Che cosa c è nella lezione. Questa lezione si occupa di teoria dei grafi: la rappresentazione dei grafi. le visite dei grafi

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1 Algoritmi e Programmazione Aanzata - teoria 1/18 Che cosa c è nella lezione Qesta lezione si occpa di teoria dei grafi: la rappresentazione dei grafi le isite dei grafi gli alberi ricoprenti minimi i cammini minimi. /18

2 Algoritmi e Programmazione Aanzata - teoria 3/18 Rappresentazione Tramite: lista di adiacenza; matrice di adiacenza. /18

3 Lista di adiacenza Dato G = (V, E), lista di adiacenza: ettore A di V elementi; A[i] contiene il pntatore alla lista dei ertici adiacenti a i. /18 : grafo non orientato A /18

4 : grafo orientato /18 : grafo orientato pesato /3 3/ / 3/ /1 1/ / 3 1 8/18

5 Vantaggi/santaggi 1/ Grafi orientati: elementi complessii nelle liste = E Grafi non orientati: elementi complessii nelle liste = E Complessità spaziale S(n) = O(ma( V, E )) = O( V+E ) antaggioso per grafi sparsi. /18 Vantaggi/santaggi / Santaggi: erifica dell esistenza di arco (,) mediante scansione della lista di adiacenza di ; so di memoria per i pesi dei grafi pesati. 1/18

6 Matrice di adiacenza Dato G = (V, E), matrice di adiacenza: matrice A di V V elementi A[i,j] = 1 se (i, j) E se (i, j) E grafi non orientati: A simmetrica. 11/18 : grafo non orientato 1 A /18

7 : grafo orientato 1 A /18 : grafo orientato pesato 1 3 A /18

8 : grafo orientato pesato Complessità spaziale S(n) = Θ( V ) antaggioso per grafi densi No costi aggintiiper i pesi Accesso efficiente alla topologia del grafo. 1/18 Algoritmi e Programmazione Aanzata - teoria 1/18

9 Algoritmi di isita Visita di n grafo G=(V, E): a partire da n ertice dato s, segendo gli archi con na certa strategia, elencare i ertici incontrati. Algoritmi: in ampiezza (breadth-first search, BFS); in profondità (depth-first search, DFS). 1/18 Visita in ampiezza: principi base 1/ Scoperta di n ertice: prima olta che si incontra nella isita. Ampiezza: espande ttta la frontiera tra erticigià scoperti/non ancora scoperti (sa coda Q). Vertici: bianchi: non ancora scoperti; grigi: scoperti, ma non completati; neri: scoperti e completati. 18/18

10 Visita in ampiezza: principi base / Dato ertice : d[] = distanza di da s; π(): padre di nell albero della isita. 1/18 Algoritmo 1/ Inizializzazione d[s]=, π[s] = NIL, colore[s] = grigio altri ertici : d[]=, π[] = NIL, colore[] = bianco Q ={s}. /18

11 Algoritmo / Fintanto che Q non dienta oto: estrai da Q l elemento in testa ertice bianco e adiacente ad - d[] = d[] +1, colore[] = grigio, π[] = - inserisci in Q colore[] = nero. 1/18 Q π r s t w /18

12 Q s π s r s t w 3/18 Q r w π s r w r s t 1 1 w /18

13 Q w π s r w r s t 1 1 w /18 Q t π s r w t r s t 1 1 w /18

14 Q t π s r w t r s t 1 1 w /18 Q π s r w t r s t w 8/18

15 Q π s r w t r s t w /18 Q π s r w t r s t w 3/18

16 Q π s r w r s t 1 3 t 1 3 w 31/18 Complessità Operazioni slla coda 3/18

17 Complessità O( V ) Operazioni slla coda 33/18 Complessità Operazioni slla coda Scansione delle liste di adiacenza 3/18

18 Complessità Operazioni slla coda Scansione delle liste di adiacenza O( E ) 3/18 Complessità Operazioni slla coda Scansione delle liste di adiacenza T(n) = O( V + E ). 3/18

19 Proprietà 1/ Raggingibilità A partire da n ertice s: determina ttti i ertici raggingibili da s 3/18 Proprietà / Cammini minimi: la isita in ampiezza determina la minima distanza tra s e ogni ertice raggingibile da esso. π s Cammino minimo da s a : s, w, t, lnghezza = 3 r w t 38/18

