Sono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza

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1 Il problema di flusso di costo minimo (MCF) Dati : grafo orientato G = ( N, A ) i N, deficit del nodo i : b i (i, j) A u ij, capacità superiore (max quantità di flusso che può transitare) c ij, costo di percorrenza Sono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza MF (massimo flusso) non vi sono costi di percorrenza (i, j) A : u ij, capacità superiore (0 < x ij < u ij )

2 Definizione di pseudoflusso Pseudoflusso : vettore x R m che soddisfa i vincoli di capacità degli archi 0 x ij u ij (i, j) A in qualche nodo i non soddisfa il vincolo di conservazione di flusso i N x ji x ( j,i ) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) ij b i Si definisce e i (x) = x ji x ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) ij b i e i (x) : sbilanciamento del nodo i rispetto allo pseudoflusso x (violazione del vincolo di conservazione di flusso al nodo i)

3 e ( x ) i = x ji x ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) ij b i = 0 : nodo bilanciato Quindi : se i è nodo di offerta (b i < 0), x ji bi = xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di trasferimento (b i = 0), x ji = xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di domanda (b i > 0), x ji = xij + ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) b i

4 e ( x ) i = x ji x ( j, i) BS () i ( i, j ) FS () i ij b i > 0 : nodo con eccedenza di flusso Quindi : se i è nodo di offerta (b i < 0), x ji bi > xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di trasferimento (b i = 0), x ji > xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di domanda (b i > 0), x ji > xij + ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) b i

5 e ( x ) i = x ji x ( j, i) BS () i ( i, j ) FS () i ij b i < 0 : nodo con difetto di flusso Quindi : se i è nodo di offerta (b i < 0), x ji bi < xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di trasferimento (b i = 0), x ji < xij ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) se i è nodo di domanda (b i > 0), x ji < xij + ( j, i) BS ( i) ( i, j ) FS ( i) b i

6 O x : insieme dei nodi con eccedenza di flusso O x = { i N : e i (x) > 0 } D x : insieme dei nodi con difetto di flusso D x = { i N : e i (x) < 0 } g(x) : sbilanciamento complessivo g ( x) = e = i ( x) e x i ( ) i O x i D x somma degli sbilanciamenti dei nodi con eccedenza di flusso (che coincide con la somma cambiata di segno degli sbilanciamenti dei nodi con difetto di flusso) e(x) R n : vettore degli sbilanciamenti ai nodi rispetto al pseudoflusso x

7 origini (b i < 0) : nodi 1 e 3 b i destinazioni (b i > 0) : nodi 4 e 6 2 nodi di trasferimento (b i = 0) : nodi 2 e 5 i u ij, c ij j b j 5 1 3, , 4 3, 1 2, 7 5, , , 1 4, 1 4, , 4 6 7

8 Pseudoflusso con sbilanciamento ai nodi : b i, e i i x ij j b j, e j 0 ( 5) 0 = 5 5, , = = 0 0, , = ( 5) 2 = 3 3 5, , = 5

9 È uno pseudoflusso, perché tutti i vincoli di capacità degli archi sono soddisfatti (0 x ij u ij ) Vincoli di conservazione di flusso : vi sono 2 nodi con eccedenza di flusso nodo 1: e 1 (x) = (0 0) ( 5) = 5 nodo 3: e 3 (x) = 2 ( 5) = 3 2 nodi con difetto di flusso nodo 4: e 4 (x) = 0 3 = 3 nodo 6: e 6 (x) = 2 7 = 5 2 nodi bilanciati: 2 e 5 Lo sbilanciamento complessivo dello pseudoflusso è g(x) = = 8

10 Flusso ammissibile x : oltre ai vincoli di nonnegatività e di capacità degli archi x ij soddisfa anche i vincoli di conservazione di flusso i N (tutti i nodi sono bilanciati) i e i (x) = 0 D x = O x = Un flusso ammissibile è caratterizzato da uno sbilanciamento complessivo nullo: x è flusso ammissibile se e solo se g(x) = 0

