Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio

Transcript

1 Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio Andrea Scozzari a.a April 22, 2015 Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

2 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI z PLI = max c T x Ax b x 0 intero con X = P Z n l insieme discreto delle soluzioni ammissibili il problema è trovare una formulazione tale che ˆP = {x R n Âx ˆb, x 0} = conv(x ) che abbia dunque vertici interi. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

3 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI z PLI = max c T x Ax b x 0 intero P = {x R n Ax b, x 0} è la corrispondente formulazione lineare del problema di PLI. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

4 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI e due formulazioni lineari P 1 e P 2 vale Definizione Date due formulazioni lineari P 1 e P 2 per lo stesso problema di PLI, si dice che P 1 è migliore di P 2 se e solo se P 1 P 2 P 1 è una formulazione più stringente rispetto a P 2. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

5 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) Problema. A partire dalla formulazione iniziale P del problema di PLI generare une serie di Tagli in modo tale da ottenere la formulazione ideale ˆP = conv(x ). I Tagli devono avere le seguenti caratteristiche 1. devono ridurre la regione ammissibile del Problema di PL associato al problema di PLI; 2. devono essere soddisfatti da tutte le soluzioni intere del problema di PLI. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

6 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) Si assuma che i problemi di PLI ammettano una formulazione lineare P chiusa e limitata (i.e., P è un politopo), con un insieme X finito di soluzioni ammissibili Definizione Dato un problema di Programmazione Lineare Intera ed una sua formulazione lineare P, si dice sequenza di Gomory, una sequenza di politopi P = P 0 P 1 P 2... P t tale che 1. P i è una formulazione lineare del problema di PLI con i = 1,..., t; 2. se x i 1 è una soluzione ottima del problema {max ct x x P i 1 }, allora x i 1 / P i, i = 1,..., t; 3. x t è una soluzione ottima a componenti intere del problema {max c T x x P t } Pertanto, x t è una soluzione ottima del problema di PLI di partenza. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

7 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) L idea è quella di generare un taglio utilizzando le informazioni associate alla base B corrispondente alla soluzione ottima x del rilassamento continuo corrente. Supponiamo di aver risolto il problema rilassato {min c T x x P}, con P = {Ax = b, x 0} (problema in forma standard). Se x ha tutte le componenti intere allora x è soluzione ottima del problema di PLI. Altrimenti, data una base B riscriviamo il sistema nel modo seguente: Bx B + Nx N = b (x B, x N ) 0 la soluzione ottima (frazionaria) si riscrive x = (x B, x N ) = (B 1 b, 0) Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

8 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) Dato che la soluzione ottima è frazionaria, deve esistere almeno una componente basica frazionaria x h > 0. Pertanto la riga t-ma del sistema corrente dei vincoli si pu scrivere: a tj x j + x h = b t j N La riga t è detta riga generatrice del taglio. Tenendo conto che a ij = a ij + f ij dove: 1. a ij è la parte intera inferiore di a ij 2. f ij = a ij a ij è la parte frazionaria di a ij 3. 0 f ij < 1 Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

9 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) Riscriviamo il vincolo t-mo nel modo seguente: ij x j + j N a f ij x j + x h = b t + f t j N Dato che f ij x j 0, allora la vale disequazione j N con 0 f t < 1 a ij x j + x h b t + f t j N Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

10 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) In particolare per le soluzioni intere del problema di PLI si avrà: Dimostrazione a ij x j + x h b t (1) j N Per ogni soluzione x intera del problema di PLI si ha Ossia j N a ij x j + x h j N a ij x j + x h = b t + f t = b t a ij x j + x h b t + f t = b t j N Dato che i coefficienti delle variabili x sono interi, la parte sinistra della disequazione è un numero intero per cui vale a ij x j + x h b t j N La disequazione (1) è il Taglio di Gomory Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

11 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) il Taglio di Gomory a ij x j + x h b t j N è, dunque, una disguguaglianza valida per X (l insieme discreto delle soluzioni del problema di PLI) ed è tale per cui a ij xj + xh = b t > b t j N Ossia la disequazione (1) non è verificata per la soluzione ottima x, ovvero la disequazione (1) taglia x. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

12 Programmazione Lineare Intera: Tagli di Gomory (1958) La nuova formulazione P 1 migliore rispetto a P si ottiene nel modo seguente: P 1 = {Ax b, j N a ij x j + x h b t, x 0} P Teorema A. Schrijver (1980): Per ogni problema di Programmazione Lineare Intera che ammette una formulazione razionale (o limitata) P = {x R n Ax b} esiste un intero finito k tale che P k = {x R n A k x b k } coincide con la formulazione ideale, ossia P k = conv(x ). Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

