Depth-first search. Visita in profondità di un grafo Algoritmo Esempio Complessità dell algoritmo Proprietà Ordinamento topologico

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1 Depth-first search Visita in profondità di n grafo Algoritmo Esempio Complessità dell algoritmo Proprietà Ordinamento topologico

2 Depth-first search Dato n grafo G=(V,E) e n specifico ertice s chiamato sorgente, la isita in profondità (in inglese depth-first search) esplora il grafo andando ogni olta il più possibile in profondità. Per ogni ertice in isita si prosege la isita sgli archi non ancora esplorati. Se sl ertice in isita si sono esplorati ttti gli archi, si torna al ertice di origine (padre). Se sl grafo rimane qalche ertice non scoperto si ricomincia la isita in profondità s no di qei ertici. L intero processo è ripetto finché non engono scoperti ttti i ertici del grafo.

3 Strttre dati tiliate: Depth-first search Liste di adiacena Adj: per conoscere i ertici adiacenti a n ertice. color[]: si colora il ertice di bianco (ertice non scoperto), di grigio (ertice appena scoperto) e di nero (ha finito di isitare ttta la sa lista di Adiacena). p[]: il predecessore di nella foresta DFS. d[]: tempo in ci iene scoperto. f[]: tempo in ci iene finita la isita in. Si ha d[]<f[]. Nota: è bianco (WHITE) prima di d[], grigio (GRAY) tra d[] e f[], infine nero (BLACK) dopo f[].

4 Algoritmo DFS(G,s) 1. for ogni ertice in V[G] // iniialiaione di ogni ertice 2. do color[] WHITE 3. p[] NIL 4. time 0 5. for ogni ertice in V[G] 6. do if color[] = WHITE 7. then DFS-VISIT() // isita da ogni ertice non ancora scoperto DFS-VISIT() 1. color[] GRAY // ertice dienta grigio, appena scoperto 2. d[] time // tempo iniio isita lista adiacena 3. time time for ogni ertice in Adj[] 5. do if color[] = WHITE 6. then p[] 7. DFS-VISIT() // isita sbito ertice non ancora scoperto 8. color[] BLACK // ertice dienta nero, ha isitato ttta l adiacena 9. f[] time // tempo fine isita lista adiacena 10. time time + 1

5 Esempio 1/ (a) 1/ (b) 2/ 1/ (c) 2/ 3/ 1/ (d) 1/ (e) 2/ 1/ (f) 2/ 3/ 2/ 3/ 4/ 3/ 4/ 1/ (g) 2/ 1/ (h) 1/ (i)

6 Esempio 1/8 (l) 1/8 (m) 1/8 (n) 9/ 9/ 1/8 (o) 9/ 10/ 1/8 (p) 9/ 10/ 1/8 (q) 9/ 10/11 1/8 (r) 9/12 10/11

7 Complessità Analisi del tempo di esecione: Ci sono de cicli in DFS() che engono esegiti Θ( V ) olte. DFS-VISIT() iene esegito esattamente na olta per ogni ertice in V. Drante l esecione di DFS-VISIT() il ciclo nelle linee 4-7 iene esegito Adj[] olte. Poiché la somma di ttte le liste di adiacena èθ( E ), si ha che il costo totale del ciclo in DFS-VISIT() è Θ( E ). Qindi, il tempo totale di esecione èθ( V + E ). Nota: come per il BFS si definisce degli alberi DFS corrispondente al sottografo Gp definito dal ettore p.

8 Teorema delle parentesi In ogni isita in profondità di n grafo G=(V,E), per ogni coppia di nodi, in V, con A=[d[], f[]] e B=[d[], f[]]. Allora na e na sola delle segenti condiioni è era: A B = Proprietà A B e è discendente di in n albero DFS. B A e è discendente di in n albero DFS.

9 Dimostraione Proprietà Caso d[] < d[] Se d[] < f[], allora dienta grigio prima di, ma qando iene scoperto la isita ad non è stata completata. Qesto implica che è n discendente di. Poiché è stato scoperto più recentemente di, la isita in dee completarsi prima di ritornare a, f[] < f[]. Qindi l interallo [d[], f[]] è completamente contento in [d[], f[]]. nero dopo aer scoperto d[] < f[] d[] < f[] d[] d[] f[] f[] Allora è discendente di : la isita di dee completarsi prima di qella di

10 Dimostraione Caso d[] < d[] Se f[] < d[], allora dienta nero prima di, ossia qando iene scoperto la isita ad è stata completata. (d[]<f[]) Qindi l interallo [d[], f[]] è disginto da [d[], f[]]. Caso d[] < d[]: simmetrico. Proprietà nero prima di aer scoperto d[] < f[] d[] < f[] d[] f[] d[] f[] Qando è scoperto la ista in è stata completata.

