Arrangiamenti di Iperpiani, Grafi e Ottimalità nella Scelta Sociale
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- Ruggero Cavaliere
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1 Arrangiamenti di Iperpiani, Grafi e Ottimalità nella Scelta Sociale Gennaro Amendola (in collaborazione con Luigi Marengo e Simona Settepanella) Milano, 25 novembre 2011 Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 1/55
2 Sommario 1 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività 2 3 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 2/55
3 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività 1 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività 2 3 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 3/55
4 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Votazione maggioritaria con due alternative Una votazione maggioritaria con due alternative Agente 1: Agente 2: Agente 3: A 1 B B 2 A A 3 B Scelta sociale: Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 4/55
5 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Votazione maggioritaria con due alternative Una votazione maggioritaria con due alternative Agente 1: Agente 2: Agente 3: Scelta sociale: A 1 B B 2 A A 3 B A B Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 4/55
6 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Votazione maggioritaria con tre alternative Paradosso di Condorcet Agente 1: Agente 2: Agente 3: A 1 B 1 C B 2 C 2 A C 3 A 3 B Scelta sociale: Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 5/55
7 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Votazione maggioritaria con tre alternative Paradosso di Condorcet Agente 1: Agente 2: Agente 3: Scelta sociale: A 1 B 1 C B 2 C 2 A C 3 A 3 B A B, B C, C A Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 5/55
8 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Definizione Una regola di decisione sociale è un processo che, per ogni insieme di ordinamenti di alcune alternative, stabilisce un corrispondente ordinamento sociale delle alternative: dove R : P ν ( 1,..., ν ) P P è l insieme di tutti i sistemi di preferenze transitivi, i è il sistema di preferenze transitivo dell i-esimo agente, è il sistema di preferenze sociali transitivo. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 6/55
9 Dittatura Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Problema Esistono regole di decisione sociale? Risposta La risposta alla domanda, senza altre richieste, è sì: ad esempio, una dittatura o un imposizione sono regole di decisione sociale. Risposta rivista Assumendo che alcune richieste moralmente ragionevoli siano soddisfatte, la risposta è no. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 7/55
10 Dittatura Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Problema Esistono regole di decisione sociale? Risposta La risposta alla domanda, senza altre richieste, è sì: ad esempio, una dittatura o un imposizione sono regole di decisione sociale. Risposta rivista Assumendo che alcune richieste moralmente ragionevoli siano soddisfatte, la risposta è no. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 7/55
11 Dittatura Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Problema Esistono regole di decisione sociale? Risposta La risposta alla domanda, senza altre richieste, è sì: ad esempio, una dittatura o un imposizione sono regole di decisione sociale. Risposta rivista Assumendo che alcune richieste moralmente ragionevoli siano soddisfatte, la risposta è no. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 7/55
12 Richieste ragionevoli Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Universalità (dominio non ristretto): la funzione R deve essere ben definita. Non imposizione (sovranità del cittadino): qualsiasi sistema di preferenze sociali deve essere ottenibile. Non dittatorialità: R( 1,..., ν ) non deve valere identicamente i. Monotonicità (associazione positiva tra valori individuali e sociali): se un agente modifica il proprio sistema di preferenze promuovendo una data alternativa, la regola di decisione sociale deve promuovere tale alternativa o restare invariata. Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se si confina l attenzione ad un sottoinsieme di alternative, la regola di decisione sociale deve essere coerente. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 8/55
13 Teorema dell impossibilità di Arrow Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Teorema (Arrow 1950) Se ci sono almeno tre alternative, non esistono regole di decisione sociale che soddisfano i requisiti di universalità, non imposizione, non dittatorialità, monotonicità e indipendenza dalle alternative irrilevanti. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 9/55