13 Modelli di Localizzazione Questi modelli hanno lo scopo di selezionare alcuni zone all interno di una specifica area in cui individuare (localizzare) dei punti di servizio (facilities: centri di distribuzione, impianti di produzione, centri di primo soccorso ecc...) I problemi di localizzazione possono essere classificati a seconda del contesto spaziale di riferimento e con ciò intendiamo - Problemi di localizzazione continua; - Problemi di localizzazione discreta; - Problemi di localizzazione su reti. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

14 Modelli di Localizzazione su reti Sia dato un grafo pesato G = (V, E, d, c) dove V è l insieme degli n vertici di G che rappresentano i clienti potenziali da servire, ed E è l insieme degli n spigoli che rappresentano le connessioni tra i vertici di G. A ciascun vertice v V è assegnato un peso non negativo d v che rappresenta il livello della domanda di un determinato servizio nel vertice v. A ciascuno spigolo e = (v, u) E è associato un peso positivo c e che rappresenta la lunghezza o il costo per attraversare e. Il problema consiste nel localizzare uno o più punti di servizio in un vertice o all interno di uno spigolo in modo tale da ottimizzare un determinato criterio. I classici criteri sono: 1. Minimizzare la distanza dai punti di servizio al vertice-cliente più lontano in G: criterio minimax; 2. Minimizzare la somma delle distanze da tutti i clienti all insieme dei punti di servizio localizzati in G: criterio minsum. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

15 Modelli di Localizzazione su reti Per approfondimenti vedere A. Sassano: Modelli e Algoritmi della Ricerca Operativa Consideriamo un caso particolare dove il grafo G è un grafo bipartito, ossia G = (U, V, E, d, c) con U l insieme in cui è possibile localizzare i punti di servizio, U = m, e V è l insieme dei clienti da servire V = n. Assumiamo ci sia un costo f u associato all apertura di un centro di servizio in u U. Consideriamo { 1, se il centro di servizio u U è aperto x u = 0, altrimenti. (2) Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

16 Modelli di Localizzazione su reti Introduciamo delle variabili di assegnamento cliente-centro di servizio { 1, se il cliente v V è assegnato al centro di servizio u U y vu = 0, altrimenti. (3) Sia c vu il costo di assegnare il cliente v al centro di servizio u, la funzione obiettivo: z = u U c vu y vu + f u x u u U v V Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

17 Modelli di Localizzazione su reti Vincoli Ogni cliente v V può essere assegnato ad un centro di servizio u U solo se questo viene attivato y uv x u (4) Ogni cliente v V deve essere assegnato ad esattamente un centro di servizio u U y vu = 1 (5) u U Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

18 Modelli di Localizzazione su reti Modello min c vu y vu + f u x u u U v V u U y uv x u v V u U y vu = 1 u U v V (6) x u {0, 1}, y vu {0, 1} v V u U Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

19 Modello di Localizzazione: Formulazione alternativa A partire dal modello (6) si sommino i vincoli di assegnamento relativi alle equazioni v V. Si ottiene min v V u U v V y uv nx u y vu = 1 u U c vu y vu + f u x u u U u U v V x u {0, 1}, y vu {0, 1} v V u U (7) Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

20 Modello di Localizzazione: Formulazione alternativa Consideriamo inoltre il rilassamento continuo di (7) min c vu y vu + f u x u v V u U v V y uv nx u y vu = 1 u U u U u U v V (8) 0 x u 1, 0 y vu 1 v V u U Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

21 Modello di Localizzazione: confronti tra formulazioni Si definiscano (x, y) R n+mn : e P 1 = P 2 = y uv x u v V u U y vu = 1 u U v V 0 x u 1, 0 y vu 1 v V u U (x, y) R n+mn : v V y uv nx u u U y vu = 1 u U v V 0 x u 1, 0 y vu 1 v V u U Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

22 Modello di Localizzazione: confronti tra formulazioni P 1 e P 2 sono, rispettivamente, le formulazioni lineari dei due modelli alternativi di localizzazione Ciascun vincolo è implicato dai vincoli y uv nx u v V u U y uv x u v V u U ma non è vero il viceversa, pertanto una soluzione della formulazione lineare di (6) è soluzione di (8) ma non vale necessariamente il viceversa, ossia P 2 P 1 z P2 z P1 c vu e f u Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23

23 Modello di Localizzazione: confronti tra formulazioni P 2 P 1 z P2 z P1 c vu e f u Pertanto il Lower Bound ottenuto risolvendo (8) è sempre peggiore del Lower Bound ottenuto risolvendo la formulazione lineare di (6). Nonostante ciò, il modello (8) si risolve più facilmente rispetto alla formulazione lineare di (6). Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, / 23