GRAFI. Cosa sono Grafi non orientati Grafi orientati Grafi pesati Alberi Automi!

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1 G R A F I 1

2 GRAFI Cosa sono Grafi non orientati Grafi orientati Grafi pesati Alberi Automi! 2

3 cip: cip: Pallogrammi Pallogrammi GRAFI: cosa sono I grafi sono una struttura matematica fondamentale: servono a rappresentare un infinità di tipi di problemi. I grafi sono strutture composte di due tipi di oggetti: vertici/nodi/siti archi/collegamenti/spigoli (edges,links) 3

4 Grafi Non-Orientati Un grafo non-orientato G `e una coppia (V, E) dove V e un insieme non vuoto, E e un insieme di coppie non-ordinate di elementi di V Coppia non ordinata: {u,v} = {v,u} 4

5 cip: cip: meglio meglio così così no? no? Esempio V = {1,2,3,4,5} E = {{1,2}, {1,3},{2,3},{1,4},{4,3},{5,4}} Questo grafo ha 5 vertici e 6 archi 5

6 Cosa è un grafo orientato? un grafo orientato è una struttura astratta composta da un insieme di nodi (o vertici) e un insieme di archi (o rami) caratterizzati dalla seguente proprietà: a ogni arco è associata una coppia ordinata di nodi Un arco associato a una coppia di vertici A e B si dice arco incidente su A e B; viceversa si dice che i nodi A e B sono adiacenti se sono associati a uno stesso arco In soldoni ci sono le freccine!! 6

7 Esempio di grafo orientato A B C D G F E I nodi sono 7 (A, B, C, D, E, F, G) Gli archi sono 8 (AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA, GC) A è adiacente a B e G G è adiacente a F (grazie all arco entrante), ad A e a C (tramite gli archi uscenti) 7

8 Proprietà e utilizzo dei grafi I grafi si utilizzano in molte discipline, tra cui l ingegneria, l economia, la chimica, l informatica, la ricerca operativa Servono per rappresentare relazioni tra gli elementi di insiemi discreti Es.: se i nodi rappresentano città, i rami possono rappresentare le strade tra di esse; allora la teoria dei grafi può essere applicata allo studio dei percorsi minimi, etc. Possiamo utilizzare i grafi per rappresentare legami non nello spazio ma nel tempo: ad esempio, in un semaforo, possiamo pensare di associare un nodo a ciascuno dei 7 intervalli di tempo in cui è diviso il periodo del ciclo semaforico. A ogni nodo possiamo associare un numero (da 0 a 6) e il colore (V G R) del semaforo in quell intervallo; i rami servono per indicare le transizioni, cioè i passaggi da un intervallo all altro 0,V 1,V 2,V 6,R 5,R 4,R 3,G Ogni nodo rappresenta uno stato interno della RSS La rete resta in ogni stato per un tempo T n I rami indicano per ogni stato della rete quale sarà lo stato successivo (stato futuro) in cui la rete andrà allo scadere dell intervallo di tempo T n Dunque i rami individuano le transizioni stato presente stato futuro All interno di ogni nodo si indicano: il nome dello stato e l uscita che la rete ha finchè si trova in quello stato 8

9 Trasformazione di un grafo degli stati in tabella di flusso Consideriamo un grafo degli stati con un solo ramo uscente per ogni nodo: e possibile condensare in una tabella tutte le informazioni contenute nel grafo e precisamente: i rami (cioè le corrispondenze stato stato presente stato futuro) il valore dell uscita in ogni nodo 0,V 1,V 2,V 6,R 5,R 4,R 3,G Stato presente Stato futuro uscita V V V G G G R G: S S F: S U 9

10 cip: cip: frecce! frecce! Grafi Orientati (o diretti) Un grafo orientato G `e una coppia (V, E) dove V e un insieme non vuoto, E e una relazione su V, ossia un insieme di coppie ordinate di elementi di V Gli elementi di V sono i vertici, gli elementi di E sono gli archi 10

11 5 Esempio V = {1,2,3,4,5} E = {(1,2), (1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Il Grafo ha 5 nodi (vertici) e 9 archi 11

12 Grafi pesati Sia nel caso orientato che in quello non orientato agli archi di un grafo può essere associata un informazione, sovente un valore numerico detto costo o peso. I grafi in cui gli archi hanno un peso sono detti grafi pesati Un grafo pesato può essere indicato con G = (V,E,w) dove ad esempio w: E R funzione peso 12

