Bioinformatica. Grafi. a.a Francesca Cordero. Grafi Bioinformatica

Transcript

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2 Introduzione

3 cknowledgement Lucidi da. Horváth,. emetrescu et al, lgoritmi e strutture dati, McGraw-Hill 3

4 efinizione: che cosa sono i grafi? definizione astratta: un grafo G = (V,) consiste in un insieme V di vertici (nodi) un insieme di coppie di vertici (archi, spigoli): ogni arco connette due vertici V rappresenta un insieme di oggetti rappresenta relazione tra questi oggetti due tipi di grafi: orientati non orientati (non diretti) 4

5 sempi sempio I: V = {persone che vivono in Italia}, = {coppie di persone che si sono strette la mano} sempio II: V = {persone che vivono in Italia}, = {(x,y) tale che x ha inviato una mail a y} 5

6 Terminologia relazione simmetrica (coppie non ordinate) grafo non orientato (esempio I) V = {,,,,, } = {(,), (,), (,), (,), (,), (,)} (,) e (,) denotano lo stesso arco 6

7 Terminologia relazione non simmetrica (coppie ordinate) grafo orientato (esempio II) V = {,,,,, } = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} (,) e (,) denotano due archi diversi 7

8 Terminologia in un grafo orientato, un arco (x,y) è incidente da x in y (,) è incidente da a (,) è incidente da in (,) è incidente da in 8

9 Terminologia un vertice x si dice adiacente a y se e solo se (y,x) è adiacente ad è adiacente a, a e ad è adiacente a e viceversa non è adiacente a non è adiacente ad alcun vertice 9

10 Terminologia in un grafo non orientato, la relazione di adiecenza è simmetrica è adiacente ad e viceversa è adiacente a e viceversa non è adiacente ad alcun vertice 10

11 in un grafo non orientato: efinizioni: grado il grado di un vertice è il numero di archi che da esso si dipartono in un grafo orientato: il grado entrante (uscente) di un vertice è il numero di archi incidenti in (da) esso il grado di un vertice è la somma del suo grado entrante e del suo grado uscente 11

12 efinizioni: peso associamo ad ogni arco un peso grafo pesato: (G,W) dove G è un grafo W è la funzione peso: W : R dove R è l insieme dei numeri reali W((,)) = 3,W((,)) = 2.3,W((,)) = 12

13 sia G = (V,) un grafo efinizioni: sottografo un sottografo di G è un grafo H = (V, ) tale che V V e poichè H è un grafo, deve valere che V V V = {,,,}, = {(,), (,), (,)} 13

14 efinizioni: cammino in grafo non orientato sia G = (V,) un grafo un cammino nel grafo G è una sequenza di vertici v 1,v 2,...,v n tale che (v i,v i+1 ) per 1 i < n la lunghezza del cammino è il numero totale di passaggi ad un vertice al altro (uno in meno del numero di vertici) ,,,,,, è un cammino nel G di lunghezza 6 14

15 efinizioni: cammino in grafo orientato sia G = (V,) un grafo orientato un cammino nel grafo G è una sequenza di vertici v 1,v 2,...,v n tale che (v i,v i+1 ) per 1 i < n ,,,,, è un cammino nel G,,,,, non è un cammino nel G 15

16 efinizioni: cammino in grafo non orientato un cammino è un cammino semplice se tutti suoi vertici sono distinti (compaiono una sola volta nella sequenza) eccetto al più il primo e l ultimo che possono essere lo stesso ,,,,,, è un cammino non semplice,,,, è un cammino semplice 16

17 efinizioni: raggiungibilità se esiste un cammino p tra i vertici x e y, si dice che y è raggiungibile da x (x y ) è raggiungibile da e viceversa in un grafo non orientato la relazione di raggiungibilità è simmetrica 17