14 Cosa fare adesso? Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Rinuncia alla transitività D ora in poi non richiederemo più che il sistema di preferenze sociali sia transitivo: R : P ν ( 1,..., ν ) P dove P è l insieme di tutti i sistemi di preferenze (anche non transitivi). Oggi: Studiamo solo il sistema di preferenze sociali, a priori non-transitivo, = R( 1,..., ν ). Osservazione Possono non esserci ottimi. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 10/55
15 Cosa fare adesso? Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Rinuncia alla transitività D ora in poi non richiederemo più che il sistema di preferenze sociali sia transitivo: R : P ν ( 1,..., ν ) P dove P è l insieme di tutti i sistemi di preferenze (anche non transitivi). Oggi: Studiamo solo il sistema di preferenze sociali, a priori non-transitivo, = R( 1,..., ν ). Osservazione Possono non esserci ottimi. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 10/55
16 Cosa fare adesso? Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Rinuncia alla transitività D ora in poi non richiederemo più che il sistema di preferenze sociali sia transitivo: R : P ν ( 1,..., ν ) P dove P è l insieme di tutti i sistemi di preferenze (anche non transitivi). Oggi: Studiamo solo il sistema di preferenze sociali, a priori non-transitivo, = R( 1,..., ν ). Osservazione Possono non esserci ottimi. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 10/55
17 Grafi e tornei Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Grafi Consideriamo un nodo per ogni alternativa, e un lato diretto per ogni coppia di nodi: A B rappresenta A B Osservazione Questo grafo è un torneo, ossia ogni coppia di nodi è connessa da un lato Esempio A B C D E In questo sistema di preferenze sociali c è un ottimo (A) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 11/55
18 Grafi e tornei Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Grafi Consideriamo un nodo per ogni alternativa, e un lato diretto per ogni coppia di nodi: A B rappresenta A B Osservazione Questo grafo è un torneo, ossia ogni coppia di nodi è connessa da un lato Esempio A B C D E In questo sistema di preferenze sociali c è un ottimo (A) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 11/55
19 Grafi e tornei Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Grafi Consideriamo un nodo per ogni alternativa, e un lato diretto per ogni coppia di nodi: A B rappresenta A B Osservazione Questo grafo è un torneo, ossia ogni coppia di nodi è connessa da un lato Esempio A B C D E In questo sistema di preferenze sociali c è un ottimo (A) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 11/55
20 Cicli e transitività Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Cicli Un ciclo (alla Condorcet-Arrow) è una successione A 1 A 2 A h A 1. Esso corrisponde a un ciclo nel grafo e alla non transitività. Scopo Spezzare i cicli. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 12/55
21 Cicli e transitività Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività Cicli Un ciclo (alla Condorcet-Arrow) è una successione A 1 A 2 A h A 1. Esso corrisponde a un ciclo nel grafo e alla non transitività. Scopo Spezzare i cicli. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 12/55
22 1 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività 2 3 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 13/55
23 Riferimenti MS L. MARENGO S. SETTEPANELLA, Social choice among complex objects. AS G. AMENDOLA S. SETTEPANELLA, Modularity and optimality in social choice. A G. AMENDOLA, FOSoR - FOSoRStat. AMS G. AMENDOLA L. MARENGO S. SETTEPANELLA,??. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 14/55
24 Gruppi di elementi Finora abbiamo considerato alternative non strutturate, ossia monodimensionali. Le scelte però sono tipicamente fatte tra gruppi di elementi interdipendenti. Cosa fare stasera? Dove? cinema (0), ristorante (1), pub (2) Quando? 20:00 (0), 22:00 (1) Ci sono 6 alternative. Le sotto-alternative sono raggruppate in caratteristiche (feature): dove e quando. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 15/55
25 Gruppi di elementi Finora abbiamo considerato alternative non strutturate, ossia monodimensionali. Le scelte però sono tipicamente fatte tra gruppi di elementi interdipendenti. Cosa fare stasera? Dove? cinema (0), ristorante (1), pub (2) Quando? 20:00 (0), 22:00 (1) Ci sono 6 alternative. Le sotto-alternative sono raggruppate in caratteristiche (feature): dove e quando. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 15/55