13 Esempio V = {1,2,3,4,5} E = {{1,2}, {1,3},{1,4},{2,3},{4,3},{5,4},{5,1}} 13

14 Grafi pesati: esempi Grafo della rete stradale PESO: distanza fra i nodi tempo di percorrenza 14

15 Terminologia (per i grafi orientati) In un grafo orientato G = (V,E): un vertice v e adiacente a u se c è un arco (u,v) E. Diciamo che l arco (u,v) esce da u ed entra in v. Un cammino di lunghezza k da u a u e una sequenza di vertici v 0 =u, v 1,,v k = u, tali che (v i-1, v i ) E per i =1,,k Il cammino è semplice se tutti i v i sono distinti 15

16 Terminologia (segue) Diciamo che u e raggiungibile da u se c e un cammino da u a u. Un cammino <v 0, v 1,,v k > forma un ciclo se v 0 = v k e k > 0 Il ciclo è semplice se v 1,,v k sono distinti Un grafo orientato aciclico (=senza cicli) e chiamato DAG (directed acyclic graph) 16

17 Cosa possono modellare i grafi? Reti e relativi problemi: rete stradale, ferroviaria, aeroportuale. Reti telefoniche, reti di computers (inclusa internet). Problemi: raggiungibilità, distanza minima, flusso o traffico. (grafi non-orientati) Navigazione in internet: documenti ipertestuali e relativi hyperlinks. (grafo orientato) 17

18 Cosa possono modellare i grafi? Progetti o piani articolati in fasi o sottoobiettivi: i sottobiettivi sono i vertici, le azioni per conseguirli sono gli archi (grafi orientati) Vincoli di precedenza o causali tra eventi (grafi orientati e senza cicli) Relazioni tra concetti: somiglianza, inclusione, tassonomie (sia grafi orientati che non-orientati) Automi 18

19 Rete stradale 19

20 Molecola (Benzene) 20

21 Albero genealogico 21

22 Mappa mentale (Mind map) 22

23 Mappa mentale (Mind map) 23

24 Sito Web 24

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26 Sistemi fatti di stati e transizioni. Gli stati sono i vertici, gli archi sono le transizioni. Ad esempio: un gioco a scacchiera i vertici sono le configurazioni della scacchiera le transizioni sono le mosse che posso fare per passare da una configurazione ad un altra configurazione (in genere Grafo orientato) 26

27 Gli alberi: un tipo particolare Senza cicli di grafo 27

28 FINE! 28

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33 Esempio di DAG slip calze pantaloni camicia scarpe orologio cintura cravatta giacca 33

34 In un grafo non-orientato si danno le stesse definizioni con le ovvie modifiche: un vertice u e adiacente a v se c è un arco {u,v} E. Un cammino <v 0, v 1,,v k > forma un ciclo se v 0 = v k e k > 1 34

35 Altre nozioni: un grafo non-orientato e connesso se ogni coppia di vertici e mutuamente raggiungibile. un grado orientato è fortemente connesso se ogni coppia di vertici e mutuamente raggiungibile Una componente connessa (fortemente connessa) di un grafo è un insieme massimale di vertici mutuamente raggiungibili 35

36 Proprietà: un grafo non-orientato connesso è aciclico se e solo se vi e esatamente un cammino tra ogni coppia di vertici ha esattamente V -1 archi dove V è il numero di vertici Un grafo non orientato connesso e aciclico è chiamato albero (libero) 36

37 Rappresentazione di grafi non pesati Modi principali di rappresentazione: Matrice di adiacenza: Il grafo è rappresentato da una matrice V x V i cui elementi assumono valori binari (ad esempio 0 e 1). L elemento in posizione (i, j) è uguale a 1 se e solo se il vertice j è adiacente al vertice i. Liste di adiacenza: Il grafo è rappresentato da un vettore V-indexato di liste, ognuna delle quali contenente i vertici adiacenti al vertice cui la lista è associata. Convenzione: per i grafi non orientati non esiste nessun arco da un vertice v a se stesso (cioè nessun arco (v, v) appartiene ad E) 37

38 A = Spazio richiesto: O (V 2 ) Adatta per grafi densi, in cui E è dell ordine di V 2 38

39 Spazio richiesto: O (V + E) Adatta per grafi sparsi, in cui E è molto minore di V 2 39

40 Se il grafo è pesato: A =

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