2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

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1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione daremo una caratterizzazione delle funzioni di scelta sociale implementabili in maniera compatibile agli incentivi. Considereremo inoltre la classe dei domini one-parameter e proveremo che per questa classe la condizione WMON è sufficiente a garantire l implementabilità della funzione di scelta sociale. 1 Introduzione In questa lezione faremo vedere che il problema dell implementabilità di una funzione di scelta sociale può essere ridotto al problema del calcolo di percorsi minimi su un insieme di grafi costruiti a partire dalla funzione di scelta sociale e dei domini dei singoli giocatori. 2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Proviamo a descrivere il problema dello shortest path in un grafo in termini di un problema di network flow. Definition 1 (Shortest Path) Sia G = (V, E) un grafo diretto con peso sugli archi c ij vogliamo determinare il cammino minimo che collega due vertici del grafo s e t V. Siano x ij la quantità di flusso passante sull arco orientato (i, j) e b i la quantità di flusso richiesta dal nodo i, valgono le seguenti equazioni di conservazione del flusso: per il vertice sorgente e(j,s) E x js e(s,j) E x sj = b s per il vertice destinazione x jt e(j,t) E e(t,j) E x tj = b d = b s vertice i con i s e i t e(j,t) E x jt e(t,j) E x tj = 0 (i, j) E, 0 x ij 1 1

2 2 Lecture 20: Cycle Monotonicity Tali equazioni possono essere riscritte in forma matriciale come N x = b 0 x 1 dove la matrice N ha una colonna per ogni arco (i, j) E e una riga per ogni nodo i V. La colonna (i, j) ha 0 per tutte le righe k i, j; -1 nella riga i; 1 nella riga j. nodi (i,2)... (i,j)... (n-1,n) i j n Poichè ogni colonna ha solo due elementi non nulli e opposti tra loro, sommando tutte le le righe abbiamo che b i = 0 = b s = b t i Notiamo che ogni equazione del sistema è ricavabile dalle altre e quindi una delle equazioni pu o essere eliminata. Se ad ogni flusso associamo un costo, possiamo definire il problema dello shortest path come il problema di determinare il miglior flusso ammissibile rispetto a tale costo. In particolare, lo shortest path è riscrivibile come problema di programmazione lineare min ij c ij x ij N x = b s,t 0 x 1 dove b s,t è un vettore con tutti gli elementi nulli tranne gli elementi in posizione s e t che avranno valori rispettivamente uguali a -1 e 1. Poichè tutti i coefficienti c s,t e b i sono interi, allora ogni vertice del politopo definito dal problema è intero e definisce un percorso. Il nostro problema è, quindi, riconducibile al problema di trovare il vertice ottimale del politopo. D altra parte, ogni flusso ammissibile può essere decomposto in flussi indipendenti su percorsi e cicli. Se esistesse un ciclo negativo nel grafo allora non sarebbe possibile definire lo shortest path. Theorem 2 Dato un grafo G = (V, E) con sorgente s e destinazione t, esiste uno shortest path s t se e solo se non esistono cicli negativi in G.

