2 OTTIMIZZAZIONE SU GRAFI. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1

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1 2 OTTIMIZZAZIONE SU GRAFI E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1

2 Molti problemi decisionali possono essere formulati utilizzando il linguaggio della teoria dei grafi. Esempi: - problemi di trasporto e distribuzione di beni e persone, - progetto di reti di comunicazione o di altra natura, - localizzazione di impianti e servizi, - organizzazione degli orari, - pianificazione di processi produttivi... E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

3 2.1 Grafi e algoritmi E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

4 2.1.1 Grafi Esempio Rete stradale che collega n città n= città nodi, collegamenti lati ( edge ) 4 Modello: un grafo G = (N, E) che consiste in un insieme N={1,2,,4,5} di nodi (vertici) e in un insieme E={[1,2],[1,],[1,4],[1,5],[2,],[2,5],[,4],[,5],[4,5]} N N di lati che li collega. [, ] indicano una coppia non ordinata E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

5 Definizioni Due nodi sono adiacenti se esiste un lato che li collega. Un lato e è incidente in un nodo i se i è un estremo di e. G i nodi 1 e 2 sono adiacenti il lato [1,5] è incidente nei nodi 1 e 5 4 Il grado di un nodo è il numero di lati incidenti. Es: nodo 1 è di grado 4 e il nodo 4 di grado E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

6 Dato un grafo G=(N, E) con n = N e m = E n=4 m=4 v 1 v 2 v N = { v 1, v 2, v, v 4 } E = { [v 1, v 2 ], [v 2, v ], [v 2, v 4 ], [v, v 4 ] } v 4 Una sequenza di lati consecutivi [v 1, v 2 ], [v 2, v ],, [v k-1, v k ] è un cammino che collega in nodi v 1 e v k v 1 v 2 v v k E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

7 v i, v j N sono connessi se esiste un cammino che li collega v j v i G = (N, E) è connesso se v i, v j connessi v i, v j N connesso 4 non connesso E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

8 Se certi collegamenti possono essere percorsi solo in un verso? Un grafo G = (N, A) è orientato se A è un insieme di coppie ordinate (v i, v j ) chiamate archi v i v j (v i, v j ) A 1 2 G 5 4 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 8

9 Una sequenza di archi consecutivi (v 1, v 2 ), (v 2, v ),, (v k-1, v k ) è un cammino orientato da v 1 a v k v 1 v 2 v k cammino orientato da 1 a 2 4 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

10 Un ciclo ( circuito ) è un cammino ( orientato ) con v k = v 1 v 2 v 1 = v k v v k ciclo C 4 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 10

11 cut in inglese Dato G = (N, E) non orientato e un insieme di nodi S N, il taglio indotto da S, indicato (S), è il sottoinsieme di lati con un estremo in S e l altro in N \ S. (S) = { (v,w) A : v S, w N \ S o w S, v N \ S } Esempio 1 2 N \ S S (S) = (N \ S ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 11

12 Dato G = (N, A) orientato e un insieme di nodi S N, taglio uscente indotto da S : + (S) = { (v, w) A : v S, w N \ S } taglio entrante indotto da S : - (S) = { (v, w) A : w S, v N \ S} Esempio 1 2 N \ S S E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 12

13 Modello per relazioni di compatibilità o incompatibilità Esempio incarichi e 2 persone i j N 1 N 2 N 2 = N \ N 1 lato [i, j] indica che l incarico i può essere eseguito dalla persona j Def. G è bipartito se esiste una partizione (N 1, N 2 ) di N t.c. nessun lato collega nodi nello stesso N i (i = 1, 2 ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1

14 Def. G è completo se E = { [v i, v j ] : v i, v j N, i j } n=4 m=6 Proprietà Per qualsiasi grafo G con n nodi, il numero di lati m soddisfa: nn ( 1) m se G non orientato 2 m n(n-1) se G orientato In entrambi i casi, con uguaglianza per i grafi completi. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 14

