IL PROBLEMA DEL FLUSSO DI COSTO MINIMO. DANIEL BUCCARELLA

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1 IL PROBLEMA DEL FLUSSO DI COSTO MINIMO DANIEL BUCCARELLA

2 1. Definizione del Problema Spesso i problemi di ottimizzazione sono caratterizzati da una struttura di grafo. In alcuni casi questa struttura nasce dal particolare modo in cui un problema viene modellato, in altri emerge in modo del tutto naturale. Si pensi, ad esempio, ad una rete stradale. Essa è rappresentabile naturalmente come un grafo in cui i nodi sono gli incroci e gli archi le strade. Nel seguito studieremo un problema di base definito su reti, enunciandone le proprietà e introducendo un semplice algoritmo risolutivo. Con il termine rete indichiamo un grafo G= N, A orientato e pesato. Ai nodi e agli archi del grafo, infatti, sono associati dei valori numerici chiamati, appunto, pesi. Possiamo interpretare gli archi della rete come canali attraverso cui fluiscono dei beni, rappresentabili per mezzo di grandezze discrete (pensiamo al numero di messaggi attraverso una rete di comunicazione) o continue (quantità di petrolio che fluisce in un oleodotto). I beni, inoltre, possono rappresentare valori assoluti oppure valori relativi, ad esempio, ad unità di tempo. Proviamo a pensare ai pesi dei nodi come la quantità dei beni che in quei nodi entrano nella rete o ne escono. Ad ogni nodo i N è associato un valore reale b i (bilancio o afflusso netto nel nodo), che può essere: Positivo: b i viene detto domanda del nodo, in quanto rappresenta la quantità del bene che esce dalla rete al nodo i. Il nodo viene detto destinazione, pozzo o nodo di output. Negativo: b i viene detto offerta del nodo, in quanto rappresenta la quantità del bene che entra nella rete al nodo i. Il nodo viene detto origine, sorgente o nodo di input. Nullo: i viene detto nodo di trasferimento. Pensando invece ai pesi degli archi come capacità e costi abbiamo che ad ogni arco a k = i, j sono associati un costo c k (o c ij ), indicante il costo che viene pagato per ogni unità del bene che attraversi l'arco, ed una capacità inferiore l k ( l ij ) e superiore u k ( u ij ), indicanti rispettivamente il minimo e massimo numero di unità di bene che possono attraversare l'arco. Un flusso ammissibile in una rete è una funzione f : N N R che assegna ad ogni arco i, j un valore reale x ij che soddisfa i seguenti requisiti:

3 Requisito di Capacità: i, j N, l ij x ij u ij Requisito di Simmetria: i, j N, x ij = x ji Requisito di Bilancio: i N, j N x ij =b i Il bilancio rappresenta la differenza tra il flusso entrante e il flusso uscente da un nodo; se il bilancio di un nodo i è nullo ( b i =0 ), si parla di equazione di conservazione del flusso in quanto, in questo caso, il nodo produce la stessa quantità di flusso che consuma. Nei problemi di flusso la somma di tutte le domande (domanda globale) è uguale alla somma, cambiata di segno, di tutte le offerte (offerta globale). Definiti, cioè, gli insiemi D dei nodi di domanda e O dei nodi di offerta: D={i N :b i 0},O={i N : b i 0}, si ha che: i D b i = i O b i Da ciò è facile dedurre che i N b i =0. Il costo di un flusso ammissibile è definito come: costo x = c ij x ij i, j A Il problema del flusso di costo minimo: è data una rete G= N, A, con A =m. Ad ogni arco i, j A sono associati un costo c ij, una capacità inferiore l ij =0 ed una capacità superiore u ij. Ad ogni nodo i N è associato un bilancio b i. Intendiamo trovare, fra tutti i flussi ammissibili in G, il flusso (un vettore x R m contenente i valori del flusso su ogni arco) che rende minimo costo x.

