I Grafi ad Albero..Strumenti per aiutare a ragionare

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1 I Grafi ad Albero..Strumenti per aiutare a ragionare

2 Cosa sono i grafi? I grafi sono diagrammi costituiti da oggetti e da linee di collegamento; gli oggetti vengono chiamati nodi, le linee archi. Se gli archi sono muniti di un verso, il grafo viene chiamato orientato; in questo caso gli archi possono essere chiamati anche frecce. Gli eventuali nodi in cui non arrivano frecce vengono detti nodi iniziali, quelli da cui non partono frecce vengono detti nodi finali.

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4 Cosa sono i grafi ad albero? Sono grafi orientati. Possono essere di due tipi: (1) Può esistere un unico nodo iniziale da cui partono le frecce che raggiungono gli altri nodi. In ciascuno di questi altri nodi entra una sola freccia. (2) Può esistere un unico nodo finale che può essere raggiunto da tutti gli altri nodi. Da ciascuno di questi ultimi parte una sola freccia.

5 Vediamo alcune situazioni in cui è utile ricorrere all uso di un grafo ad albero..

6 In un negozio di giocattoli è arrivato uno scatolone pieno di modelli di automobili. Contiene automobili grandi e piccole, rosse e di altri colori, di marca FIAT e di altre marche. Cosa può fare il negoziante per riuscire a sistemarle in modo ordinato negli scaffali del negozio?

7 Se tu fossi il negoziante prenderesti lo scatolone, verseresti il contenuto sul pavimento e cominceresti a ripartire le automobiline in due sottoinsiemi: B e C

8 A={automobiline dello scatolone} B={modelli auto FIAT} C={modelli auto non FIAT}

9 A={automobiline dello scatolone} B={modelli auto FIAT} C={modelli auto non FIAT} Poi, all interno dei due sottoinsiemi B e C divideresti le auto rosse da quelle non rosse.

10 Grafi ad albero E poi? Come continueresti? Faresti altri sottoinsiemi, e poi altri sottoinsiemi Il diagramma di Venn si ingarbuglierebbe Come potresti rappresentare più chiaramente tutte le operazioni?

11 Ecco allora un nuovo tipo di grafico: il grafo ad albero.

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13 Ecco un altro problema che si può risolvere usando un grafo ad albero: Quanti e quali sono i possibili numeri di tre cifre (diverse tra loro) che si possono ottenere utilizzando le cifre: 3, 5, 7?

14 E se usassimo un grafo ad albero?

15 Come costruisci il grafo ad albero relativo a questo problema? Segui le istruzioni Fissa sul bordo sinistro del foglio il nodo iniziale dell albero. 2. Dal nodo iniziale fai uscire tre rami, uno per ciascuna cifra iniziale.

16 3. Chiudi ogni ramo con un tondino: sono i nodi terminali di primo livello. Ad ogni tondino corrisponde una cifra.

17 4. Da ciascun nodo terminale devi far uscire tanti rami quante sono le cifre che possono occupare il posto delle decine. Poiché queste cifre sono due, da ogni nodo farai uscire 2 rami.

18 5. Chiudi ogni ramo con un tondino: sono i nodi terminali di secondo livello; contrassegna ogni tondino con una delle 2 cifre rimaste.

19 6. Da ciascun nodo terminale di secondo livello devi far uscire tanti rami quante sono le cifre che possono occupare il posto delle unità. Poiché si tratta di una sola cifra, da ogni nodo farai uscire un solo ramo.

20 7. Chiudi ogni ramo con un tondino e contrassegnalo con la cifra che manca per completare il numero.

21 Esercizio: Completa sul tuo quaderno l albero disegnato sotto, quindi scrivi tutti i possibili numeri di tre cifre, diverse tra loro, che si possono ottenere con le cifre 4, 9, 2.

22 Un altro problema: Scrivi tutti i numeri di tre cifre che si possono formare usando le cifre 4 e 5. Attento! In questo caso il problema non pone la condizione che i numeri da costruire siano formati da cifre tutte diverse tra loro.

23 Costruisci il grafo ad albero:

24 Ancora un quesito. I ragazzi delle sezioni A, B, C e D di una scuola hanno organizzato un torneo di calcio. Se ogni squadra incontrasse le altre una sola volta, quante partite si giocherebbero in tutto?

25 La risposta la trovi nel grafo seguente:

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