COMPITO DI RICERCA OPERATIVA. max 5 2x 1 + 3x 2 x 3 = 2 + x 1 5x 2 x 4 = 5 + x 2. x 5 = 1 + x 1 x 2

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1 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA ESERCIZIO. ( punti) La riformulazione di un problema di PL rispetto alla base B = {x, x, x } è la seguente: max 2x + x 2 x = 2 + x x 2 x = + x 2 x = 2 + x + x 2 x, x 2, x, x, x 0 Basandosi solo su questa riformulazione, dire per ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa (MOTIVARE LA RISPOSTA): () la base B può essere usata come base di partenza per il simplesso primale; (2) la base B può essere usata come base di partenza per il simplesso duale; () il problema ha regione ammissibile illimitata; () il problema ha obiettivo illimitato; () il valore ottimo di questo problema è. ESERCIZIO 2. (6 punti) Dato il problema di PL con due variabili: max x + 2x 2 x 2 x + x 2 2 2x 2x 2 x, x 2 0 lo si risolva graficamente restituendo soluzione ottima e valore ottimo. Poi: () lo si trasformi in forma standard e si determini la soluzione ottima del problema trasformato in forma standard; (2) si scriva il duale del problema in forma standard; () si utilizzino le condizioni di complementarità per determinare la soluzione ottima del problema duale. ESERCIZIO. ( punti) La riformulazione rispetto alla base ottima B = {x, x, x } di un problema di PL é la seguente: max x 2x 2 x = x + x 2 x = 2 + x x 2 x = + x x 2 x, x 2, x, x, x 0 In quale intervallo posso far variare la modifica c del coefficiente di x nell obiettivo senza che cambi la base ottima? E in quale intervallo posso far variare la modifica c del coefficiente di x nell obiettivo senza che cambi la base ottima? In entrambi i casi si dica come varia il valore ottimo negli intervalli individuati.

2 2 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA ESERCIZIO. ( punti) Sia dato il seguente problema di PLI: max 2x x 2 2 x + x 2 + x = x x 2 + x = x, x 2, x, x 0 Lo si risolva usando l algoritmo di taglio di Gomory. ESERCIZIO. x, x 2, x, x I ( punti) Sia dato il seguente problema di PLI: max x + x 2 x + x 2 2 x x, x 2 0 x, x 2 I Dopo averlo opportunamente trasformato in forma standard con le dovute cautele (trattandosi di un problema di PLI), lo si risolva usando l algoritmo Branch-and-Bound. ESERCIZIO 6. ( punti) Sia data la rete con i seguenti valori b i, i =,..., 6 : b = b 2 = 0 b = b = 0 b = 2 b 6 = e i seguenti costi unitari di trasporto lungo gli archi: c = c 2 = c 2 = 2 c 6 = c = c 6 = c 62 = 0. Si dimostri che la base B = {x, x 2, x 6, x, x 6 } è ammissibile e partendo da questa si risolva il problema di flusso a costo minimo usando il metodo del simplesso per tale problema. ESERCIZIO 7. ( punti) Avete task con i seguenti profitti: Task 2 Profitto Ognuno di questi task consuma quantità diverse di risorse di cui si ha una disponibilità limitata: Task 2 Disponibilità massima Risorsa 2 7 Risorsa Risorsa Scrivete il modello opportuno per decidere quali task eseguire e quali non eseguire, tenuto conto che non potete utilizzare di ognuna delle tre risorse una quantità superiore rispetto alla sua disponibilità massima e che volete massimizzare il profitto complessivo dei task che decidete di eseguire. ESERCIZIO 8. ( punti) Spiegare quali sono le due proprietà che devono essere soddisfatte da un taglio valido per un problema di PLI e fare un esempio grafico di taglio valido per un problema di PLI con due sole variabili.