4 2. Condizioni di Ottimo Lo studio delle condizioni di ottimo, cioè delle proprietà che ci permettono di verificare se una data soluzione è ottima per il problema, costituisce il primo passo per lo sviluppo di un algoritmo. Introduciamo quindi i concetti che ci torneranno utili durante la trattazione. Un vettore x R m che rispetta tutti i vincoli di capacità sugli archi, cioè tale che 0 x u, è detto pseudoflusso. Lo sbilanciamento di un nodo i rispetto a x è la quantità e x i = j N x ij b i Definiamo poi O x ={i N : e x i 0}, D x ={i N :e x i 0} rispettivamente l'insieme dei nodi con eccedenza di flusso e quello dei nodi con difetto di flusso. Se risulta D x =O x =, se tutti i nodi sono, cioè, bilanciati, il vettore x rispetta il Requisito di Bilancio. Indicando con e x il vettore degli sbilanciamenti del vettore x, g x = e x i i O x rappresenta lo sbilanciamento complessivo, calcolabile anche con la formula g x = j Dx e x j Possiamo dunque affermare che x rispetta il Requisito di Bilancio se e solo se g x =0. Dato un qualsiasi cammino P tra una qualunque coppia di nodi s e t del grafo, consideriamo il verso di P quello che va da s a t. Gli archi del cammino risultano, quindi, partizionati nei due insiemi degli archi concordi ( P ) e discordi ( P ) col verso del cammino. La capacità del cammino P rispetto al flusso x è data da:

5 P, x =min { min { u ij x ij : i, j P }, min { x ij : i, j P }} Questa formula rappresenta la quantità massima di flusso che non produce flussi maggiori delle capacità se aggiunta agli archi di P e non produce flussi negativi se sottratta agli archi di P. Se accade che almeno uno degli archi di P è saturo oppure che almeno uno degli archi di P è vuoto, allora P, x =0. Se, invece, P, x 0, ciò significa che lungo P può essere inviata una quantità positiva di flusso da s verso t. P In questo caso è detto cammino aumentante. Dato uno pseudoflusso x, è possibile inviare lungo P una quantità di flusso 0 P, x mediante l'operazione di composizione ( ) nel modo seguente: x ij ={ x ij +, se i, j P x ij, se i, j P x ij,altrimenti Lo pseudoflusso ottenuto ( x =x P ) è tale che: e x i ={ e x s, sei=s e x t +, sei=t e x i,altrimenti Inviare flusso lungo un cammino aumentante modifica, quindi, solo lo sbilanciamento dei nodi estremi del cammino, lasciando invariato quello di tutti i nodi intermedi. Il caso in cui s=t è un caso particolare di cammino aumentante: il cammino è, cioè, un ciclo aumentante C su cui fissiamo arbitrariamente un verso di percorrenza. L'invio di flusso attraverso un tale cammino aumentante, non modificherebbe, ovviamente, lo sbilanciamento di alcun nodo. In particolare, a partire da un flusso ammissibile x, l'operazione di composizione con un ciclo aumentante C permette di costruire un diverso flusso ammissibile. In altre parole, se x è un flusso ammissibile, allora, per 0 C, x, ogni flusso x =x C è ancora un flusso ammissibile. Il costo di un cammino (o di un ciclo) P è il costo di un'unità di flusso inviata, secondo il verso fissato, lungo P :