26 Gruppi di elementi Finora abbiamo considerato alternative non strutturate, ossia monodimensionali. Le scelte però sono tipicamente fatte tra gruppi di elementi interdipendenti. Cosa fare stasera? Dove? cinema (0), ristorante (1), pub (2) Quando? 20:00 (0), 22:00 (1) Ci sono 6 alternative. Le sotto-alternative sono raggruppate in caratteristiche (feature): dove e quando. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 15/55
27 Il grafo associato Esempio 22: : cinema ristorante pub Osservazione Ogni alternativa è un gruppo di caratteristiche interdipendenti Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 16/55
28 Il grafo associato Esempio 22: : cinema ristorante pub Osservazione Ogni alternativa è un gruppo di caratteristiche interdipendenti Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 16/55
29 Un esempio tridimensionale Qui ci sono tre caratteristiche Scegliete arbitrariamente i lati diretti che non sono disegnati (per chiarezza) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 17/55
30 Un esempio tridimensionale Qui ci sono tre caratteristiche Scegliete arbitrariamente i lati diretti che non sono disegnati (per chiarezza) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 17/55
31 Il caso generale Notazione In generale consideriamo n caratteristiche, la i-esima delle quali può assumere m i valori, ossia f i {0, 1, 2,...,m i 1} con i = 1,...,n. Ogni alternativa (social outcome o configuration) è una n-upla (f 1,..., f n ) tale che 0 f i < m i. Denotiamo con m = (m 1,...,m n ) il multi-indice dei numeri dei valori delle caratteristiche. Denotiamo con M = n i=1 m i il numero delle alternative. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 18/55
32 Scelta con caratteristiche fissate Processo (MS) Partire da una alternativa Fissare alcune caratteristiche e trovare l ottimo cambiando solo le caratteristiche non fissate Fissare altre caratteristiche e trovare l ottimo cambiando solo le caratteristiche non fissate Continuare finché alla fine ci si ferma in una alternativa (un ottimo ) Osservazione [Arrow] Questo processo può non essere ben definito e può non finire Questo processo dipende da tanti parametri Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 19/55
33 Scelta con caratteristiche fissate Processo (MS) Partire da una alternativa Fissare alcune caratteristiche e trovare l ottimo cambiando solo le caratteristiche non fissate Fissare altre caratteristiche e trovare l ottimo cambiando solo le caratteristiche non fissate Continuare finché alla fine ci si ferma in una alternativa (un ottimo ) Osservazione [Arrow] Questo processo può non essere ben definito e può non finire Questo processo dipende da tanti parametri Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 19/55
34 Il processo per l esempio bidimensionale Esempio stop stop stop Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 20/55
35 Decidibilità - Manipolabilità Decidibilità Con questo processo possiamo trovare un ottimo più spesso che non considerando tutte le caratteristiche insieme. Manipolabilità Chi decide le caratteristiche che vengono fissate ad ogni passo? Chi decide l ordine? Chi decide l alternativa da cui partire? Differenti scelte possono portare a ottimi differenti. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 21/55
36 Decidibilità - Manipolabilità Decidibilità Con questo processo possiamo trovare un ottimo più spesso che non considerando tutte le caratteristiche insieme. Manipolabilità Chi decide le caratteristiche che vengono fissate ad ogni passo? Chi decide l ordine? Chi decide l alternativa da cui partire? Differenti scelte possono portare a ottimi differenti. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 21/55
37 Nuovi tipi di ottimi Esempio 00 e 21 sono ottimi, ma non nel significato classico, perché sono contenuti in un ciclo: Siamo riusciti a spezzare questo ciclo. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 22/55
38 Arrangiamenti di iperpiani Per modellizzare il problema Marengo e Settepanella hanno utilizzato gli arrangiamenti di iperpiani Definizione Un arrangiamento di iperpiani è un insieme finito di iperpiani: in questo caso consideriamo l arrangiamento di iperpiani A n,m = { H i,j di equazione λ i j = 0 } 1in 0j<m i 1 H 2, H 1,0 H 1,1 A 2,(3,2) = { H 1,0, H 1,1, H 2,0 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 23/55