18 efinizioni: raggiungibilità se esiste un cammino p tra i vertici x e y, si dice che y è raggiungibile da x (x y ) è raggiungibile da ma non è raggiungibile da in un grafo orientato la relazione di raggiungibilità non è simmetrica 18

19 efinizioni: grafo connesso se G è un grafo non orientato, definiamo G connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice questo grafo è connesso 19

20 efinizioni: grafo connesso se G è un grafo non orientato, definiamo G connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice questo grafo non è connesso 20

21 efinizioni: grafo fortemente connesso se G è un grafo orientato, definiamo G fortemente connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice questo grafo è fortemente connesso 21

22 efinizioni: grafo fortemente connesso se G è un grafo orientato, definiamo G fortemente connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice questo grafo non è fortemente connesso non esiste cammino da ad 22

23 efinizioni: grafo debolmente connesso se G è un grafo orientato, definiamo G debolmento connesso se il grafo ottenuto da G dimenticando la direzione degli archi è connesso questo grafo è debolmente connesso 23

24 efinizioni: ciclo un ciclo è un cammino x 1,...,x n di lunghezza almeno 1, tale che x 1 = x n il cammino,,,, è un ciclo 24

25 efinizioni: grafo aciclico un grafo senca cicli è detto aciclico questo grafo non è aciclico perchè esiste il ciclo,, un grafo orientato aciclico è spesso chiamato directed acyclic graph (G) 25

26 efinizioni: grafo completo un grafo completo è un grafo che ha un arco tra ogni coppia di vertici questo grafo non è completo 26

27 efinizioni: grafo completo un grafo completo è un grafo che ha un arco tra ogni coppia di vertici questo grafo è completo ( numero ) di archi in un grafo completo con n vertici: n n(n 1) =

28 efinizioni: albero libero un albero libero è un grafo non orientato, connesso, aciclico libero si riferisce al fatto che non è definito quale vertice è la radice 28

29 efinizioni: albero radicato un albero radicato è un grafo non orientato, connesso, aciclico con un vertice designato ad essere radice radice 29

30 Rappresentazione: matrice di adiacenza, grafo non orientato M(x,y) = { 1 se (x,y) 0 altrimenti

31 Rappresentazione: lista di adiacenza, grafo non orientato L(x) = lista di y, tale che (x,y) per x V 31

32 Rappresentazione: matrice di adiacenza, grafo orientato M(x,y) = { 1 se (x,y) 0 altrimenti

33 Rappresentazione: lista di adiacenza, grafo orientato L(x) = lista di y, tale che (x,y) per x V 33

34 Rappresentazione: matrice di adiacenza, grafo pesato M(x,y) = W(x,y)

35 Rappresentazione: lista di adiacenza, grafo pesato L(x) = lista di W(x,y), tale che W(x,y) 0 per x V

36 Visite

37 Visite scopo: visitare tutti nodi e archi in modo sistematico problema di base in molte applicazioni la visita fornisce informazione sul grafo visitato vari tipi di visite: in ampiezza, breadth first search in profondità, depth first search

38 Realizzazione insieme di vertici diviso in tre sottoinsiemi: bianco: nodi non ancora scoperti (non visitati) grigio: vertici scoperti di cui adiacenti non sono ancora tutti scoperti (nodi da cui bisogna andare ancora avanti; la frangia) nero: nodi scoperti di cui adiacenti sono già stati scoperti (nodi da cui non bisogna andare avanti più) proprietà I: colore di un nodo può solo passare da bianco a grigio a nero

39 lgoritmo di visita in ampiezza, S VISIT(G, s) make empty color[s] grigio add(, s) while non empty() do u first() if v bianco adj[u] then color[v] grigio π[v] u add(, v) else color[u] black remove first() struttura dati di è una coda visita in ampiezza (breadth first search, S)

40 sempio di S G H oda :