20 Visita in profondità A partire da n ertice s: isita ttti i ertici del grafo (raggingibili da s e non) etichetta ogni ertice con tempo di scoperta/tempo di fine elaborazione d[]/f[] etichetta ogni arco: - grafi orientati: T(ree), B(ackward), F(orward), C(ross) - grafi non orientati: T(ree), B(ackward) genera na foresta di alberi della isita in profondità. 3/18 Principi base Profondità: espande l ltimo ertice scoperto che ha ancora ertici non ancora scoperti adiacenti Scoperta di n ertice: prima olta che si incontra nella isita Vertici: bianchi: non ancora scoperti grigi: scoperti, ma non completati neri: scoperti e completati. /18

21 Strttre dati 1/ Grafo come lista delle adiacenze Tempo discreto time Vettore d dei tempi di scoperta Vettore f dei tempi di fine elaborazione Vettore colore. 1/18 Strttre dati / Vettore π dei predecessori (per costrire gli alberi di isita in profondità) Etichette degli archi T, B, F, C. /18

22 Algoritmo 1/ Inizializzazione π[] = NIL, colore[] = bianco time = ertice bianco, isita ricorsia 3/18 Algoritmo / Visita ricorsia da : colore[] = grigio, d[] = time++ ertice bianco e adiacente a - π[] =, isita ricorsia a partire da colore[] = nero f[] = time++ /18

23 time = π r s t w /18 time = 1 r π 1/ r s t w /18

24 time = r π s r s t 1/ / w /18 time = 3 r π s r s t w 1/ / 3/ w 8/18

25 time = r π s r s t w 1/ / 3/ w /18 time = r π s r s t w 1/ / 3/ w /18

26 time = r π s r s t w 1/ / / 3/ w 1/18 time = r π s r s t w 1/ / / 3/ w /18

27 time = 8 r π s r s t w 1/8 / / 3/ w 3/18 time = r π t s r s t w 1/8 / / / 3/ w /18

28 time = 1 r π t s r s t w 1/8 / / / 3/ 1/ w /18 time = 11 r π t s r s t w 1/8 / / / 3/ 1/11 w /18

29 time = 1 r π t s r s t w 1/8 / /1 / 3/ 1/11 w /18 Complessità Inizializzazione 8/18

30 Complessità Θ( V ) Inizializzazione /18 Complessità Inizializzazione Visita ricorsia da /18

31 Complessità Inizializzazione Visita ricorsia da Θ( E ) 1/18 Complessità Inizializzazione Visita ricorsia da T(n) = Θ( V + E ) /18

32 Classificazione degli archi Grafo orientato: T: archi dell'albero della isita in profondità B: connettono n ertice ad n so antenato nell albero F: connettono n ertice ad n so discendente nell albero C: archi rimanenti. Grafo non orientato: solo archi T e B. 3/18 Estensione della isita Qando si incontra n arco (,) si considera il colore del ertice in qel momento: se colore[]=bianco, (,) è T se colore[]=grigio, (,) è B se colore[]=nero: - se d[]<d[]) (,) è F - se d[]>d[]) (,) è C. /18

33 b a s e c d f g b a T 3/ / B T T F T C s 1/1 T B e 11/1 T / /8 1/13 1/1 C C C c d f g /18 Soente si ridisegna il grafo a partire dagli alberi della isita in profondità. B b T s T a F T d C C f T e C T g B T C c /18

34 Algoritmi e Programmazione Aanzata - teoria /18 Alberi ricoprenti minimi G=(V,E) grafo non orientato, pesato w: E R e connesso Albero ricoprente minimo (non nico) grafo G'=(V, T) doe T E aciclico minimizza w(t)=σ w(,). Aciciclità e copertra di ttti i ertici G è n albero 8/18

35 Approccio greed Approccio greed: a ogni passo, scelta della solzione localmente ottima; non garantisce solzione globalmente ottima. /18 Algoritmo generico A= sottoinsieme di albero ricoprente minimo, inizialmente oto Fintanto che A non è n albero ricoprente minimo, aggingi ad A n arco (,) sicro Inarianza: (,) sicro agginto a n sottoinsieme di n albero ricoprente minimo prodce ancora n sottoinsieme di n albero ricoprente minimo. /18

36 Tagli e archi 1/ G=(V,E) grafo non orientato, pesato, connesso. Taglio = partizione di V in S e V-S V = S V-S e S V-S = (,) E attraersa il taglio S e V-S (o iceersa). 1/18 Tagli e archi / Un taglio rispetta n insieme A di archi se nessn arco di A attraersa il taglio. Un arco si dice leggero se ha peso minimo tra gli archi che attraersano il taglio. /18

37 8 b c d S a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 V-S 3/18 (b,c) attraersa il taglio 8 b c d S a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 V-S /18

38 il taglio rispetta A A={(a,b), (c,f), (f,g), (g,h)} 8 b c d S a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 V-S /18 (c,d) è n arco leggero 8 b c d S a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 V-S /18