39 Arrangiamenti di iperpiani Per modellizzare il problema Marengo e Settepanella hanno utilizzato gli arrangiamenti di iperpiani Definizione Un arrangiamento di iperpiani è un insieme finito di iperpiani: in questo caso consideriamo l arrangiamento di iperpiani A n,m = { H i,j di equazione λ i j = 0 } 1in 0j<m i 1 H 2, H 1,0 H 1,1 A 2,(3,2) = { H 1,0, H 1,1, H 2,0 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 23/55
40 Camere Definizione Le componenti del complementare dell arrangiamento di iperpiani sono dette camere Osservazione (MS) Le camere rappresentano le alternative H 2, H 1,0 H 1,1 Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 24/55
41 Oggetti Definizione (MS) Un oggetto è un sottoinsieme A I = { } H i,j i I 0j<m i 1 dell arrangiamento A n,m, dove I {1,...,n} H 2, H 1,0 H 1,1 A {1} = { H 1,0, H 1,1 } A {2} = { H 2,0 } A {1,2} = { H 1,0, H 1,1, H 2,0 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 25/55
42 Schemi di oggetti Definizione (MS) Uno schema di oggetti è un insieme di oggetti A = { A I1,...,A Ik } tale che k I j = {1,...,n} j=1 H 2, { A{1}, A {2} } { A{1,2} } { A{1}, A {1,2} } H 1,0 H 1,1 Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 26/55
43 Agende Definizione (MS) Una agenda di uno schema di oggetti A è un ordinamento (anche con ripetizioni) degli oggetti di A. Osservazione L agenda è cruciale in un processo di votazione/scelta, ma oggi non ci preoccuperemo di questo problema. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 27/55
44 Agende Definizione (MS) Una agenda di uno schema di oggetti A è un ordinamento (anche con ripetizioni) degli oggetti di A. Osservazione L agenda è cruciale in un processo di votazione/scelta, ma oggi non ci preoccuperemo di questo problema. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 27/55
45 Cammini di dominazioni Definizione (MS) Un cammino di dominazioni attraverso uno schema di oggetti A è una sequenza di alternative x 0 x 1 x s tale che x i è l ottimo tra le alternative che stanno dallo stesso lato degli iperpiani nel complementare di un oggetto A hi. Osservazione Si può avere x i x i 1 oppure x i = x i 1. Definizione (MS) Diremo che il cammino di dominazioni finisce in x s se esso può essere indefinitamente esteso a x 0 x 1 x s x s. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 28/55
46 Cammini di dominazioni Definizione (MS) Un cammino di dominazioni attraverso uno schema di oggetti A è una sequenza di alternative x 0 x 1 x s tale che x i è l ottimo tra le alternative che stanno dallo stesso lato degli iperpiani nel complementare di un oggetto A hi. Osservazione Si può avere x i x i 1 oppure x i = x i 1. Definizione (MS) Diremo che il cammino di dominazioni finisce in x s se esso può essere indefinitamente esteso a x 0 x 1 x s x s. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 28/55
47 Cammini di dominazioni Definizione (MS) Un cammino di dominazioni attraverso uno schema di oggetti A è una sequenza di alternative x 0 x 1 x s tale che x i è l ottimo tra le alternative che stanno dallo stesso lato degli iperpiani nel complementare di un oggetto A hi. Osservazione Si può avere x i x i 1 oppure x i = x i 1. Definizione (MS) Diremo che il cammino di dominazioni finisce in x s se esso può essere indefinitamente esteso a x 0 x 1 x s x s. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 28/55
48 L esempio tridimensionale Esempio (AS) Consideriamo lo schema di oggetti A = { A{1,2}, A {3} } Ricordiamo che A {1,2} = { H1,0, H 2,0 } A {3} = { H 3,0 }. H 2,0 011 H 1, H 3, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 29/55
49 locali Definizione (MS) Un ottimo locale per uno schema di oggetti A è una alternativa in cui finisce almeno un cammino di dominazioni attraverso A Osservazione (MS) In un ottimo locale finisce più di un cammino di dominazioni Ci possono essere più ottimi locali (o anche nessuno) H 2, H 1,0 H 1,1 Le alternative 00 e 21 sono ottimi locali per lo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 30/55
50 locali Definizione (MS) Un ottimo locale per uno schema di oggetti A è una alternativa in cui finisce almeno un cammino di dominazioni attraverso A Osservazione (MS) In un ottimo locale finisce più di un cammino di dominazioni Ci possono essere più ottimi locali (o anche nessuno) H 2, H 1,0 H 1,1 Le alternative 00 e 21 sono ottimi locali per lo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 30/55
