Informatica 3. LEZIONE 24: Grafi. Modulo 1: Rappresentazione e implementazione di grafi Modulo 2: Attraversamento di un grafo

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1 Informatica 3 LEZIONE 24: Grafi Modulo 1: Rappresentazione e implementazione di grafi Modulo 2: Attraversamento di un grafo

2 Informatica 3 Lezione 24 - Modulo 1 Rappresentazione e implementazione di grafi

3 Introduzione Grafi modellano numerosi problemi astratti e reali: connessioni di computer in rete mappa di località e distanza tra località percorsi capacità di flusso in reti di trasporto algoritmi e macchine a stati flussi di attività complesse e ordine delle diverse operazioni...

4 Grafo Definizione: un grafo G=(V,E) consiste in un insieme di vertici V e di archi E; gli archi in E connettono una coppia di vertici di V. V = # vertici E = # archi da 0 a Θ( V 2 )

5 Esempi di grafi Grafi densi vs. sparsi grafi completi Grafi orientati vs. non orientati Grafi etichettati: etichette sui vertici Grafi pesati: archi con pesi o costi

6 Definizioni (1) v 1, v 2,... v n formano un percorso di lunghezza n-1 se esistono degli archi da v i a v i+1, per i=1..(n-1) se tutti i v i sono distinti il percorso di dice semplice Lunghezza di un percorso = # di archi che lo costituiscono Un percorso di lunghezza >= 3 che connette il vertice v 1 a se stesso è detto ciclo Un ciclo è semplice se il percorso, ad eccezione del primo vertice, è semplice Un grafo senza cicli è detto aciclico Un grafo orientato senza cicli è detto grafo orientato aciclico o DAG (Directed Acyclic Graph)

7 Definizioni (2) Un grafo non orientato è connesso se esiste almeno un percorso da un vertice a qualsiasi altro vertice I sottografi connessi sono detti componenti connesse Un free tree è un grafo non orientato connesso senza cicli semplici (oppure un grafo connesso con V -1 archi)

8 Rappresentazione dei grafi (1) Grafo orientato: Matrice di adiacenza: array V x V per ogni riga i e colonna si indica se esiste un arco da v i a v j spazio occupato: Θ( V 2 ) Lista di adiacenza: array di liste concatenate di dimensione V la posizione i memorizza i vertici adiacenti a v i spazio occupato: Θ( V + E )

9 Ogni arco tra i vertici u e v viene rappresentato da due archi orientati: da u verso v da v verso u Rappresentazione dei grafi (2) Grafo non orientato:

10 ADT di un grafo class Graph { // Graph abstract class public: virtual int n() =0; // # of vertices virtual int e() =0; // # of edges // Return index of first, next neighbor virtual int first(int) =0; virtual int next(int, int) =0; // Store new edge virtual void setedge(int, int, int) =0; // Delete edge defined by two vertices virtual void deledge(int, int) =0; // Weight of edge connecting two vertices virtual int weight(int, int) =0; virtual int getmark(int) =0; virtual void setmark(int, int) =0; };

11 Informatica 3 Lezione 24 - Modulo 2 Attraversamento di un grafo

12 Introduzione Attraversamento di un grafo: visita dei suoi vertici secondo uno specifico ordine basato sulla topologia del grafo Visita: si parte da un vertice e a partire da questo si visitano gli altri vertici grafi ciclici marcare i vertici in modo da tracciare quelli visitati grafi non connessi verificare di aver visitato tutti i vertici

13 Visita di tutti i vertici Implementazione che visita tutti i vertici: void graphtraverse(const Graph* G) { for (v=0; v<g->n(); v++) G->setMark(v, UNVISITED); // Initialize for (v=0; v<g->n(); v++) if (G->getMark(v) == UNVISITED) dotraverse(g, v); } implementata utilizzando un algoritmo di attraversamento Attraversamenti: in profondità: Depth-First Search (DFS) in ampiezza: Breadth-First Search (BFS) in ordine topologico

14 Depth First Search (1) DFS: Dopo aver visitato il vertice v si visitano ricorsivamente tutti i suoi vicini non ancora visitati Implementazione: // Depth first search void DFS(Graph* G, int v) { PreVisit(G, v); // Take action G->setMark(v, VISITED); for (int w=g->first(v); w<g->n(); w = G->next(v,w)) if (G->getMark(w) == UNVISITED) DFS(G, w); PostVisit(G, v); // Take action }

