Complessità Computazionale

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1 Complessità Computazionale La teoria della Computabilità cattura la nozione di algoritmo nel senso che per ogni problema sia esso decisionale o di calcolo di funzione stabilisce dei criteri per determinare o meno l esistenza di algoritmi risolutivi. La teoria della complessità computazionale cattura la nozione di algoritmo eseguibile in tempo utile ovvero in un tempo che sia accettabile per gli scopi che l algoritmo si prefigge. Es: TRAVELLING SALESMAN: ci sono 10 città collegate tra di loro e per ogni collegamento è data la distanza in Km. Trovare il più piccolo percorso significa analizzare i (10-1)! possibili itinerari ovvero Se tuttavia le città sono ad esempio 40 esistono 39!! itinerari che, supposto di esaminarne al secondo, implicherebbe un tempo di esecuzione irrealizzabile. (Una) Scala di complessità significative O(log n) < O(n) < O(n log n) < P(n) < 2 n Convenzionalmente si stabilisce che i problemi aventi complessità maggiore della polinomiale siano intrattabili (affermazione da prendere comunque con cautela). Es: N 10 > 2 N! N < 59

2 Complessità Computazionale T(n) n n 3 /2 5n 2 Valore di taglio - valore di n al di sotto del quale è più conveniente usare un algoritmo di complessità peggiore rispetto ad un algoritmo di complessità migliore n Es: Ta = 100n Tb = 5n 2 Il programma b risulta più veloce del programma a se n! 20 T(n) 100n 5n 2 n 3 /2 2 n n dim. per dim. per incremento % Supposto di avere una macchina 10 volte più veloce al medesimo costo si osserva come un miglioramento del 900% nella velocità della macchina comporti un miglioramento nella dimensione del problema di solo il 30% se si una un algoritmo esponenziale.

3 Limitazioni polinomiali Una Macchina di Turing deterministica è detta limitata polinomialmente se c è un polinomio P tale per cui: per ogni input x la condizione di halt viene raggiunta in al più P( x ) passi. Un linguaggio si dice polinomialmente decidibile se esiste una macchina di Turing polinomialmente limitata che lo decide. La classe dei linguaggi polinomialmente decidibile è denotata da P. Le macchine di Turing limitate polinomialmente e quindi la classe P, catturano la nozione intuitiva di algoritmo e di problema realisticamente risolvibile. Proprietà di chiusura della classe P La classe P è chiusa rispetto al complemento Se un linguaggio L è decidibile in tempo polinomiale da una macchina M basta considerare la macchina M che inverte la condizione di q Y con q N. Con considerazioni analoghe si può mostrare come P sia chiuso anche rispetto all unione, intersezione e concatenazione.

4 Alcuni problemi per cominciare E conveniente fare una casistica di problemi per verificare la loro appartenenza o meno alla classe P. Esistono infatti taluni problemi che sono tra di loro similari, ma che non apparttengono alla stessa categoria di classi di complessità Abbiamo visto come la CHIUSURA RIFLESSIVA E TRANSITIVA di una relazione sia di complessità polinomiale, ovvero O(n 3 ) Si esamini ora il seguente problema: RAGGIUNGIBILITA Dato un Grafo diretto G = (N,V), dove N={n 1,n 2,...n n } è un insieme finito, esiste un percorso tra n i e n j? E facile verificare come il problema della RAGGIUNGIBILITA è polinomiale in quanto può essere risolto ispezionando la chiusura transitiva del grafo G. Il problema RAGGIUNGIBILITA può essere visto come un problema di tipo decisionale. Nella teoria della Complessità i problemi decisionali hanno un importanza fondamentale.

5 Sulla tipologia di problemi Le tipologie di problemi più comuni possono essere raggruppate nelle seguenti categorie: Decisionali Dato un insieme di istanze del problema P si vuol verificare se un certo predicato (SI/NO) è verificato Ricerca Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare una possibile soluzione Enumerazione Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare tutte le possibili soluzioni Ottimizzzazione Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare la soluzione migliore secondo un criterio di misura prefissato. Esempio1 : Dato un Grafo G, e due nodi u e v in esso, trovare il più lungo cammino che porta da u a v senza passare due volte dallo stesso nodo. Esempio2 : Dato un Grafo G, e due nodi u e v in esso e un intero k, esiste un cammino che porta da u a v di lunghezza " k? Problema di ottimizzazione Problema decisionale Risolvendo il problema di ottimizzazione si risolve quello di decisione per tutti i valori di k. Risolvendo il problema di decisione si risolve quello di ottimizzazione trovando il più piccolo valore di k per cui il problema di decisione risulti vero.

6 Ancora sulla tipologia di problemi I problemi di tipo decisionale hanno l interessante proprietà che è possibile associarvi in modo naturale un linguaggio costituito da tutte le possibili istanze del problema. Inoltre, un problema decisionale ha le seguenti due caratteristiche peculiari: 1. La possibilità di discriminare tra due insiemi di stringhe quelle che corrispondono alle istanze positive (soluzioni del problema) e quelle che corrispondono alle istanze negative (che non sono soluzione del problema o non rappresentano il problema). 2. La non necessità di preoccuparsi del lavoro svolto dall algoritmo per la restituzione del risultato, dato che la risposta al problema è rappresentato da un solo bit (SI/NO) Per questi motivi la teoria della complessità computazionale enfatizza l uso di rappresentazioni di tipo decisionale per i problemi che essa studia.

7 Cicli Eureliani CICLI DI EULERO: Dato un grafo G = (N,V) esiste un percorso chiuso che usi ciascun arco esattamente una volta sola? (Si osservi che il percorso sugli archi può passare un numero arbitrario di volte dai singoli nodi) Un grafo si dice Eureliano se e solo se sono rispettate le due seguenti proprietà 1. Per ogni coppia di nodi u e v " N nessuno dei nodi è isolato ed esiste un percorso da u a v 2. Tutti i nodi hanno un ugual numero di archi entranti ed archi uscenti Euleriano Non Euleriano La complessità del problema è certamente in P in quanto per la proprietà 1 si può far uso dell algoritmo di chiusura riflessiva-transitiva e per la proprietà 2 un conteggio effettuabile in tempo polinomiale.

8 Cicli Hamiltoniani CICLO HAMILTONIANO: Dato un grafo G= (N,V) Esiste un ciclo che passa attraverso ciascun nodo esattamente una sola volta? (Si osservi che il percorso può non usare tutti gli archi) Hamiltoniano A fronte dell apparente similitudine dei due problemi non è stato ancora trovato un algoritmo polinomiale che lo risolva. Dato che il numero dei cicli Hamiltoniani è pari a n! L unico modo possibile consiste nell enumerare tutte le permutazioni dei nodi ed effettuare un test se la permutazione è un ciclo Hamiltoniano.

9 Altri Problemi su grafi INSIEMI INDIPENDENTI: Dato un grafo G = (N,V) non diretto ed un intero K! 2 esiste un sottoinsieme C di N con C >= K tale che per ogni coppia v i, v j!" C non esiste un arco che li congiunge? CRICCA: Dato un grafo G = (N,V) non diretto ed un intero K! 2 esiste un sottoinsieme C di N con C! K tale che per ogni coppia v i, v j! C " esiste un arco che li congiunge? RICOPRIMENTO DI NODI: Dato un grafo G = (N,V) non diretto ed un intero B! 2 esiste un sottoinsieme C di N con C " B tale che C copre tutti gli archi di G? - il più grande insieme indipendente ha 3 nodi - la cricca massimale ha 4 nodi - la cardinalità più piccola per il ricoprimento è 6