Analisi e implementazione dell algoritmo di Dijkstra (Parte 1)

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1 Analisi e implementazione dell algoritmo di Dijkstra (Parte 1) Algoritmicamente August 1, Concetti fondamentali Definizione 1 Un grafo è un insieme di vertici più un insieme di archi che connettono coppie di vertici distinti. Una definzione più formale è comunque necessaria in quanto all interno di tale articolo essa sarà spesso utilizzata: Definizione 1.1 Si dice grafo G una coppia ordina G=(V,E) di insiemi, dove V è l insieme dei vertici ed E l insieme degli archi. Definizione 1.2 Un vertice è un punto terminale oppure un punto di intersezione di un grafo. Definizione 1.3 Un arco è una connessione tra due vertici. Esso viene indicato con la coppia (i,j), dove i indica il vertice da cui parte l arco (testa) e j indica il vertice in cui arriva (coda). Per dare un idea più concreta di un grafo, viene mostrato un esempio di esso: 1

2 Come si può notare l insieme dei vertici V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } mentre l insieme degli archi è dato da tutte le coppie di vertici che vengono connessi tra loro, in questo caso: G = {{v 1, v 2 }, {v 1, v 4 },{v 1, v 6 },{v 3, v 6 },{v 5, v 2 },{v 5, v 6 }, {v 2, v 4 },{v 4, v 6 },{v 5, v 6 }}. Spesso (come nel caso trattato) ad ogni vertice o ad ogni arco viene associato un peso ossia un valore numerico che indica la distanza che intercorre da due vertici. Tale tipo di grafo prende il nome di grafo pesato del quale viene data una definizione più formale. Definizione 1.4 Un grafo pesato G è definito come una terna G = (V,E,P). Dove V ed E indicano il grafo G = (V,E) e P indica una generica funzione che ad ogni vertice o ad ogni arco associa un valore numerico n ǫ [, + ]. Definizione 1.5 Un cammino (p) in un grafo è una sequenza di vertici nei quali ogni vertice successivo è adiacente al precedente nel cammino. Definizione Un cammino semplice, è un cammino dove tutti i vertici sono distinti. Definizione Un ciclo è un cammino semplice, eccetto che il vertice iniziale e finale rimangono invariati. fig. 2 Grafo pesato fig. 3 Possibile cammino di un grafo Nella figura 3 è possibile vedere il cammino p = {v 1, v 2, v 5, v 3, v 6 } 2 Cammini minimi L analisi dei cammini minimi è il cuore di tale articolo, infatti l algorito di Dijkstra ha come scopo quello di trovare il cammino minimo all interno di un grafo. Prima di tutto bisogna far chiarimento su cosa sia un cammino minimo Definizione 2 Dato un grafo G=(V,E,P) ed un cammino p = {v 1, v 2,..., v n } il peso di un cammino ω(p) è la somma dei pesi degli archi che compongono tale cammino. 2

3 Dalla figura risulta che il peso del cammino in rosso è dato da: ω(p) = ( ) = 30. Detto ciò è possibile ora definire il cammino minimo di un generico grafo G. Definizione 2.1 Dato un grafo G = (V,E,P) il cammino minimo di tale grafo è il più piccolo dei ω(p n ), dove p i 1 i n è un generico cammino del grafo G. Grazie a tale definizione appare più chiaro lo scopo dell algoritmo di Dijkstra, infatti mediante esso possiamo trovare IL cammino minimo all interno di un grafo pesato G. Seguono dunque alcuni esempi per mostrare il cammino minimo all interno di un grafo: fig. 4 Cammino minimo corretto fig. 5 Cammino minimo scorretto Come si può dunque notare dalle due figure, il cammino minimo (per arrivare dal vertice 1 al vertice 3) non è quello più breve cioè quello che percorre meno archi, ma, come detto nella definizione, è quello la cui somma dei pesi degli archi è minima. Tale problema non è banale in quanto vi è un importante osservazione da fare: Come si può notare in entrambe le figure (fig.4, fig5) il cammino minimo non inizia affatto con l arco di peso minore, anzi, in questo caso il cammino minimo è quello che ha come arco di partenza, quello con il peso maggiore (gli altri sono E 1 = {v 1, v 6 } il quale ha peso 2, e E 2 = {v 1, v 4 } il quale ha peso 1). Ciò ci da la dimostrazione che il cammino minimo è dato da una somma, e in quanto somma si deve tener conto degli addendi che la compongono (in questo caso i pesi). Inoltre, dalla definizione 1.4 si evince che i pesi possono anche essere negativi, dunque per quanto possa essere grande il peso del primo arco di un percorso, il peso di un cammino potrà essere diminuito a causa di un cammino di valore negativo. 3

