Open walk: Nodo di partenza diverso da quello di arrivo Close walk: Nodo di partenza coincidente con quello di arrivo

Transcript

1 Connettività

2 WALK, TRAIL, PATH

3 Walk (passeggiata) Walk (passeggiata): Una passeggiata è una sequenza di nodi e link che inizia e finisce con un nodo, in cui ogni nodo è incidente allo spigolo che lo precede e allo spigolo che lo segue nella sequenza. Open walk: Nodo di partenza diverso da quello di arrivo Close walk: Nodo di partenza coincidente con quello di arrivo Nei grafi semplici è sufficiente la lista dei nodi Lunghezza della passeggiata: numero degli spigoli Length of walk= 8

4 Trail Un trail (percorso) è una passeggiata in cui tutti gli spigoli sono distinti (uno spigolo non può essere attraversato più di una volta) Un trail chiuso è detto tour o circuit

5 Path Un path (cammino) è una passeggiata dove sia i nodi sia gli spigoli sono distinti (spigoli e nodi non possono essere attraversati più di una volta) Un path chiuso è detto cycle (ciclo) La lughezza del path è il numero di spigoli che attraversa Length of path=

6 Examples Eulerian Tour Un tour che attraversa tutti gli spigoli (una sola volta) Konigsberg bridges Hamiltonian Cycle Un ciclo che visita tutti I nodi (una sola volta)

7 Königsberg A Königsberg in Prussia c è un'isola A, chiamata der Kneiphof, e il fiume che la circonda si divide in due rami, come si può vedere in figura; i rami di questo fiume sono muniti di sette ponti a, b, c, d, e, f, g. Circa questi ponti veniva posta questa domanda, si chiedeva se fosse possibile costruire un percorso in modo da transitare attraverso ciascun ponte una e una sola volta. E mi fu detto che alcuni negavano ed altri dubitavano che ciò si potesse fare, ma nessuno lo dava per certo. Da ciò io ho tratto questo problema generale: qualunque sia la configurazione e la distribuzione in rami del fiume e qualunque sia il numero dei ponti, si può scoprire se è possibile passare per ogni ponte una ed una sola volta?

8 Königsberg

9 Königsberg

10 Königsberg Eulero stabilì che un grafo composto soltanto da nodi pari, cioè ciascuno collegato a un numero pari di archi, è sempre percorribile e che si può ritornare al punto di partenza senza sovrapposizioni di percorso (circuito euleriano). Se un grafo contiene nodi pari e soltanto due nodi dispari è ancora percorribile, partendo da uno dei noti dispari per arrivare all'altro, ma non si può più ritornare al punto di partenza. Se contiene invece più di due nodi dispari, non è percorribile senza sovrapposizioni di percorso. 0

11 Distanza tra due nodi A B La distanza (distance) tra due nodi è il numero di spigoli di un cammino a lunghezza minima che li connette *Se due nodi sono disconnessi, la distanza è +. D C Nei grafi orientati il cammino deve seguire la direzione dei link. Quindi la distanza tra due nodi A e B può essere diversa da quella tra B e A. A B Un nodo i si dice raggiungibile (reachable) da un nodo j se esiste un cammino da j a i. D C Diametro (diameter) di un grafo: distanza massima tra tutte le coppie di un grafo

12 Random walk Una passeggiata in cui il nodo successivo viene scelto in modo casuale tra i vicini. Se il grafo è pesato si possono definire le probabilità in funzione del peso.

13 Connettività della network

14 Connettività Un nodo v i è connesso a un nodo v j (raggiungibile da v j ) se esiste un path tra v i e v j. Un grafo è connesso se esiste un path tra ogni sua coppia di nodi Un grafo è disconnected se non è connesso.

15 Connettività nei grafi orientati Un grafo orientato è strongly connected (fortemente connesso) se esiste un cammino orientato tra ogni coppia ordinate di vertici Esiste il cammino AB e il cammino BA Un grafo orientato è weakly connected (debolmente connesso) se esiste un cammino tra ogni coppia di vertici senza considerare l orientamento degli archi 5

16 Connettività: esempi

17 Componenti connesse Componente: sottografo tale che esista almeno un path tra ogni coppia di vertici e non esista alcun altro vertice del grafo connesso ad alcun vertice della componente. massimale Singoletto:componente connessa con un solo vertice Ogni vertice appartiene a una e una sola componente 7

18 Component In directed graphs, we have a strongly connected components when there is a path from u to v and one from v to u for every pair (u,v). The component is weakly connected if replacing directed edges with undirected edges results in a connected component.