6 c P = i, j P c ij i, j P c ij mentre il costo del nuovo pseudoflusso è dato da (1) cx =c x P =cx c P Per determinare cammini o cicli aumentanti, si può utilizzare il grafo residuo G x = N, A x rispetto allo pseudoflusso x : per ogni arco i, j A poniamo i, j in A x, con costo c ij '=c ij, se e solo se x ij u ij, mentre poniamo j, i in A x, con costo c ji ' = c ji, se e solo se x ij 0. In base a questa costruzione, comunque si fissino s e t, per ogni cammino aumentante da s a t rispetto a x in G, esisterà uno e un solo cammino orientato da s a t in G x. Il cammino in G e quello in G x avranno lo stesso costo. Teorema 1: Dati due pseudoflussi qualunque x ' ed x ' ', esistono k n m cammini o cicli aumentanti per x ', P 1,..., P k, di cui al più m sono cicli, tali che x 1 =x ', x i 1 =x i i P i, per i=1,..., k, x k 1 = x' ', dove 0 i = P i, x i,i=1,..., k. In particolare, gli estremi di tutti i cammini aumentanti sono nodi in cui lo sbilanciamento di x ' è diverso dallo sbilanciamento di x ' ', per cui se x ' ed x ' ' hanno lo stesso vettore di sbilanciamenti, allora tutti i P i sono cicli. Dimostrazione: la nostra dimostrazione è di tipo costruttivo: manteniamo uno pseudoflusso x, inizialmente pari a x ', e lo rendiamo uguale a x ' ', utilizzando cammini e cicli aumentanti per x ', in un numero finito di passi. Per far questo definiamo il grafo G x = N, A x, A x, dove A ' x ={ i, j : x ' ij x ij } e ' ' x ij }. Possiamo affermare che G x descrive la differenza tra x e x ' '. A x ={ j,i : x ij E', infatti, immediato verificare che A x = A x = se e solo se x ' '=x. Associamo ora ' ' ad ogni arco i, j A x la quantità d x i, j =x ij x ij 0 e ad ogni arco j, i A x ' quantità d x j,i =x ij x ' ij 0 e definiamo gli insiemi la O x ={i N : e x i e x '' i }, D x ={i N :e x i e x ' ' i } contenenti rispettivamente i nodi che hanno sbilanciamento rispetto a x maggiore dello sbilanciamento rispetto a x ' ' e i nodi per i quali avviene l'opposto. Avviene allora che:

7 O x =D x = se e solo se x ed x ' ' hanno lo stesso vettore di sbilanciamento tutti i nodi in O x hanno almeno un arco uscente in G x, tutti i nodi in D x hanno almeno un arco entrante in G x, mentre tutti i nodi in N O x D x o non hanno né archi entranti né archi uscenti oppure hanno sia almeno un arco entrante che almeno un arco uscente. Abbiamo ora la possibilità di costruire iterativamente i cicli e i cammini richiesti, utilizzando G x. Se A x = A x =, ossia x= x' ', il procedimento termina, altrimenti prendiamo in considerazione i due insiemi O x e D x : se O x selezioniamo un nodo s O x, altrimenti, per costruire un ciclo, selezioniamo un qualsiasi nodo s che abbia almeno un arco uscente (e quindi almeno uno entrante). Visitiamo, dunque, G x a partire da s, nodo che ha sicuramente un arco uscente. Siccome, poi, ogni nodo, tranne al più quelli in D x, ha almeno un arco uscente, in un numero finito di passi, la visita: o raggiunge un nodo t D x oppure torna su un nodo già precedentemente visitato. Nel primo caso determiniamo un cammino P in G x tra un nodo s O x e un nodo t D x. Su questo cammino viene inviata una quantità di flusso pari a =min { min { d x i, j : i, j P }, e x s e x ' ' s,e x '' t e x t } Nel secondo caso determiniamo un ciclo C in G x. Su questo ciclo viene inviata una quantità di flusso pari a =min {d x i, j : i, j C } In entrambi i casi otteniamo un nuovo pseudoflusso x che potremmo definire più simile ad x ' ' rispetto al precedente, in quanto, per ogni i, j di P (o C ), d x i, j diminuisce della quantità 0. In particolare, se si determina un cammino, si avrà che o d x i, j =0 per almeno un i, j P, oppure lo sbilanciamento rispetto ad x di almeno uno tra s e t diventa pari allo sbilanciamento rispetto ad x ' ', e quindi almeno uno tra s e t non comparirà più in O x o in D x ; se invece si determina un ciclo, allora si avrà d x i, j =0 per almeno un i, j C, e quindi tale arco non comparirà più in G x.