41 sempio di S G H

42 sempio di S G H

43 sempio di S G H

44 sempio di S G H

45 sempio di S G H H H

46 sempio di S G H H H

47 sempio di S G H H H G G

48 sempio di S G H H G G

49 sempio di S G H H G G

50 sempio di S G H H G

51 lgoritmo di visita in profondità, S VISIT(G, s) make empty color[s] grigio add(, s) while non empty() do u first() if v bianco adj[u] then color[v] grigio π[v] u add(, v) else color[u] black remove first() struttura dati di è una pila visita in profondità (depth first search, S)

52 sempio di S H G Pila:

53 sempio di S H G Pila :

54 sempio di S H G Pila :

55 sempio di S H G Pila : H H

56 sempio di S H G Pila : H

57 sempio di S H G Pila : H

58 sempio di S H G Pila : G G H

59 sempio di S H G Pila : G H

60 sempio di S H G Pila : G H

61 sempio di S H G Pila : G H

62 sempio di S H G Pila : G H

63 , componenti fortemente connessi

64 efinizione di componenti fortemente connessi ato un grafo diretto G = (V,), una componente fortemente connessa (cfc) un insieme massimale di vertici U sottoinsieme di V tale che per ogni coppia di vertici u,v in U, u raggiungibile da v e viceversa. Useremo la notazione u v per indicare che i vertrici u e v sono nella stesso cfc

65 Un esempio di algoritmo un esempio: visitiamo il grafo a partire da 3 cfc: {},{,,},{, } nello stesso albero ci sono nodi di più cfc

66 Un esempio di algoritmo albero si può potare in modo da separare le cfc questo è sempre possibile: sia u discendente di v in un albero della S e u v discendenti di u non possono appartenere al cfc di v

67 , cammini minimi

68 ammini minimi sia dato un un grafo orientato e pesato distanza di un vertice u da un vertice v: δ(v,u), il peso di un cammino di peso minimo tra tutti i cammini da v a u δ(v,u) = min{w(p) p è un cammino da v a u} dove W(p) è la somma dei pesi degli archi che formano il cammino δ(v,u) è ben definito solo se nessun cammino da v ad u contiene un ciclo di peso negativo

69 lgoritmi greedy per trovare cammini minimi da un dato nodo input: grafo orientato e pesato un nodo (sorgente) output: v V (G) l attributo d[v] indica la distanza di v dal vertice sorgente algoritmi greedy: dobbiamo individuare cosa rende un vertice appettibile l attributo d[v] mantiene una stima (maggiore o uguale) della distanza di v da s un vertice è tanto più appetibile quanto minore è la stima della sua distanza dal sorgente

70 L idea dell algoritmo inizialmente: d[s]=0, v V (G),v s : d[v]= si costruisce un albero, di radice s, in cui viene inserito un vertice per volta: il più appetibile l albero è memorizzato implicitamente come l insieme dei suoi archi < π[v],v > quando un vertice u è inserito nell albero, si aggiornano le stime delle distanze dei vertici v ad esso adiacenti, in quanto potrebbe esistere un cammino da s a v, attraverso il vertice u, meno pesante del cammino da s a v considerato fino a quel momento

71 lgoritmo di ijkstra ijkstra(g, s) Q V for v V do d[v], π[v] nil d[s] 0 π[s] nil while Q do u togli nodo con d minimo da Q for v adj[u] do if v Q e d[u] + W(u,v) < d[v] then d[v] d[u] + W(u,v) π[v] u

72 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=, d[]=, d[]=, d[]= da scegliere: nuove distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=

73 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]= da scegliere: nuove distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=

74 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]= da scegliere: nuove distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=6

75 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=6 da scegliere: nuove distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=5

76 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=5 da scegliere: nuove distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=5

77 Un esempio distanze: d[]=0, d[]=3, d[]=2, d[]=4, d[]=5

78 lgoritmo di ijkstra applica la strategia greedy vista in precedenza funzione se tutti i pesi sono maggiori o uguali a 0