11 Utilizzati per l invio di quantità aggiuntive di flusso Sia P un cammino (anche non orientato) sul grafo G da un qualunque nodo s ad un qualunque nodo t Sia (P +, P ) la partizione degli archi di P in cui P + : insieme degli archi concordi del cammino P P : insieme degli archi discordi del cammino P Capacità del cammino P : Cammini aumentanti θ(p, x) = min { min{u ij x ij : (i, j) P + }, min{x ij : (i, j) P } } Il cammino P è detto aumentante se la sua capacità θ(p, x) è positiva.

12 Dato uno pseudoflusso x, l invio di una quantità di flusso 0 θ θ(p, x) lungo P è rappresentato dall operazione di composizione x(θ) = x θp dove x ij () θ x = x x + θ θ ( i, j) ( i, j) P P altrimenti per lo pseudoflusso x(θ) così ottenuto vale che e i ( x( θ) ) ij ij ij es = et ei ( x) ( x) ( x) se se θ + θ l invio di flusso lungo un cammino aumentante modifica solo lo sbilanciamento degli estremi del cammino ; lo sbilanciamento di tutti gli altri nodi è invariato +

13 Cicli aumentanti Utilizzati per costruire, a partire da un flusso ammissibile x, un diverso flusso ammissibile. Ciclo aumentante : cammino aumentante in cui s = t su esso il verso di percorrenza viene arbitrariamente fissato Capacità θ(c, x) del ciclo C : θ(c, x) = min { min{u ij x ij : (i, j) C + }, min{x ij : (i, j) C } } Il ciclo P èdetto aumentante se la sua capacità θ(c, x) è positiva.

14 Dato un flusso ammissibile x, l invio di una quantità di flusso 0 θ θ(c, x) lungo C è rappresentato dall operazione di composizione x(θ) = x θc dove x ij () θ x = x x ij ij ij + θ θ se se ( i, j) ( i, j) C C altrimenti + inviare flusso lungo un ciclo aumentante non modifica lo sbilanciamento di alcun nodo (restano tutti invariati, ossia nulli)

15 Denotando ora con P sia un cammino che un ciclo, definiamo il costo c(p) di P : è il costo di una unità di flusso inviata lungo P secondo il verso fissato c ( P) = + ( i, j ) P ( i, j ) c ij c se (i, j) è un arco diretto di P l unità di flusso viene sommata a quelle esistenti, sostenendo un costo aggiuntivo pari a c ij se (i, j) è un arco inverso di P l unità di flusso viene sottratta a quelle esistenti, sostenendo un costo aggiuntivo pari a c ij Costo dello pseudoflusso (flusso) ottenuto con l operazione di composizione P c T x(θ) = c T (x θp) = c T x + θ c(p) ij

16 Per determinare cammini e/o cicli aumentanti si usa il grafo residuo G x = (N, A x ) rispetto allo pseudoflusso x, dove A x {( i, j) ( i, j) A, x < u } U ( j,i) : ( i, j) { A, x 0} = ij ij ij : > un arco (i, j) non saturo e non scarico in G (0 < x ij < u ij ) è rappresentato in G x da una coppia di archi un arco (i, j) di capacità u ij x ij e costo c ij = c ij un arco (j, i) di capacità x ij e costo c ij = c ij un arco (i, j) scarico in G (x ij = 0) è rappresentato in G x da un arco (i, j) di capacità u ij e costo c ij = c ij un arco (i, j) saturo in G (x ij = u ij ) è rappresentato in G x da un arco (j, i) di capacità u ij e costo c ij = c ij

17 Vale infatti la seguente condizione necessaria e sufficiente: comunque fissati s e t, per ogni cammino aumentante da s a t rispetto ad x in G esiste uno ed un solo cammino orientato da s a t in G x, e i due cammini hanno lo stesso costo.