8 E' da notare che il flusso può solo aumentare sugli archi di A x ', mentre può solo ' ' diminuire sugli archi di A x. Non appena x ij =x ij, il flusso su i, j non viene più modificato, perciò in G x non può essere creato nessun nuovo arco. Possiamo allora concludere che ogni grafo G x è un sottografo del grafo residuo iniziale G x ', e perciò un qualunque cammino o ciclo che viene utilizzato è aumentante rispetto allo pseudoflusso iniziale x '. Ad ogni passo cancelliamo o almeno un nodo da O x D x o almeno un aro da G x, quindi, tutti gli archi di G x vengono cancellati in al più n m passi. Il Teorema appena dimostrato ci permette di dare una caratterizzazione degli pseudoflussi ottimi e quindi dei flussi ottimi. Definiamo minimale uno pseudoflusso x di costo minimo tra tutti gli pseudoflussi aventi lo stesso vettore di sbilanciamento e x. La soluzione ottima al nostro problema del flusso di costo minimo è un flusso ammissibile minimale, un flusso, cioè, che ha costo minimo tra tutti gli pseudoflussi aventi e x =0. Lemma 1: Uno flusso ammissibile (pseudoflusso) x è ottimo (minimale) se e solo se non esistono cicli aumentanti rispetto ad x il cui costo sia negativo. Dimostrazione: Se esiste un ciclo aumentante C rispetto ad x il cui costo c C negativo, allora x non è minimale: per ogni 0 C, x, lo pseudoflusso x =x C ha lo stesso vettore di sbilanciamento di x, ma, ricordando (1), cx cx. Viceversa, sia x uno pseudoflusso tale che non esistono cicli aumentanti di costo negativo rispetto ad x. Supponiamo che esista uno pseudoflusso x ' con lo stesso vettore di sbilanciamento tale che cx ' cx, ossia supponiamo che x non sia minimale. Allora per il Teorema 1: è x '=x 1 C 1... k C k dove C i sono cicli aumentanti per x. Ma i i sono tutti numeri positivi, quindi, il fatto che sia cx ' cx e (1) implicano che c C i 0 per un qualche i, il che contraddice l'ipotesi.

9 3. Soluzione Basata su Cammini Minimi Successivi L'algoritmo basato su cammini minimi successivi sfrutta l'idea seguente: ad ogni passo mantiene uno pseudoflusso minimale x e per diminuire lo sbilanciamento di x, al minor costo possibile, determina un cammino aumentante di costo minimo tra un nodo s O x e un nodo t D x. La minimalità degli pseudoflussi è conservata grazie all'utilizzo di cammini aumentanti di costo minimo, come dimostra il seguente Teorema 2: Sia x uno pseudoflusso minimale e, tra tutti i cammini che uniscono un dato nodo s O x ad un dato nodo t D x, sia P il cammino aumentante rispetto a x di costo minimo. In qualsiasi modo venga scelto P, x, x P è uno pseudoflusso minimale. Dimostrazione: Fissato P, x, sia x ' uno pseudoflusso qualsiasi e sia e x il suo vettore di sbilanciamento. Esistono, per il Teorema 1, k cammini aumentanti P 1,..., P k da s a t (essendo s e t gli unici nodi per i quali differiscono e x ed e x ) e h cicli aumentanti C 1,...,C h rispetto ad x tali che x '=x 1 P 1... k P k k 1 C 1... k h C h Inoltre, deve sicuramente essere 1... k =. x è minimale, perciò ciasuno degli h cicli aumentanti deve avere costo non negativo; inoltre P ha costo minimo tra tutti cammini aumentanti tra s e t, quindi si ha c P c P i,i=1,..., k. Allora: cx '=cx 1 c P 1... k c P k k 1 c C 1... k h c C h cx c P =cx Quindi, x è minimale. Ricordiamo che e x s 0 e che e x t 0. L'operazione di composizione tra lo pseudoflusso x e il cammino P permette, con un'opportuna scelta di, di diminuire lo sbilanciamento complessivo. Infatti per (2) =min { P, x, e x s, e x t } > 0 x è uno pseudoflusso minimale con sbilanciamento complessivo g x =g x g x. Tale scelta di corrisponde alla maggiore diminuzione