39 Archi sicri: teorema G=(V,E) grafo non orientato, pesato, connesso. A = sottoinsieme di n qalche albero ricoprente minimo di G; (S,V-S) taglio qalnqe che rispetta A; (,) n arco leggero che attraersa (S,V-S). (,) è sicro per A. /18 Archi sicri: corollario G=(V,E) grafo non orientato, pesato, connesso. A = sottoinsieme di n qalche albero ricoprente minimo di G; C albero nella foresta G A = (V,A); (,) n arco leggero che connette C ad n'altra componente in G A. (,) è sicro per A. 8/18

40 Algoritmo di Krskal Basato s algoritmo generico Corollario per determinare l arco sicro: foresta di alberi, inizialmente ertici singoli; ordinamento degli archi per pesi crescenti; iterazione selezione di n arco sicro: arco di peso minimo che connette alberi generando n albero; terminazione: considerati ttti i ertici. /18 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 8/18

41 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f /18 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 8/18

42 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f /18 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 8/18

43 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 8/18 8 b c d a 11 i 1 e 8 h g f 1 1 8/18

44 Complessità Dipende dalle strttre dati tilizzate. Con strttre efficienti T(n) = O( E lg E ). 8/18 Algoritmo di Prim Basato sll algoritmo generico Uso del teorema per determinare l arco sicro: inizialmente A = {r} (r = radice dell albero) iterazione: arco di peso minimo che connette n ertice di A con n ertice di V-A; terminazione: considerati ttti i ertici. 88/18

45 Strttra dati Coda a priorità: contiene ttti i ertici non appartenenti ad A. ke[] = minimo tra i pesi degli archi che collegano a n qalnqe ertice in A. Se non è collegato a nessn ertice in A, allora ke[]=. 8/18 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e r 8 1 h g f 1 /18

46 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 1/18 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 /18

47 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 3/18 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 /18

48 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 /18 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 /18

49 A 8 b c d V-A a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 /18 A 8 b c d a 11 i 1 e 8 1 h g f 1 8/18

50 Complessità T(n) = O( V lg V + E lg V ) = O( E lg V ) Con strttre dati particolari (heap di Fibonacci) T(n) = O( E + V lg V ). /18 Algoritmi e Programmazione Aanzata - teoria 1/18

51 Cammini minimi G=(V,E) grafo orientato, pesato (w: E R) Definizioni: peso w(p) di n cammino p: w(p) = Σ k i=1 w( i-1, i ) peso δ(,) di n cammino minimo da a : δ(,) = min{w(p): se p } altrimenti Cammino minimo da a : qalsiasi cammino p con w(p) = δ(,) 11/18 Problemi classici Cammini minimi: da sorgente singola: cammino minimo e so peso da s a ogni altro ertice - algoritmo di Dijkstra - algoritmo di Bellman-Ford con destinazione singola tra na coppia di ertici tra ttte le coppie di ertici. 1/18

52 Archi con pesi negatii (,) E per ci w(,) < ma ciclo a peso < : algoritmo di Djikstra: solzione ottima non garantita; algoritmo di Bellman-Ford: solzione ottima garantita. ciclo a peso < : problema non definito, solzione: algoritmo di Djikstra: risltato senza significato; algoritmo di Bellman-Ford: rilea ciclo <. 13/18 3 a - b s c d g -3 3 e f - 8 1/18

53 3 a s c d g b e f /18 Rappresentazione 1/ Vettore dei predecessori: V p[] = parent() se NIL altrimenti Sottografo dei predecessori: G p =(V p,e p ), doe - V p = { V: p[] NIL} {s} - E p = {(p[], ) E : V p - {s}} 1/18

54 Rappresentazione / Albero dei cammini minimi: G = (V, E ) doe V V e E E V : insieme dei ertici raggingibili da s s radice dell albero V l nico cammino semplice da s a in G è n cammino minimo da s a in G Nei grafi non pesati: algoritmo di isita in ampiezza. 1/18 3 s /18

55 s /18 s /18

56 Fondamenti teorici 1/3 Lemma: n sottocammino di n cammino minimo è n cammino minimo. G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. p=< 1,,, k >: n cammino minimo da 1 a k. i, j 1 i j k, p ij =< i, i+1,, j >: sottocammino di p da i a j. p ij è n cammino minimo da i a j. 111/18 Fondamenti teorici /3 Corollario: G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. Cammino minimo p da s a decomposto in n sottocammino da s a n arco (,). Allora d(s,)=d(s,)+w(,) 11/18