4 3 Algoritmo di Dijkstra L algoritmo di Dijkstra permette di poter calcolare i cammini minimi all interno di un grafo, la forza di tale algoritmo è la semplicità del codice e soprattutto la sua efficienza, infatti la complessità nel caso peggiore di tale algoritmo è : O( E + V log V ). Esso possiede inoltre delle proprietà particolari : Proprietà 3 L algoritmo di Dijkstra risolve i problemi di cammino minimo,da un vertice di partenza ad un vertice di arrivo, nei grafi che non hanno pesi negativi. Proprietà 3.1 Con L algoritmo di Dijkstra possiano trovare ogni SPT in una grafo denso in un tempo lineare. La proprietà 3.1 viene data solo a scopo informativo, non è interesse di tale articolo trattare argomenti non inerenti con l analisi di tale algoritmo, mentre la proprietà 3 può essere dimostrata, tale dimostrazione verrà trattata in seguito. Il funzionamento è molto semplice, dato un grafo e un vertice di partenza, l algoritmo mostra tutti i cammini minimi per raggiungere gli altri nodi, per poter meglio comprendere tale algoritmo viene mostrato inizialmente il suo pseudocodice completo. function Dijkstra(Graph, source): for each vertex v in Graph: dist[v] := infinity previous[v] := undefined dist[source] := 0 Q := the set of all nodes in Graph while Q is not empty: u := vertex in Q with smallest dist[] 8 if dist[u] = infinity:9 break 10 remove u from Q 11 for each neighbor v of u: 12 alt := dist[u] + dist between(u, v) 13 if alt < dist[v]: 14 dist[v] := alt 15 previous[v] := u 16 return previous La I riga non è altro che il prototipo della funzione, la quale (come già detto) accetta in input un grafo e un vertice sorgente. Possiamo dividere tale algoritmo in due parti, l inizializzazione del grafo dato in input, e l algoritmo vero e proprio. 4

5 Per quanto riguarda l inizializzazione, essa è effettuata dalle righe 2,3,4,5,6 nelle quali vengono effettuate le inizializzazioni per tutti i nodi, più nello specifico, le righe 3,4 settano le distanze dal vertice sorgente agli altri nodi a, la riga 5 setta la distanza del vertice sorgente a 0, e infine la riga 6 crea l insieme Q il quale contiene tutti i nodi del grafo dato in input. Per chiarire meglio quanto mostriamo un esempio. fig. 6 Grafo dato in input fig. 7 Grafo inzializzato L esempio mostrato accetta in input il grafo di fig. 6 e si prende come vertice sorgente v1. Le righe 3,4, come già detto, settano le distanze di tutti i vertici al vertice sorgente ad, tale distanza viene indicata ponendo vicino al vertice interessato il suo valore, mentre la riga 5 setta la distanza del vertice sorgente a 0. Infine vi è la riga 6, la quale crea l insieme di tutti i vertici del grafo Q, nel caso dai noi analizzato, al momento dell inizializzazione, l insieme Q = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 }. La seconda parte dell algoritmo analizza il grafo per estrarne i cammini minimi, essa va dalla riga 7 alla riga 16. Possiamo subito notare che essa è composta da un ciclo principale (while Q is not empty:) dal quale poi si diramano gli altri cicli, tale ciclo termina ovviamente quanto l insieme Q è vuoto. La riga 8 prende dall insieme Q il vertice che ha distanza minore, poiche tutti i vertici eccetto v 1 hanno distanza infinita, verrà selezionato v 1 dall insieme Q. La riga 9 consiste in un if, il quale in tal caso non verrà preso in considerazione in quanto dist[v 1 ] = 0. La riga 11 eliminerà in vertice v 1 dall insieme Q il quale ora diventerà Q = {v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 }. La riga 12 da origine ad un altro ciclo, il quale analizza i pesi degli archi che connettono i vertici, tale ciclo prende in analisi tutti i vertici che sono collegati direttamente a v 1 e ne analizza il peso degli archi che li uniscono, viene quindi preso in considerazione v 2 il quale ha una distanza (peso dell arco) 3 con v 1, a tal proposito nella riga 13 viene creata una variabile temporale alt la quale sommerà il peso dell arco che unisce i vertici con la distanza del vertice preso in considerazione poichè la distanza {v 1 v, 2 } = 3, e poichè v 1 ha in origine distanza = 0, alt = = 3. Una volta calcolata tale distanza, se tale distanza è minore di quella presente nel vertice vicino a 5