10 possibile dello sbilanciamento complessivo corrispondente al cammino P e allo pseudoflusso x. L'algoritmo, mostrato qui di seguito, termina se lo pseudoflusso minimale corrente ha sbilanciamento nullo (è un flusso ottimo), oppure se non esistono più cammini aumentanti tra nodi in O x e nodi in D x (il problema non ha soluzioni ammissibili). Algoritmo camminiminimisuccessivi( G, c, b, u, x, caso ) { inizializza( x ); caso := ottimo ; while ( g x!= 0) and ( caso!= vuoto ) do if trovacamminominimo( G x, O x, D x, P, ) then aumentaflusso( x, P, ); else caso := vuoto ; } Partendo dal presupposto che non esistano archi con costo negativo e capacità infinita, la procedura inizializza costruisce uno pseudoflusso x minimale nel modo seguente: x ij ={ 0, se c ij 0 u ij, altrimenti I costi degli archi in G x risultano, così, tutti non negativi e perciò non esistono cicli orientati in G x (e cioè cicli aumentanti rispetto a x in G ) di costo negativo. x è allora minimale. La procedura trovacamminominimo risolve il problema dell'albero dei cammini minimi con insieme di nodi radice O x su G x, determinando, quindi, un cammino aumentante P di costo minimo da un qualsiasi nodo s O x a un qualsiasi nodo t D x. Se, cioè, O x 1, essa aggiunge a G x un nodo radice r collegato con archi a costo nullo a tutti i nodi in O x e risolve il problema dell'albero dei cammini minimi di radice r sul grafo così ottenuto; altrimenti utilizza come radice l'unico nodo in O x. Se la procedura restituisce falso, il nostro algoritmo restituisce vuoto (non esiste nessuna soluzione ammissibile per il nostro problema). In caso contrario, la procedura restituisce un cammino aumentante P che unisce un nodo s O x a un nodo t D x insieme alla quantità di flusso, definita in (2), che deve essere inviata

11 lungo P, invio del quale si occupa la procedura aumentaflusso implementando l'operazione di composizione. Se =e x s, allora il nodo s risulterà bilanciato rispetto al nuovo flusso, e lo stesso discorso vale per il nodo t se = e x t ; altrimenti, è determinato dalla capacità del cammino e ciò vuol dire che almeno un arco di P diviene vuoto oppure saturo. Se l'algoritmo descritto termina con g x =0, allora x è un flusso ottimo. Per il Teorema 2, infatti, ad ogni passo lo pseudoflusso x è minimale in quanto l'algoritmo usa sempre cammini aumentanti di costo minimo. Nel caso in cui b e u siano interi possiamo facilmente provare la terminazione dell'algoritmo. Lo pseudoflusso iniziale, in questo caso, è anch'esso intero, e lo sono, quindi, la quantità a quell'iterazione e lo pseudoflusso x ottenuto al termine dell'iterazione. Ad ogni iterazione, di conseguenza, x è intero, 1 e g x diminuisce almeno di un'unità. L'algoritmo termina, perciò, in un numero finito di iterazioni. Da quanto detto segue il Teorema 3: Per qualsiasi scelta dei costi degli archi, se le capacità degli archi ed i bilanci dei nodi sono interi, allora esiste almeno una soluzione ottima intera per il problema MCF. Lo sbilanciamento complessivo dello pseudoflusso x costruito dalla procedura inizializza è limitato superiormente da g= u ij b i c ij 0 b i 0. Il numero delle iterazioni non potrà eccedere g dato che g x diminuisce di almeno un'unità ad ogni iterazione. Inoltre, si vede chiaramente che tutte le operazioni effettuate durante una singola iterazione hanno complessità al più O n, esclusa l'invocazione della procedura trovacamminominimo. Se per tale procedura utilizziamo un algoritmo di costruzione dell'albero dei cammini minimi che ha complessità O mn, la complessità totale di camminiminimisuccessivi risulta essere O gmn.

12 Data l'istanza del problema sopra mostrata, descriviamo, con l'aiuto della prossima figura, il funzionamento dell'algoritmo basato su cammini minimi successivi. Tutti i costo sono non negativi, quindi la procedura inizializza costruisce uno pseudoflusso iniziale identicamente nullo. Mostriamo, per ogni iterazione, sulla sinistra il grafo residuo G x e a destra lo pseudoflusso ottenuto al termine dell'iterazione. Nel grafo residuo risulta evidenziato l'albero dei cammini minimi con i valori delle corrispondenti etichette e viene mostrato il valore del flusso inviato lungo il relativo cammino aumentante da 1 a 5. I valori del flusso e gli sbilanciamenti non visualizzati sono da considerare pari a zero. Al termine della quarta iterazione tutti i nodi hanno sbilanciamento nullo e la soluzione è, perciò, ottima.

13 4. Bibliografia R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, J. B. Orlin Network flows. Theory, algorithms and applications Prentice Hall 1993 M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, H. D. Sherali Linear programming and network flows Wiley 1990