15 Modello per relazioni di precedenza tra entità Un progetto composto da n attività {a i } 1 i n con m relazioni di precedenza tra coppie di attività a i a j ( a j non può iniziare prima del completamento di a i ) Modello 1: grafo orientato nodi attivià archi precedenze k i j a i a k a j a j Modello 2: grafo orientato archi attività nodi attività «uscenti» possono iniziare quando tutte le attività «entranti» sono completate a i a k E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 15 k i j a j a j

16 Rappresentazione dei grafi Per grafi densi, matrice di adiacenza n x n : a ij = 1 se (i,j) A e a ij = 0 altrimenti Per grafi sparsi, liste dei successori o predecessori: S(1) = { 2, 4 } S(2) = { } S() = { 4 } S(4) = { 2 } E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 16

17 2.1.2 Raggiungibilità in un grafo Problema Dato un grafo orientato G = (N, A) e un nodo assegnato s, determinare i nodi raggiungibili da s. s Liste dei successori : S(1) = { 2, 4 } S(2) = { 5 } S() = { 5, 6 } S(4) = { 2 } S(5) = { 4 } S(6) = { 2 } E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 17

18 Algoritmo che permette di determinare tutti i nodi raggiungibili da s? input G = (N, A) con n = N e m = A, descritto mediante le liste dei successori, e un nodo s output Sottoinsieme M N dei nodi di G raggiungibili da s Q = coda dei nodi raggiungibili da s e non ancora elaborati (gestita secondo una politica first-in first-out ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 18

19 Esempio 1 2 Q = { 1 } e M = Ø Q = { 1 } e M = {1} Q = { 2, 4 } e M = M {2} Q = { 4, 5 } e M = M {4} M Q = { 5 } Q = e M = M {5} L insieme M = { 1, 2, 4, 5 } dei nodi che sono stati marcati è l insieme dei nodi raggiungibili da s = 1 NB: Non vi sono archi che escono da M e entrano in N \ M! E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 19

20 Algoritmo di esplorazione di un grafo output Nodi marcati (in M) raggiungibili da s BEGIN Q := {s}; M := ; END WHILE Q DO /* elabora un nodo raggiungibile h Q */ scegliere un nodo h Q e porre Q := Q \ {h}; M := M {h}; /* marcare h */ FOR EACH j S(h) DO IF j M AND j Q THEN Q := Q {j} END-IF END-FOR END-WHILE Q coda implica una strategia di esplorazione con priorità di ampiezza ( breadth first search ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 20

21 Esempio 1 2 N \ M M L algoritmo di esplorazione termina perché il taglio entrante indotto da M è vuoto, ossia + (M)=Ø - (M) taglio entrante E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 21

22 2.1. Algoritmi e ordine di complessità Algoritmo: insieme di istruzioni utili per risolvere le istanze (casi specifici) di un problema Poiché il tempo di calcolo dipende dall elaboratore, si considera il numero di operazioni elementari (aritmetiche, confronti,...) considerate tutte dello stesso costo Esempi: 1) Prodotto scalare di a, b R n richiede n moltiplicazioni e n-1 addizioni 2n-1 operazioni elementari 2) Sia A, B due matrici nxn, prodotto AB richiede (2n-1)n 2 operazioni elementari E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 22

23 In genere è difficile determinare il numero esatto di operazioni elementari (o. e.) in funzione della dimensione dell istanza (n o m) Si considera la rapidità di crescita nel caso peggiore: si cerca una funzione f(n) che fornisca un limite superiore al numero di o. e. necessarie per risolvere ogni istanza di dimensione n numero di o. e. per ogni istanza di dimensione n f (n) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

24 Si dice che una funzione f (n) è ordine di g(n) e si scrive f (n) = O( g(n) ) se c > 0 tale che f (n) c g(n), per n sufficientemente grande complessità asintotica c g f n 0 Esempi n + n = O(n ) 6n = O(n 2 ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 24