18 Flusso ammissibile ottimo e pseudoflussi minimali Un flusso ammissibile ottimo è definito come un flusso con vettore di sbilanciamento nullo (e(x) = 0 ) di minimo costo tra tutti i flussi con vettore di sbilanciamento e(x) = 0 Generalizziamo questa definizione al caso e(x) 0 introducendo il concetto di pseudoflusso minimale Definizione Si dice minimale uno pseudoflusso x di costo minimo tra tutti gli pseudoflussi con vettore di sbilanciamento e(x)

19 Caratterizzazione dei flussi ammissibili ottimi e degli pseudoflussi minimali Condizione necessaria e sufficiente di ottimalità di un flusso ammissibile Teorema Dato un flusso ammissibile x, la non-esistenza di cicli aumentanti rispetto a x di costo negativo è condizione necessaria e sufficiente per l ottimalità del flusso ammissibile x Condizione necessaria e sufficiente di minimalità di uno pseudoflusso Teorema Dato uno pseudoflusso x, la non-esistenza di cicli aumentanti rispetto a x di costo negativo è condizione necessaria e sufficiente per la minimalità dello pseudoflusso x

20 La dimostrazione della necessità è per assurdo. La dimostrazione della sufficienza è basata sul seguente teorema Teorema Dati due qualunque pseudoflussi x ed x, esistono k n + m cammini aumentanti (semplici) per x P 1,, P k di cui al più m sono cicli (aumentanti semplici), tali che x = x θ 1 P 1 θ k P k per opportuni k scalari 0 < θ i θ(p i, x ), i = 1,, k. Tutti i cammini aumentanti hanno come estremi nodi in cui lo sbilanciamento di x è diverso dallo sbilanciamento di x, per cui se x ed x hanno lo stesso vettore di sbilanciamenti, allora tutti i P i sono cicli.

21 Algoritmo basato su cammini minimi successivi (SSPT) Algoritmo Cammini-Minimi-Successivi : processo iterativo in ogni iterazione del quale all inizio si dispone di uno pseudoflusso minimale x (g(x) 0) si determina un cammino aumentante di costo minimo tra un nodo s O x ed un nodo t D x e, per un valore di θ θ(p, x) opportunamente scelto, si determina il nuovo pseudoflusso con l operazione di composizione x(θ)= x θp il nuovo pseudoflusso determinato è uno pseudoflusso minimale in forza del seguente teorema.

22 Teorema Siano x uno pseudoflusso minimale P un cammino aumentante rispetto a x di costo minimo tra tutti i cammini che uniscono un dato nodo s O x ad un dato nodo t D x Allora, comunque si scelga 0 < θ θ(p, x), lo pseudoflusso risultante dall operazione di composizione x(θ) = x θc è uno pseudoflusso minimale.

23 Terminazione dell algoritmo Cammini-Minimi-Successivi L algoritmo Cammini-Minimi-Successivi termina quando si verifica una delle due seguenti condizioni 1) lo sbilanciamento complessivo di x è nullo: x è un flusso ammissibile di costo minimo (ottimo) 2) non esiste alcun cammino aumentante tra qualsiasi nodo s O x e un nodo t D x : non esiste nessuna soluzione ammissibile per il problema di flusso di costo minimo

24 Nella fase di inizializzazione dell algoritmo si costruisce uno pseudoflusso x minimale (procedura Inizializza): se non esistono archi con costo negativo e capacità infinita, uno pseudoflusso x minimale si ottiene attribuendo ad ogni arco di G con costo nonnegativo un flusso nullo: se c ij 0 x ij = 0 ad ogni arco di G con costo negativo un flusso pari alla capacità: se c ij < 0 x ij = u ij Con questa scelta i costi degli archi in G x sono tutti nonnegativi, quindi non esistono cicli orientati in G x di costo negativo : in G perciò non esistono cicli aumentanti di costo negativo e lo pseudoflusso iniziale così costruito è minimale,

