essere generalizzate, e coinvolgere un numero di oggetti maggiore di due.

4 o Appello 6/07/008 ) Si determini una soluzione dell istanza del problema di Set Covering con N = {,,..., 6} qui rappresentata F i {,,, } {,,, 6} {,, } {,, } {,, 6} {,, 6} {, } {, } c(f i ) applicando l algoritmo greedy che utilizza l ordinamento per Costo Unitario Dinamico (ossia in cui il costo di un insieme ancora disponibile è diviso per il numero di oggetti dell insieme non ancora coperti dagli insiemi precedentemente selezionati). Si descrivano i passi compiuti, e si commenti la soluzione ottenuta. Definiamo S l insieme dei sottoinsiemi F i selezionati, ed N(S) = Fi S F i N l insieme degli elementi di N coperti da S; inizialmente si ha S = N(S) =. L algoritmo greedy compie le seguenti iterazioni:. I Costi Unitari Dinamici sono mostrati nella tabella seguente: F i {,,, } {,,, 6} {,, } {,, } {,, 6} {,, 6} {, } {, } CUD i 9/ / / / Si seleziona il sottoinsieme con CUD minore, che risulta essere F 7 = {, }; pertanto, si ha S = {{, }}, N(S) = {, }.. I Costi Unitari Dinamici rispetto al nuovo S sono mostrati nella tabella seguente, con l esclusione dei sottoinsiemi che risultano interamente contenuti in N(S), e quindi in particolare di quelli già inseriti in S, che ovviamente non verrebbero comunque selezionati (in ogni caso, il loro CUD sarebbe pari a + ): F i {,,, } {,,, 6} {,, } {,, } {,, 6} {,, 6} {, } CUD i 6 6 / / Si seleziona il sottoinsieme con CUD minore, che risulta essere F = {,, 6}; pertanto, si ha S = {{, }, {,, 6}}, N(S) = {,,,, 6}.. I Costi Unitari Dinamici rispetto al nuovo S sono mostrati nella tabella seguente, con l esclusione dei sottoinsiemi che risultano interamente contenuti in N(S): F i {,,, 6} {,, } {,, 6} CUD i 9 6 Si seleziona il sottoinsieme con CUD minore, che risulta essere F 6 = {,, 6}; pertanto, si ha S = {{, }, {,, 6}, {,, 6}}, N(S) = {,,,,, 6} = N e l algoritmo termina. La soluzione S = {F 7, F, F 6 } ottenuta ha costo. Tale soluzione non è ottima, infatti la soluzione ammissibile S = {F 6, F 7, F 8 } ha costo 0.

5 o Appello 6/07/008 ) Si applichi all istanza di TSP in figura un algoritmo di B&B che usa MST (albero di copertura di costo minimo più un arco di costo minimo tra quelli non inseriti nell albero) come rilassamento, non usa nessuna euristica, visita l albero delle decisioni a ventaglio ed effettua il branching come segue: selezionato un nodo col minor numero r > di archi in esso incidenti nel sottografo restituito da MST, crea r(r )/ figli corrispondenti a tutti i modi possibili per eliminare r di tali archi (fissando a zero le corrispondenti variabili decisionali). Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato il branching o se il nodo viene chiuso e perché. Si esplorino solamente i primi due livelli dell albero delle decisioni (la radice conta come un livello); se ciò non è sufficiente a risolvere il problema, si indichi il gap relativo ottenuto, giustificando la risposta. 6 Indichiamo con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo, con z la valutazione superiore, e con z la migliore delle valutazioni superiori determinate. La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile; inoltre, si pone z = + perché non è nota alcuna soluzione ammissibile. Riportiamo nel seguito una possibile esecuzione dell algoritmo. Nodo radice L MST, con z = 0, è mostrato in a). Poiché z < z = + occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha quattro archi incidenti nell MST, e creare sei figli nei quali si fissano a zero, rispettivamente, tutte le possibili coppie delle variabili x, x, x e x. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in b). Poiché l MSTT è un ciclo Hamiltoniano, il nodo viene chiuso per ottimalità; inoltre, poiché z = z = < z = +, si pone z =. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in c). Poiché z > z, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in d). Poiché z < z, occorre procedere col branching; ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre archi incidenti nell MST, e creare tre figli nei quali si fissano a zero, rispettivamente, le variabili x, x e x. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in e). Poiché z > z, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in f). Poiché z z, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = 0 L MST, con z =, è mostrato in g). Poiché z > z, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. L algoritmo termina, ma Q non è vuota; non è quindi stato dimostrato che la soluzione ottenuta, con z =, è ottima. La miglior valutazione inferiore si ottiene calcolando il minimo tra le valutazioni inferiori di tutti i nodi che hanno ancora figli in Q; in questo caso si tratta del solo nodo x = x = 0, che ha z =. Pertanto il gap è ( )/ 8.%. a) b) c) d) e) f) g)