19 Component Examples: components Strongly-connected components

20 Esercizio B A C F G E D H Quante e quali componenti fortemente connesse? Quante e quali componenti debolmente connesse? 0

21 Esercizio: soluzione Weakly connected components: every node can be reached from every other node by following links in either direction Weakly connected components A B C D E G H F Strongly connected components Each node within the component can be reached from every other node in the component by following directed links A B E D C F H G Strongly connected components B C D E A B C F G A G H F E D H

22 La matrice di adiacenza di una rete con più componenti è diagonale a blocchi Network Science: Graph Theory

23 Bridges I ponti (bridges) sono archi la cui rimozione aumenta il numero di componenti connesse

24 Breadth-First Search (BFS) La visita in ampiezza breadth-first-search (BFS) di un grafo dato un vertice sorgente s consiste nella esplorazione sistematica di tutti i vertici raggiungibili da s in modo tale da esplorare tutti i vertici che hanno distanza k prima di iniziare a visitare quelli che hanno distanza k+

25 Breadth-First Search (BFS) BFS parte da un nodo, ne visita tutti i primi vicini e quindi i vicini dei vicini

26 Breadth-First Search (BFS). Nodo sorgente: etichetta 0. Assegnare a tutti suoi vicini etichetta ed inserirli in una coda. Togliere dalla coda il primo nodo (etichetta n in generale, al primo passo). Cercare tutti i suoi vicini che non abbiano etichetta, assegnare etichetta n+ ed inserirli nella coda. Ripetere il passo finché non si visiti il nodo di destinazione o la coda sia vuota. 5. La distanza tra il nodo sorgente e quello di destinazione è l etichetta di questo ultimo

27 Calcolo delle distanze.nodo iniziale: 0 0 Network Science: Graph Theory

28 Calcolo delle distanze Distanza tra nodo 0 e nodo :.Parti dal nodo 0..Trova tutti I nodi adiacenti al nodo 0, assegna distanza e poni in una coda 0 Network Science: Graph Theory

29 Network Science: Graph Theory Network Science: Graph Theory 0 Network Science: Graph Theory Calcolo delle distanze

30 FINDING DISTANCES: BREADTH FIRST SEARCH Distance between node 0 and node :.Repeat until you find node or there are no more nodes in the queue..the distance between 0 and is the label of or, if does not have a label, infinity. 0 Network Science: Graph Theory

31 BFS per la ricerca delle componenti connesse. Si effettui una BFS con nodo iniziale random e si etichetti tutti i nodi visitati con n=. Se il numero di nodi con etichetta è uguale al numero di nodi N del grafo, il grafo è connesso, altrimenti passo. n n+. Si effettui una estrazione casuale tra i nodi non etichettati di un nodo j e lo si etichetti con n. Si effettui una BFS con nodo iniziale j e si etichetti tutti i nodi visitati con n. Si torni al passo.

32 Algoritmo di Dijkstra Ricerca del cammino a lunghezza minima e della distanza tra due nodi in grafi pesati Dijkstra s Algorithm Grafi pesati con pesi non negativi Trova il cammino minimo da un nodo fissato s a tutti gli altri nodi del grafo Restituisce I cammini minimi e la loro lunghezza

33 Algoritmo di Dijsktra Inizializzazione: N' = {u} per tutti i nodi v se v è adiacente a u 5 allora D(v) = c(u,v) 6 altrimenti D(v) = Ciclo 9 determina un w non in N' tale che D(w) sia minimo 0 aggiungi w a N' aggiorna D(v) per ciascun nodo v adiacente a w e non in N' : D(v) = min( D(v), D(w) + c(w,v) ) /* il nuovo costo verso v è il vecchio costo verso v oppure il costo del cammino minimo noto verso w più il costo da w a v */ 5 Finché N = N -

34 Esercizio 5 v w 5 u x y z

35 - 5 Algoritmo di Dijkstra: esempio passo 0 5 N' u ux uxy uxyv uxyvw uxyvwz D(v),p(v),u,u,u D(w),p(w) 5,u,x,y,y D(x),p(x),u D(y),p(y) +,x D(z),p(z) + +,y,y,y u y x w v z 5 5 Shortest paths: uv uw ux uxy uxyz