11 Proprietà Teorema del cammino bianco In na foresta DFS di n grafo G=(V,E) n ertice è discendente di se e solo se al tempo d[], in ci la isita scopre, il ertice è raggingibile da con n cammino contenete esclsiamente nodi bianchi. d[]/ Cammino bianco da a. discendente di

12 Classificaione degli archi: Proprietà Tree-edge (T, archi dell albero): archi appartenenti alla foresta DFS. Back-edge (B, archi all indietro): archi non appartenenti alla foresta DFS che anno da n ertice ad n so antenato in n albero DFS. Forard-edge (F, archi in aanti): archi non appartenenti alla foresta DFS che anno da n ertice ad n so sccessore in n albero DFS. Cross-edge (C, archi di attraersamento): ttti gli altri archi.

13 Proprietà 1/8 F T B T T C 9/12 T 10/11 B T: Tree-edge B: Back-edge F: Forard-edge C: Cross-edge Si modifica l algoritmo DFS in modo che ogni arco (,) è: WHITE (bianco): se appartiene ad n albero DFS. GRAY (grigio): se è n arco all indietro (nisce de ertici grigi drante la DFS). BLACK (nero): se è n forard-edge (d[] < d[]) o n cross-edge (d[] > d[]). E n arco che a erso n ertice nero nel DFS().

14 Nota: nel caso di grafo non orientato l arco iene classificato come l arco orientato (,) oppre (,), a seconda di qale dei de iene scoperto per primo. Proposiione Se G è n grafo non orientato ogni arco o è n Treeedge oppre è n Back-edge. Dimostraione Sia (,) n arco arbitrario di G. Sena perdita di generalità, spponiamo d[] < d[]. Ci sono de casi: Proprietà

15 1.L arco (,) iene isitato a partire da, grigio e bianco. Allora (,) è classificato bianco (Tree-edge). 2.L arco (,) iene isitato a partire da, e grigi. Allora (,) è classificato grigio (Back-edge). Proposiione Proprietà Un grafo G contiene n ciclo se e solo se l algoritmo DFS determina l esistena di n Back-edge. Dimostraione <= Se (,) è n arco all indietro, allora è n antenato di. Esiste n cammino da a e l arco (,), non appartenente al cammino, completa il ciclo.

16 Proprietà => G ha n ciclo c. Sia il primo ertice del ciclo c ad essere scoperto e sia (,) l arco che lo precede in c. Al tempo d[] ttti i nodi da a sono bianchi ( grigio). Per il teorema dei cammini bianchi il ertice dienterà discendente i. Drante la isita del ertice l arco (,) errà necessariamente classificato come grigio (Back-edge, nisce de ertici grigi). c

17 Ordinamento Topologico Ingresso: n grafo orientato e aciclico (DAG: Direct Acclic Graph) Uscita: na lista ordinata e lineare dei ertici di G < 1, 2,, V > tale che se G contiene l arco orientato (,) allora nell ordinamento precede oppre oppre

18 Ordinamento Topologico TOPOLOGICAL-SORT(G) 1. chiama DFS(G) per calcolare I tempi di fine isita f[] per ogni ertice 2. appena la isita è finita inseriscilo in testa ad na lista concatenata 3. restitisci la lista concatenata dei ertici f[2] > f[1] > f[3] > f[4] DFS(G) richiede tempo Θ( V + E ). L inserimento di ognno dei V ertici nella lista concatenata richiede tempo O(1). Qindi, si pò esegire n ordinamento topologico in tempo Θ( V + E ).

19 Proposiione Ordinamento Topologico TOPOLOGICAL-SORT(G) prodce n ordinamento topologico di n grafo orientato aciclico G. Dimostraione Basta dimostrare che se G è aciclico, allora per ogni arco (,) in E si ha che f[] > f[]. Essendo aciclico, non esistono archi grigi (Back-edge). Allora (,) è bianco oppre nero. Se (,) è bianco allora f[] > f[] per il teorema delle parentesi. Se (,) è nero allora f[] > f[] perché è già stato isitato prima di finire la isita in.