15 Depth First Search (2) Inizia DFS su A A

16 Depth First Search (2) Marca A Processa (A,C) Stampa(A, C) eapplicadfssuc C A

17 Depth First Search (2) Marca C Processa (C,A) Processa (C,B) Stampa(C, B) eapplicadfssub B C A

18 Depth First Search (2) Marca B Processa (B,C) Processa (B,F) Stampa (B, F) e applica DFS su F F B C A

19 Depth First Search (2) Marca F Processa (F,B) Processa (F,C) Processa (F,D) Stampa (F, D) e applica DFS su D D F B C A

20 Depth First Search (2) Marca D Processa (D,C) Processa (D,F) Pop D F B C A

21 Depth First Search (2) Processa (F,E) Stampa (F,E) e applica DFS su E E F B C A

22 Depth First Search (2) Marca E Processa (E,A) Processa (E,F) Pop E F B C A

23 Depth First Search (2) Con F ha terminato Pop F B C A

24 Depth First Search (2) Con B ha terminato Pop B C A

25 Depth First Search (2) Continua con C Processa (C,F) Pop C A

26 Depth First Search (2) Continua con A Processa (A,E) Pop A DFS completato Costo: Θ( V + E )

27 Breadth First Search (1) BFS: Dopo aver visitato il vertice v si visitano tutti i suoi vicini non ancora visitati prima di visitare ricorsivamente i loro vicini Implementazione: void BFS(Graph* G, int start,queue<int>*q) { int v, w; Q->enqueue(start); // Initialize Q G->setMark(start, VISITED); while (Q->length()!= 0) { // Process Q Q->dequeue(v); PreVisit(G, v); // Take action for(w=g->first(v);w<g->n();w=g->next(v,w)) if (G->getMark(w) == UNVISITED) { G->setMark(w, VISITED); Q->enqueue(w); } } }

28 Breadth First Search (2) Applica BFS su A Marca A e inseriscilo nella coda A

29 Breadth First Search (2) Preleva A Processa (A,C) MarcaeaccodaC Stampa(A,C) Processa (A,E) Marca e accoda E, Stampa (A,E) C E

30 Breadth First Search (2) Preleva C Processa (C,A) Ignora Processa (C,B) MarcaeaccodaB Stampa(C,B) E B

31 Breadth First Search (2) Processa (C,D) MarcaeaccodaD Stampa(C,D) Processa (C,F) MarcaeaccodaF Stampa(C,F) E B D F

32 Breadth First Search (2) Preleva E Processa (E,A) Ignora Processa (E,F) - Ignora B D F

33 Breadth First Search (2) Preleva B Processa (B,C) Ignora Processa (B,F) - Ignora D F

34 Breadth First Search (2) Preleva D Processa (D,C) Ignora Processa (D,F) - Ignora F

35 Breadth First Search (2) Preleva F Processa (F,B) Ignora Processa (F,C) Ignora Processa (F,D) - Ignora BFS completato

36 Ordinamento topologico (1) Problema: ordinare un insieme di compiti con vincoli sull ordinamento rappresentazione tramite DAG trovare un ordinamento lineare che soddisfi i vincoli

37 Ordinamento topologico (2) Implementazione tramite DFS sul grafo: void topoldfs(graph* G, int v) { // Process v G->setMark(v, VISITED); for (int w=g->first(v); w<g->n(); w = G->next(v,w)) if (G->getMark(w) == UNVISITED) topoldfs(g, w); printout(v); // PostVisit for Vertex v } J7, J5, J4, J6, J2, J3, J1 invertire l ordine

38 Ordinamento topologico (3) Implementazione basata su code: void topsort(graph* G, Queue<int>* Q) { int Count[G->n()]; int v, w; for (v=0; v<g->n(); v++) Count[v] = 0; for (v=0; v<g->n(); v++) // Process edges for (w=g->first(v); w<g->n(); w = G->next(v,w)) Count[w]++; // Add to v2's count for (v=0; v<g->n(); v++) // Initialize Q if (Count[v] == 0) // No prereqs Q->enqueue(v); while (Q->length()!= 0) { Q->dequeue(v); printout(v); // PreVisit for V for (w=g->first(v); w<g->n(); w = G->next(v,w)) { Count[w]--; // One less prereq if (Count[w] == 0) // Now free Q->enqueue(w); }}} J1, J2, J3, J6, J4, J5, J7