6 v 1 (riga 14) cioè la distanza di v 2 allora il vertice v 2 assume distanza uguale ad alt (riga 15), dunque poiche alt < v 2 =, allora v 2 = alt = 3, nella riga 16 viene creato un array nel quale viene aggiunto il vertice v 2 e così via per gli altri vertici vicino ad v. Per chiarire le idee viene dato un esempio pratico di quanto detto. fig. 8 v1 viene preso dall insieme Q fig. 9 uno dei vicini di v 1 viene selezionato Viene selezionato v 1 perchè dell insieme Q esso è quello che ha come distanza minore (8) e viene tolto dall insieme Q (11), viene poi selezionato un vicino di v 1 (12), in questo caso v 2, e poichè 0+3 = 3 < (13,14), la sua distanza viene posta uguale a 3 (15), viene aggiunto v 2 all array previous. Poiche v 1 ha ancora altri vicini, vengono selezionati anch essi nel for dunque avremo: fig. 10 Completamente del ciclo for Anche gli altri vertici vicini a v 1 vengono selezionati e viene calcolata la distanza mediante l analisi dei pesi degli archi che li uniscono. Una volta effettuata tale operazione, il processo inizia nuovamente, il ciclo while 6

7 esegue un altra iterazione e si passa alla linea 8, la quale scegliera il vertice con la distanza più piccolo all interno dell insieme Q, è da ricordare che la linea 11 aveva modificato il contenuto di Q, dunque ora verrà selezionato come vertice da analizzare, v 4, poichè esso ha la distanza minore tra tutti i vertici di Q. Le linee 9,10 anche in questo caso non vengono prese in cosiderazione poichè v 4 = 1, dunque la linea 11 eliminera l elemento v 4 dall insieme Q, il quale ora risulta essere composto da Q = {v 2, v 3, v 5, v 6 }. Una volta effettuata tale operazione si entra nel ciclo for, il quale andra ad analizzare (come già visto per v 1 ) tutti i vertici ad esso collegati, nell esempio mostrato l unico ad essere vicino a v 4 è v 6, la riga 13 crea la variabile alt = = 14, la riga 14 indica che se la distanza di v 6 > alt allora tale distanza deve essere sovrascritta con il valore di alt, dunque poichè 30 > 14 ne segue che il valore delle distanza di v 6, viene settato a 14 (riga 15), infine la riga 16 aggiunge all array il vertice v 4, il quale conterà ora previous[] = {v 1, v 4 }, viene mostrato graficamente quanto descritto. fig. 11 v 4 è il vertice con distanza minore fig. 12 viene calcolata la distanza di v 6 Come si può notare dalla fig. 11 tra tutti i vertici, v 4 è quello con distanza minore, e poichè esso ha come unico vicino v 6, verrà calcolata la sua distanza basandosi sul peso dell arco che li unisce, poiche tale distanza è uguale a 14, mentre la distanza precedente è uguale a 30, tale distanza viene aggiornata mettendo il valore minore dei due. Tale processo continua per tutti i vertici rimanenti fino a quando essi non verranno esaminati tutti, cioè quando l insieme Q che contiene tutti i vertici è vuolo Q = {φ}. Alla fine di tale processo il grafo apparirà come in figura. 7

8 fig. 13 fine dell algoritmo con le distanza minime 8