Grafi: introduzione. Definizioni: che cosa sono i grafi. Definizione

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1 Grafi: introduzione e rappresentazione efinizioni: che cosa sono i grafi Un grafo G=(V,) consiste in: un insieme V di vertici (o nodi) un insieme di coppie di vertici, detti archi o spigoli: ogni arco connette due vertici sempio 1: V={persone che vivono in Italia}, ={coppie di persone che si sono strette la mano} sempio 2: V={persone che vivono in Italia}, ={(x,y) tale che x ha inviato una mail a y}

2 sempio 1: relazione simmetrica sempio 2: relazione non simmetrica n = numero di vertici m = numero di spigoli Terminologia (1/2) grafo non orientato grafo orientato L ed I sono adiacenti (L,I) è incidente a L I ha grado 4: δ(i)=4 δ(v)=2m v V Terminologia (2/2) < L, I,,,, > è un cammino di lunghezza 5 nel grafo Non è il più corto cammino tra L ed La lunghezza del più corto cammino tra due vertici si dice distanza: L ed hanno distanza 4 efinizioni: che cosa sono i grafi (una presentazione piu dettagliata)

3 OS SRVONO I GRI? Un esempio: il problema dei ponti di Königsburg È possibile partire da e ritornare in attraversando tutti i ponti esattamente una volta? OS SRVONO I GRI? Un altro esempio Problema: Supponiamo di dover collegare tre abitazioni 1, 2 e 3 tramite tubature per fornirle di cqua, Gas ed lettricità. Se assumiamo che le tubature vadano posizionate alla stessa profondità, è possibile offrire la fornitura a tutte le abitazioni senza far incrociare le tubature? cqua Gas lettricità Un grafo G è una coppia di elementi <V, > dove: V è un insieme detto insieme dei vertici è un insieme detto insieme degli archi ( VxV) Un arco quindi è una coppia di vertici (v,w), cioè v V e w V V = {,,,,, } ome denotiamo gli archi?

4 se è un insieme di coppie non ordinate di vertici il grafo e detto non orientato V = {,,,,, } = {(,), (,), (,), (,), (,), (,)} (,) e (,) denotano lo stesso arco se è un insieme di coppie ordinate di vertici il grafo e detto orientato V = {,,,,, } ={<,>, <,>, <,>, <,>, <,>, <,>, <,>} <,> e <,> denotano due archi diversi In un grafo orientato, un arco <w,v> si dice incidente da w in v <,> è incidente da a <,> è incidente da a <,> è incidente da a

5 Un vertice w si dice adiacente a v se e solo se <v, w>. è adiacente ad è adiacente a e a è adiacente a e viceversa NON è adiacente a ne a NON è adiacente ad alcun vertice In un grafo non orientato la relazione di adiacenza tra vertici è simmetrica è adiacente a e viceversa è adiacente a e viceversa NON è adiacente ad alcun vertice efinizioni In un grafo non orientato: il grado di un vertice è il numero di archi che da esso si dipartono In un grafo orientato: il grado entrante (uscente) di unvertice è il numero di archi incidenti in (da) esso il grado di un vertice è la somma del suo grado entrante e del suo grado uscente

6 ssociamo ad ogni arco un peso (o costo). efiniamo grafo pesato la coppia <G, W>, dove W e la funzione peso, W: R, dove R è l insieme dei numeri reali. s., W(, ) = 3, 4 W(,) = 2.3, 3 ecc. W(,) = Sia G = (V, ) un grafo. Un sottografo di G è un grafo H = (V*, *) tale che V* V e * (e poiché H è un grafo, deve valere che * V* V*). s., V* = {,, }, * = {(, )}. Sia G = (V, ) un grafo. Un cammino nel grafo è una sequenza di vertici <w 1, w 2,..., w n > tale che (w i, w i+1 ) per 1 i n 1. s. <,,, > è un cammino nel grafo

7 Il cammino <w 1, w 2,..., w n > contiene i vertici w 1, w 2,, w n e gli archi (w 1,w 2 ) (w 2,w 3 )...(w n-1,w n ). La lunghezza del cammino è il numero totale di archi che collegano i vertici della sequenza (uno in meno del numero di vertici). s. la unghezza del cammino <,,, > è 3. sempio: in un grafo orientato s., <,,, > è un cammino in questo grafo orientato, ma... <,,, > NON è un cammino, poiché <, > non è un arco. Un cammino si dice semplice se tutti i suoi vertici sono distinti (compaiono una sola volta nella sequenza), eccetto al più il primo e l ultimo che possono essere lo stesso. s. il cammino <,,, > è semplice ma il cammino <,,,,, > NON è semplice, poiché è ripetuto.