51 Bacini di attrazione Definizione (MS) Il bacino di attrazione di una alternativa x rispetto a uno schema di oggetti A è l insieme delle alternative da cui parte un cammino di dominazioni attraverso A che finisce in x Osservazione (MS) Il bacino di attrazione di x è vuoto se e solo se x non è un ottimo locale H 2, H 1,0 H 1,1 Il bacino di attrazione dell alternativa 21 rispetto allo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } è { 10, 20, 01, 11, 21 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 31/55
52 Bacini di attrazione Definizione (MS) Il bacino di attrazione di una alternativa x rispetto a uno schema di oggetti A è l insieme delle alternative da cui parte un cammino di dominazioni attraverso A che finisce in x Osservazione (MS) Il bacino di attrazione di x è vuoto se e solo se x non è un ottimo locale H 2, H 1,0 H 1,1 Il bacino di attrazione dell alternativa 21 rispetto allo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } è { 10, 20, 01, 11, 21 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 31/55
53 globali Definizione (MS) Un ottimo globale per uno schema di oggetti A è una alternativa il cui bacino di attrazione rispetto ad A è tutto l insieme delle alternative Nozione classica di ottimo (MS) Un ottimo classico è un ottimo globale rispetto allo schema di oggetti A = { A {1,...,n} } H 2, H 1,0 H 1,1 Questo sistema di preferenze sociali non ha non ha ottimi globali per lo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 32/55
54 globali Definizione (MS) Un ottimo globale per uno schema di oggetti A è una alternativa il cui bacino di attrazione rispetto ad A è tutto l insieme delle alternative Nozione classica di ottimo (MS) Un ottimo classico è un ottimo globale rispetto allo schema di oggetti A = { A {1,...,n} } H 2, H 1,0 H 1,1 Questo sistema di preferenze sociali non ha non ha ottimi globali per lo schema di oggetti A = { A {1}, A {2} } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 32/55
55 Bacini di attrazione universale e ottimi u-locali Definizione (AS) Il bacino di attrazione universale di una alternativa x è l unione dei bacini di attrazione di x rispetto a ogni schema di oggetti Definizione (AS) Un ottimo u-locale è una alternativa il cui bacino di attrazione universale è tutto l insieme delle alternative H 2, H 1,0 H 1,1 Il bacino di attrazione universale dell alternativa 21 è { 10, 20, 01, 11, 21 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 33/55
56 Bacini di attrazione universale e ottimi u-locali Definizione (AS) Il bacino di attrazione universale di una alternativa x è l unione dei bacini di attrazione di x rispetto a ogni schema di oggetti Definizione (AS) Un ottimo u-locale è una alternativa il cui bacino di attrazione universale è tutto l insieme delle alternative H 2, H 1,0 H 1,1 Il bacino di attrazione universale dell alternativa 21 è { 10, 20, 01, 11, 21 } Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 33/55
57 Relazione tra i diversi tipi di ottimo Osservazione (MS, AS) ottimo classico ottimo globale ottimo u-locale ottimo locale Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 34/55
58 L esempio tridimensionale: un ottimo locale Esempio (AS) 101 è un ottimo locale per lo schema di oggetti A = { A{1}, A {2}, A {3} } Ricordiamo che A {1} = { H 1,0 } A {2} = { H 2,0 } A {3} = { H 3,0 }. H 2,0 011 H 1, H 3, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 35/55
59 L esempio tridimensionale: un ottimo globale Esempio (AS) 011 è un ottimo globale per lo schema di oggetti A = { A{1,2}, A {3} }. Ricordiamo che A {1,2} = { H1,0, H 2,0 } A {3} = { H 3,0 }. H 2,0 011 H 1, H 3, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 36/55
60 L esempio tridimensionale: un ottimo u-locale Esempio (AS) 000 è un ottimo u-locale Per i lati rossi usiamo oggetti con due iperpiani: A {1,3} e A {2,3}. Per i lati blu dobbiamo usare oggetti con un iperpiano: A {2} e A {3}. H 2,0 011 H 1, H 3, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 37/55
61 L esempio tridimensionale: nessun ottimo classico Esempio (AS) Non c è nessun ottimo classico C è un ciclo lungo, e le tre alternative rimanenti (che sono fuori dal ciclo) sono dominate. H 2,0 011 H 1, H 3, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 38/55
62 L esempio tridimensionale: minimalità Osservazione (AS) Il sistema di preferenze sociali tridimensionale considerato è il più piccolo che abbia un ottimo globale, un ottimo u-locale, e un ottimo locale, tutti distinti. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 39/55
63 Numero di ottimi locali Teorema (AS) Il massimo numero di ottimi locali è e questo limite è raggiunto. Esempio M max{m 1,..., m n }, Se m è (3, 3, 2, 2), il numero di alternative M è 36 e il limite sopra è 12. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 40/55