25 Infatti: nel grafo G esiste un ciclo aumentante di costo negativo rispetto a x se e solo se nel grafo residuo G x rispetto ad x esiste un ciclo orientato di costo negativo Ma un ciclo orientato di costo negativo non può esistere in G x perché in esso non vi sono, per costruzione, costi negativi: all arco (i, j) di G al quale, essendo c ij 0, è stato attribuito flusso nullo corrisponde in G x un unico arco (i, j), orientato come in G, con costo c ij = c ij, quindi nonnegativo all arco (i, j) di G al quale, essendo c ij < 0, è stato attribuito flusso x ij = u ij corrisponde in G x un unico arco (j, i) con costo c ji = c ij, quindi positivo

26 La procedura Trova-Cammino-Minimo deve fornire un cammino aumentante di costo minimo P da un qualsiasi nodo s O x ad un qualsiasi nodo t D x : risolvere su G x un problema di albero dei cammini minimi (SPT) con insieme di nodi radice O x Se O x > 1 : si aggiunge a G x un nodo radice r collegato a tutti i nodi in O x con archi a costo nullo (grafo ampliato G x ) e si risolve un problema SPT di radice r su G x Se O x = 1: si usa come radice l unico nodo in O x.

27 In generale: su un grafo contenente un ciclo negativo la procedura SPT non termina In particolare: quando applicata come passo interno di un algoritmo SSPT la procedura termina individuando un albero dei cammini minimi, perché essendo x minimale, non esistono in G x cicli negativi. Si possono utilizzare: algoritmo SPT.S: ad ogni iterazione si estrae da Q un elemento di etichetta minima Proprietà: su grafi con costi nonnegativi ogni nodo è inserito in (ed estratto da) Q al più una volta

28 algoritmo di Bellman: Q è una fila, ossia strategia FIFO: inserimento in coda - estrazione in testa Proprietà: anche in presenza di archi con costo negativo, purché in assenza di cicli di costo negativo, la strategia FIFO garantisce che ogni nodo sia inserito in Q al più n 1 volte

29 Calcolato l albero dei cammini minimi con un algoritmo SPT, si seleziona un qualsiasi nodo t D x e si esamina il valore della sua etichetta. d t = M : non esiste alcun cammino aumentante tra qualsiasi nodo s O x e t Trova-Cammino-Minimo restituisce falso Cammini-Minimi-Successivi restituisce caso = vuoto : il problema di flusso di costo minimo non ha soluzioni ammissibili d t < M : Trova-Cammino-Minimo restituisce vero il cammino aumentante P che unisce un nodo s O x al nodo t D x selezionato, la quantità di flusso θ che deve essere inviata lungo P { θ ( P, x), e s ( x) e ( x) } θ = min, t

30 Procedura Aumenta-Flusso: implementa l operazione di composizione se θ = e s (x): il nodo s risulterà bilanciato rispetto al nuovo flusso se θ = e t (x): il nodo t risulterà bilanciato rispetto al nuovo flusso se θ = θ(p, x): almeno un arco di P diviene saturo o vuoto Siccome l algoritmo usa sempre cammini aumentanti di costo minimo, ad ogni passo lo pseudoflusso x è minimale: quindi, se l algoritmo termina con g(x) = 0, allora x è un flusso ottimo. Proprietà di integralità della soluzione: se le capacità u ij degli archi ed i deficit b i dei nodi sono interi, allora per qualsiasi scelta dei costi c ij degli archi esiste almeno una soluzione ottima intera per il problema (MCF).

31 Procedure Cammini-Minimi-Successivi (G, c, b, u, x, caso): begin Inizializza(x) ; caso := ottimo ; while g(x) 0 and caso vuoto do if Trova-Cammino-Minimo(G x, O x, D x, P, θ) then Aumenta-Flusso(x, P, θ) else caso := vuoto end.