8 Se esiste un cammino p tra i vertici v e w, si dice che w è raggiungibile da v tramite p v w p s.: è raggiungibile da e viceversa s.: è raggiungibile da ma non viceversa Se G è un grafo non orientato, definiamo G connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. d es. questo grafo non orientato è connesso.

9 d es. questo grafo non orientato NON è connesso. Se G è un grafo orientato, definiamo G fortemente connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. d es. questo grafo orientato è fortemente connesso. d es. questo grafo orientato NON è fortemente connesso. Infatti, non esiste cammino da a.

10 efiniamo debolmente connesso un grafo orientato tale che il grafo ottenuto da esso dimenticando la direzione degli archi è connesso. d es. questo grafo orientato non è fortemente connesso, ma è debolmente connesso Un ciclo in un grafo è un cammino <w 1, w 2,, w n > di lunghezza almeno 1, tale che w 1 = w n. s.: il cammino <,,,,, > è un ciclo. Un grafo senza cicli è detto aciclico. d es. questo grafo orientato non è aciclico,

11 Un grafo orientato aciclico è spesso chiamato G (irected cyclic Graph). Un grafo completo è un grafo che ha un arco tra ogni coppia di vertici. d es. questo grafo NON è completo d es. questo grafo è completo

12 Suppomiano che G = (V, ) sia completo. É possibile esprimere come funzione di V? s. di grafo completo Questo grafo ha V = 5 vertici e = 10 archi. Grafi ompleti V 1 0 V Grafi ompleti V V

13 Grafi ompleti V V ? V Per ottenere un grafo completo con n vertici da un grafo completo con n 1 vertici, si devono aggiungere n 1 nuovi archi... quindi il numero totale di archi, quando V = n è 2 n 1 n( n 1) V V i = = i= Un albero libero è un grafo non orientato connesso, aciclico. d es. questo è un albero libero libero si riferisce al fatto che non esiste un vertice designato ad essere la radice

14 Se qualche vertice è designato ad essere la radice, otteniamo un albero radicato. radice Un grafo non orientato aciclico ma non connesso, prende il nome di foresta. d es. questa è una foresta. ontiene tre alberi liberi. K G H I L J d es. questo grafo contiene un ciclo. Perciò non é un né albero libero né una foresta. K L H G I J

15 Strutture dati per rappresentare grafi Grafi non orientati Grafi orientati

16 Prestazioni della lista di archi su grafi non orientati?? Prestazioni delle liste di adiacenza su grafi non orientati??? Prestazioni della matrice di adiacenza su grafi non orientati

17 Strutture dati per rappresentare grafi (ulteriori dettagli su matrici di adiacenza e liste di adiacenza) Rappresentazione con matrice di adiacenza di un grafo non orientato M(v, w) = 1 se (v, w) Spazio: V 2 0 altrimenti Rappresentazione con liste di adiacenza di un grafo non orientato L(v) = lista di w, tale che (v, w), per v V a b Spazio: a V + 2 b

18 Rappresentazione con matrice di adiacenza di un grafo orientato Rappresentazione con liste di adiacenza di un grafo orientato Spazio: a V + b a b sempio di rappresentazione con matice di adiacenza di un grafo PSTO non orientato =

19 sempio di rappresentazione con liste di adiacenza di un grafo PSTO non orientato Riepilogo (1/2) oncetto di grafo e terminologia iverse strutture dati per rappresentare grafi nella memoria di un calcolatore Riepilogo (2/2) Matrice di adiacenza Spazio richiesto O( V 2 ) Verificare se i vertici u e v sono adiacenti richiede tempo O(1) datta per grafi densi, in cui è dell ordine di V 2 Liste di adiacenza Spazio richiesto O( + V ) Verificare se i vertici u e v sono adiacenti richiede tempo O( V ) datta per grafi sparsi, in cui è molto minore di V 2