64 Numero di ottimi locali Teorema (AS) Il massimo numero di ottimi locali è e questo limite è raggiunto. Esempio M max{m 1,..., m n }, Se m è (3, 3, 2, 2), il numero di alternative M è 36 e il limite sopra è 12. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 40/55
65 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat 1 Introduzione Teorema dell impossibilità di Arrow Rinuncia alla transitività 2 3 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 41/55
66 Il problema della complessità Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Problemi per trovare gli ottimi Il problema non è finito, perché a priori ci possono essere infinite agende. Non è difficile ridurre il problema a uno finito, ma un semplice algoritmo con ricerca esausitva necessiterebbe di un tempo almeno esponenziale. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 42/55
67 Un algoritmo Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Algoritmo (AS) Noi abbiamo descritto un algoritmo che calcola il bacino di attrazione universale di una data alternativa in tempo polinomiale, O ( M 3 log M ). Osservazione (AS) Quindi possiamo trovare tutti gli ottimi u-locali in un tempo O ( M 4 log M ). Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 43/55
68 Un algoritmo Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Algoritmo (AS) Noi abbiamo descritto un algoritmo che calcola il bacino di attrazione universale di una data alternativa in tempo polinomiale, O ( M 3 log M ). Osservazione (AS) Quindi possiamo trovare tutti gli ottimi u-locali in un tempo O ( M 4 log M ). Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 43/55
69 classici (AMS) Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 44/55
70 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat locali con due caratteristiche (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 45/55
71 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat locali con due caratteristiche (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 45/55
72 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat locali per 64 alternative (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 46/55
73 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat locali per potenze di due (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 47/55
74 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat u-locali con due caratteristiche (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 48/55
75 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat u-locali con due caratteristiche (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 48/55
76 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat u-locali per 64 alternative (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 49/55
77 Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat u-locali per potenze di due (AMS) Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 50/55
78 FOSoRStat Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat FOSoRStat (A) Questi risultati numerici sono stati ottenuti utilizzando il programma FOSoRStat, che ripetutamente (in questo caso di volte) applica l algoritmo e raccoglie i risultati. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 51/55
79 FOSoR Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat FOSoR (A) Il programma FOSoR, che è anche basato sull algoritmo, permette di analizzare un sistema di preferenze sociali. L esempio tridimensionale Ricordiamo che: 101 è un ottimo locale 000 è un ottimo u-locale Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 52/55
80 FOSoR Un algoritmo FOSoR e FOSoRStat FOSoR (A) Il programma FOSoR, che è anche basato sull algoritmo, permette di analizzare un sistema di preferenze sociali. L esempio tridimensionale Ricordiamo che: 101 è un ottimo locale 000 è un ottimo u-locale Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 52/55
81 Bibliografia - Articoli Bibliografia Ringraziamento MS L. MARENGO S. SETTEPANELLA, Social choice among complex objects, LEM, Working Paper Series, WP 2010/02 (2010), AS G. AMENDOLA S. SETTEPANELLA, Modularity and optimality in social choice, LEM, Working Paper Series, WP 2010/05 (2010), 1 42, in fase di pubblicazione su Journal of Mathematical Sociology. AMS G. AMENDOLA L. MARENGO S. SETTEPANELLA,??, in preparazione. Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 53/55
82 Bibliografia Ringraziamento Bibliografia - Programmi A G. AMENDOLA, FOSoR - FOSoRStat, Gennaro Amendola Arrangiamenti, Grafi e Ottimalità 54/55
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