3 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA Soluzioni. Dalla riformulazione presentata risulta quanto segue. () Falso, in quanto non si tratta di una base ammissibile (x < 0). (2) Falso, in quanto non è soddisfatta la condizione di ammissibilità duale (γ 2 > 0). () Vero. La semiretta x 2 = 0 x = 2 + x x = x = 2 + x x = t t 2. costituisce un insieme illimitato di soluzioni ammissibili. () Falso, nessuna coppia colonna-costo ridotto soddisfa la condizione di illimitatezza. () Falso, non è possibile affermarlo da questa riformulazione. 2. La Figura raffigura l insieme S a nel piano (x, x 2 ). Il vertice (x =, x 2 = ) risulta ottimo. () Il problema, posto in forma standard, è il seguente. max x + 2x 2 x 2 +x = x +x 2 +x = 2 2x 2x 2 x = x,..., x 0 La riformulazione ottima è max z = x x x 2 = x x = x x x = +2x x x,..., x 0 (2) Il duale rispetto alla forma standard è min u + u 2 + u 2u 2 +2u u +u 2 2u 2 u 0 u 2 0 u 0 () Dall ottimo (della forma standard) si ottiene x > 0 = u 2 + 2u = x 2 > 0 = u + u 2 2u = 2 x = u = u 2 =, u = 0. > 0 = u = 0. La riformulazione dell ottimo perturbato rispetto a c risulta z + z = ( + c ) ( + c )x + ( c 2)x 2 da cui, imponendo le condizioni di ottimalità: c c 0 = c 2. Per la perturbazione di c, in modo analogo si ottiene z + z = ( + c ) + ( c )x (2 + c )x 2

4 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA x 2 OPT x Figura. Regione ammissibile per l esercizio 2. sulla quale si impongono le condizioni di ottimalità + c 0 2 c 0 = 2 c. La variazione del valore ottimo nei due casi è data da c e da c rispettivamente.. Riformulando rispetto alla base {x, x } si ottiene la soluzione del rilassamento lineare. max z = 0 2x x 2 x = + 2 x x 2 x = x +x 2 x, x 2, x, x 0. Il taglio di Gomory associato alla riga di x è x + x 2 2 = x + x 2 y 2, y 0. Si ottiene quindi max z = 0 2x x 2 x = + 2 x x 2 x = x +x 2 y = 2 + x + x 2 x, x 2, x, x 0. = max z = 2 x y x = +x y x = 2x +y x 2 = 2 x +y x, x 2, x, x, y 0. e quindi l ottimo intero x = 0, x 2 = 2, x =, x =.. Il problema in forma standard per PLI è il seguente. max x + x 2 2x +2x 2 +x = x +x = x,..., x I Partendo dalla base ammissibile {x, x } si ottiene la soluzione del rilassamento lineare al nodo radice. max z = 2 2x 2 x x 2 = 2 x 2 x x = x x,..., x 0.

5 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA Si effettua quindi un branch generando due nodi ( e 2): Nodo : x 2 = x 2 x + y = 2, y 0 max z = 2 2x x 2 = 2 x 2 x 2 x x = x y = 2 +x + 2 x x,..., x, y 0. = max z = x y x 2 = y x = x x = 2x +2y x,..., x, y 0. Il nodo viene chiuso per ottimalità, con soluzione intera (x = 0, x 2 = x = x = ). Nodo 2: x 2 2 = x 2 x 2. Il nodo 2 risulta chiaramente privo di soluzioni ammissibili. 6. La base data è ammissibile. Si ottiene quanto segue. 6 c x ij = 2 = 2 c 62 = x ij c 2 = 2 c = A questo punto l obiettivo del problema risulta illimitato. 7. Si definiscano le variabili binarie x,..., x {0, } con il seguente significato: x i = se e solo se il task i viene eseguito. Il modello risultante è il seguente. max 0x + 8x 2 + 7x + x + 9x 2x + x 2 + x + 7x + x x + x 2 + 6x + x + 2x 2 x + x 2 + 8x + x + 8x 20 x,..., x {0, } 8. Un taglio valido ax b deve: eliminare l ottimo x del rilassamento lineare: ax > b; non eliminare nessuna soluzione intera: ax b per ogni x Z a.