25 Si distingue tra algoritmi che hanno un ordine di complessità (nel caso peggiore) polinomiale: O( n d ) per una data costante d Gli algoritmi polinomiali sono in genere considerati efficienti -anche se uno in O(n 10 ) non lo è molto poco in pratica! esponenziale: O ( 2 n ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 25

26 Crescita polinomiale / esponenziale E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 26

27 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 27

28 Esempio: complessità algoritmo di esplorazione Ad ogni iterazione del ciclo WHILE: si sceglie un nodo h Q non ancora elaborato, lo si estrae da Q e lo si marca inserendolo in M si inseriscono in Q i vertici j non ancora marcati che possono essere raggiunti direttamente da h Poiché ogni nodo h viene inserito in Q al più una volta, ogni arco (h, j) viene considerato al massimo una volta Complessità totale O(n + m), dove n = N e m = A NB: per grafi densi m = O(n 2 ) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 28

29 2.1.4 Sottografi, alberi e alberi di supporto Esempio Progettazione di una rete di comunicazione che colleghi n città ( uffici ) Modello: Grafo non orientato G = (N, E) con n = N, m = E 1 2 n=5 5 i lati rappresentano i collegamenti possibili 4 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 29

30 Definizione G = (N, E ) è un sottografo di G = (N, E) se N N e E E contiene solo lati con entrambi i nodi in N. G=(N, E) G =(N, E ) N = {1,2,,5} N E = {[1,2],[1,5],[2,],[2,5],[,5]} E E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 0

31 Requisiti di una rete di comunicazione: 1) ogni coppia di città deve poter comunicare sottografo connesso che contiene tutti i nodi 2) per non sprecare risorse sottografo senza cicli E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1

32 Definizioni Un albero G T = (N, T) di G è un sottografo di G connesso e senza cicli. in inglese tree 1 2 G T 5 T={[1,5],[2,5],[,5]} E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

33 G T = (N, T) è un albero di supporto di G = (N, E) se contiene tutti i nodi di G ( ovvero N = N ). 1 2 G T 4 5 Le foglie di un albero sono i nodi di grado 1. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

34 Proprietà degli alberi 1 ) Ogni albero con n 2 nodi ha almeno 2 foglie. Dim. Per assurdo: se 0 o 1 foglia, sarebbe possibile percorrere i lati partendo dalla foglia (se c è) o da un qualunque nodo, utilizzando ogni lato una o zero volte. Siccome in un albero non esistono cicli, non si visiterebbe due volte lo stesso nodo. Non essendoci altre foglie, si potrebbe ripartire da ogni nodo. sarebbe possibile un viaggio infinito su un grafo finito! E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

35 2 ) Ogni albero con n nodi ha n 1 lati. Dim. Per induzione: Base induttiva : è vero per n = 1 (1 nodo e 0 lati) Passo induttivo : se è vero per gli alberi con n nodi, lo è per quelli che ne hanno n + 1. Si prenda un albero T 1 con n + 1 nodi. Eliminando una foglia e il lato su essa incidente, rimane un albero T 2 con n nodi. Su T 2 vale per ipotesi la proprietà 2), quindi T 2 ha n 1 lati. T 1, che ha un lato in più di T 2, ha n lati. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

36 ) Esiste un unico cammino tra una qualsiasi coppia di nodi altrimenti esisterebbe un ciclo! 4 ) Aggiungendo ad un albero un lato che non gli appartiene, si crea un unico ciclo formato dal cammino della proprietà ) e dal nuovo lato E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

37 5 ) Proprietà di scambio Sia G T = (N, T ) un albero di supporto di G = (N, E) Si consideri un lato e T e C l unico ciclo di T {e} (cf. proprietà 4) Per ogni lato f C \ {e} allora T {e} \ {f } è anch esso un albero di supporto di G. G T 4 f e C E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7 4 T {e} \ {f }