32 Algoritmo basato su cancellazione di cicli Dato un flusso ammissibile iniziale, si costruisce una sequenza di flussi ammissibili di costo decrescente. Ciascun flusso è ottenuto dal precedente ridirezionando mediante un ciclo aumentante C di costo negativo una quantità di flusso pari alla capacità θ(c, x) del ciclo rispetto al flusso ammissibile x : il nuovo flusso determinato è un flusso ammissibile di costo inferiore. L operazione di far circolare sugli archi di C un flusso pari a θ(c, x) (= saturare un ciclo aumentante C) è detta cancellazione del ciclo perché tale ciclo non è più aumentante per il flusso x(θ) ; Tale ciclo può però tornare ad essere aumentante per flussi generati successivamente. L algoritmo termina quando non esistono più cicli aumentanti di costo negativo: il flusso ammissibile corrente è di costo minimo.

33 Procedure Cancella-Cicli (G, c, b, u, x, caso) : begin if Flusso -Ammissibile(G, c, b, u, x) then begin while Trova-Ciclo (G, c, u, x, C, θ) do Cambia-Flusso (x, C, θ) ; caso := ottimo end else caso := vuoto end.

34 La procedura Flusso-Ammissibile determina, se esiste, un flusso ammissibile: in tal caso restituisce vero ed il flusso x, altrimenti restituisce falso. Tale procedura risolve un problema di flusso massimo con più sorgenti i S e pozzi i T aventi capacità finita u i, ossia una massima quantità di flusso che può essere immessa nella o prelevata dalla rete

35 Si utilizza un algoritmo per MF al grafo ampliato G = (N, A ) N = N {s, t} s e t sono la super-sorgente ed il super-pozzo A = A {(s, j) : j S} {(i, t) : i T} gli archi che collegano la super-sorgente ai nodi di S = {j : b j < 0} hanno capacità u sj = b j ; gli archi che collegano i nodi di T = {i : b i > 0} al super-pozzo hanno capacità u it = b i ; se il flusso massimo satura tutte le sorgenti (tutti gli archi (s, j)) e, di conseguenza, tutti i pozzi (tutti gli archi (i, t)), allora tale flusso è ammissibile per il problema del flusso di costo minimo; altrimenti non esistono flussi ammissibili

36 Dato un flusso ammissibile x, la procedura Trova-Ciclo determina, se esiste, un ciclo aumentante rispetto ad x di costo negativo: in questo caso restituisce vero ed il ciclo individuato C, con il suo verso e la sua capacità θ = θ(c, x), altrimenti restituisce falso. È dimostrato che il problema di determinare un ciclo aumentante di costo negativo in G rispetto ad x è equivalente al problema di determinare un ciclo orientato e di costo negativo in G x. Il problema diventa: come determinare un ciclo orientato e di costo negativo in G x?

37 Si risolve un problema di determinare su G x l albero dei cammini minimi con insieme di radici R = N : si considera, cioè, il grafo residuo ampliato, ottenuto aggiungendo una radice fittizia r e un arco (r, j) di costo c rj = 0 per ogni nodo j N. Con l algoritmo SPT.L in cui Q è implementato come una fila, si determina, in assenza di cicli negativi, un albero dei cammini minimi: in questo caso si ha la prova che il flusso è ottimo. Ma, in assenza di cicli negativi, un nodo non può essere esaminato (estratto da Q) più di n 1 volte; si conta, allora, il numero di estrazioni da Q di ciascun nodo: appena un nodo viene estratto per l n-esima volta, si può affermare che quel nodo appartiene ad un ciclo negativo. Il ciclo può poi essere individuato percorrendolo all indietro, a partire dal nodo trovato, per mezzo della funzione predecessore p[ ].

38 Una volta determinato il ciclo C ed il valore θ, la procedura Cambia-Flusso costruisce il nuovo flusso x(θ) = x θc. L algoritmo basato sulla cancellazione di cicli è un algoritmo di ricerca locale: l intorno di x è dato da tutti i flussi ottenibili da x inviando flusso lungo un ciclo aumentante semplice.