57 Fondamenti teorici 3/3 Lemma: G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. (,) E d(s,) d(s,) + w(,) 113/18 Rilassamento d[]: stima (limite speriore) del peso del cammino minimo da s a inizialmente: V d[]=, π[] = NIL; d[s] = Rilassare: (= aggiornare) d[] e π [] erificando se coniene il cammino da s a e l arco (,): if (d[]>d[]+w(,)) { d[] = d[]+w(,); π [] ; } 11/18

58 d[] = d[] = w(,) = d[]>d[] + w(,) Rilassamento d[] = p[] = cammino minimo da s a = cammino minimo da s a + arco (,) 11/18 d[] = d[] = w(,) = d[]<d[] + w(,) Rilassamento Il rilassamento non ha ato effetto 11/18

59 Proprietà 1/3 Lemma: G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. (,) E Dopo il rilassamento di (,) si ha che: d[] d[] + w(,) 11/18 Proprietà /3 Lemma: G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. sorgente s V inizializzazione di d e π V d[] δ(s,) per ttti i passi di rilassamento sgli archi qando d[] = δ(s,), allora d[] non cambia più. 118/18

60 Proprietà 3/3 Lemma: G=(V,E): grafo orientato, pesato w: E R. sorgente s V cammino minimo da s a composto da cammino da s a arco (,) inizializzazione di d e π applicazione del rilassamento s (,) se prima del rilassamento d[] = δ(s,) dopo il rilassamento d[] = δ(s,). 11/18 Applicazione Rilassamento: applicato 1 olta ad ogni arco (Dijkstra) o più olte (Bellman-Ford); ordine con ci si rilassano gli archi. 1/18

61 Algoritmo di Dijkstra Ipotesi: archi a peso < Strategia: greed S: insieme dei ertici il ci peso di cammino minimo da s è già stato determinato V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto: estrae da V-S (d[] minimo) inserisce in S rilassa ttti gli archi scenti da. 11/ s 3 1/18

62 s S={} Q={s/, /,/, /, / } 13/18 s S={s} rela (s,), (s,) Q={/, /1,/, / } 1/18

63 s S={s, } rela (,), (,), (,) Q={/, /8,/1,} 1/18 s S={s,, } rela (,s), (,) Q={/8,/13} 1/18

64 s S={s,,, } rela (,), (,) Q={/} 1/18 s S={s,,,, } rela (,) Q={} 18/18

65 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. 1/18 Θ( V ) V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Complessità 13/18

66 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto estrae da V-S (d[] minimo) 131/18 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto estrae da V-S (d[] minimo) O(lg V ) 13/18

67 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto estrae da V-S (d[] minimo) inserisce in S rilassa ttti gli archi scenti da 133/18 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto estrae da V-S (d[] minimo) inserisce in S rilassa ttti gli archi scenti da O(lg V ) O( E ) 13/18

68 Complessità V-S: coda a priorità Q dei ertici ancora da stimare. Termina per Q oto estrae da V-S (d[] minimo) inserisce in S rilassa ttti gli archi scenti da T(n) = O(( V + E ) lg V ) 13/18 Algoritmo di Bellman-Ford Ipotesi: possono archi a peso < Rilea cicli < Strategia: greed Inizializzazione di d V -1 passi di rilassamento sgli archi V esimo rilassamento: diminisce almeno na stima: ciclo < altrimenti solzione ottima. 13/18

69 z Archi in ordine lessicografico: (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) 13/18 z Passo 1 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) 138/18

70 13/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1

71 11/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1

72 13/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1

73 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1

74 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1 18/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 11

75 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 11 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 11

76 11/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 11 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo

77 13/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo

78 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo

79 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 18/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3

80 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3

81 11/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3

82 13/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3

83 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3

84 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 3 18/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo

85 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo -

86 11/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo - 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo -

87 13/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo - 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo -

88 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo - 1/18 z (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) Passo -

89 z Passo (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,z) (z,) (z,) 1/18 Al V -esimo passo di rilassamento non diminisce alcna stima: terminazione con solzione ottima 18/18

90 Complessità Inizializzazione 1/18 Complessità Inizializzazione O( V ) 18/18

91 Complessità Inizializzazione V - 1 passi di rilassamento sgli archi 181/18 Complessità Inizializzazione O( V E ) V - 1 passi di rilassamento sgli archi 18/18

92 Complessità Inizializzazione V - 1 passi di rilassamento sgli archi V - esimo rilassamento 183/18 Complessità Inizializzazione V - 1 passi di rilassamento sgli archi V - esimo rilassamento O( E ) 18/18

93 Complessità Inizializzazione V - 1 passi di rilassamento sgli archi V - esimo rilassamento T(n) = O( V E ) 18/18