3 Lecture 20: Cycle Monotonicity 3 Consideriamo il duale del problema dello shortest path max y t y s y N C Questo problema ha un vincolo per ogni arco del grafo del tipo y i y j c ij con (i, j) E. Dato che uno dei vincoli del problema duale è ridondante, possiamo azzerare una delle y i (ad esempio y s = 0) e il nostro problema diventa max y t y N C Possiamo usare questo problema duale per verificare l ammissibilità dell insieme di disequazioni del sistema lineare dello shortest path: dati V = (1,..., n) un insieme di archi del grafo E = {(i, j) : i, j V } una funzione di peso sugli archi w : E R costruiamo la rete (V, E) dove w ij è il peso dell arco (i, j) Esiste un x = (x 1... x n ) che soddisfa questi vincoli se e solo se la rete associata non contiene cicli negativi. Una possibile soluzione è data prendendo un arbitrario nodo s e calcolando lo shortes path da questo nodo a tutti gli altri(x j = lunghi shortest path da s a j). Consideriamo la funzione di scelta sociale f : T 1 T 2... T n A p i : T 1 T 2... T n R la f è implementabile con strategia dominante se e solo se i, t i v i (f(t, t i ), t) p i (t, t i ) v i (f(s, t i ), t) p i (s, t i ) p i (t, t i ) p i (s, t i ) v i (f(t, t i ), t) v i (f(s, t i ), t) Fissati i e t i costruiamo il grafo T g (V, E) dove l insieme di vertici è V = T i l insieme degli archi E = T i T i il peso dell arco orientato (s, t) E è w i = v i (f(t, t i), t) v i (f(s, t i, t)) Dai risultati precedenti sappiamo che le equazioni del sistema lineare ammettono soluzioni se e solo se il grafo T g non ha cicli negativi e le p i che soddisfano le equazioni possono essere trovate calcolando gli shortest path a partire da un nodo arbitrario. Theorem 3 (Teorema di Rochet) Il grafo T g ha un nodo per ogni tipo e tipicamente T i è finito. Possiamo costruirci un grafo T g (V, E) dove V = A che contiene un nodo per ogni outcome; per l esattezza, dato V = {a A t T i e f(t, t i ) = a} definiamo a V il valore R a = {t T i f(t, t i ) = a} e per ogni arco (a, b) E il peso dell arco medesimo sarà w ab = inf S R b {v i (b, s) v i (a, s)}

4 4 Lecture 20: Cycle Monotonicity Dal teorema di Rochet possiamo concludere che la funzione di scelta sociale può essere implementata in strategia dominante se e solo se il grafo T g non ha cicli di lunghezza negativa. La condizione WMON sul grafo T g implica che non esistono due cicli di lunghezza negativa: Cicle monotonicity W M ON W MON Cicle monotonicity Nel caso di domini convessi un ciclo negativo 2 cicli negativi e quindi WMON è una condizione sufficiente a gatantire l implementabilità in strategie dominanti. Nella prima parte della lezione abbiamo fornito una caratterizzazione delle funzioni di scelta sociale implementabili. Questa proprietà, però, è scarsamente utilizzabile perchè richiede di verificare l esistenza di cicli di lunghezza negativa in tutti i grafi definiti dai possibili tipi degli altri giocatori. Sarebbe molto utile capire quali sono le funzioni di scelta sociale che soddisfano Cycle Monotonicity. Un teorema fondamentale del Mechanism Design afferma che se il dominio dei giocatori non è ristretto le uniche f implementabili sono i massimizzatori affini f(v 1... v n ) = arg max a A {c a + i w i v i (a)} per A A, w 1... w n R + e a A, c a R + Theorem 4 (Teorema di Roberts) Se A 3 e f : V 1... V n A con V i R A, allora M = (f, p 1... p n ) è compatibile agli incentivi se e solo se è massimizzatore affine p i (v 1... v n ) = H i (v i ) i j w j w i v j (a) c a w i Nel seguito faremo vedere che per alcune classi di funzioni la proprietà di Cycle Monotonicity si riduce ad una semplice proprietà di monotonia che è facilemtente verificabile. 3 Single Parameter Abbiamo visto che nell interazione tra agenti e meccanismo ogni agente dovrebbe fornire al meccanismo il proprio vettore di valutazioni, contenente la propria valutazione per ogni possibile outcome del meccanismo. Molto spesso, però, il vettore delle valutazioni dipende da un certo numero di informazioni, private all agente e che abbiamo chiamato suo tipo. Noto il i tipo, il meccanismo può costruirsi autonomamente il vettore delle valutazioni dell agente. E quindi sufficiente che l agente comunichi al meccanismo il proprio tipo. Scopriremo che la dimensione del tipo degli agenti ha una grossa importanza sulla nostra capacità di costruire meccanismi compatibili agli incentivi. Nel seguito considereremo la classe dei problemi più semplici, in cui l intero vettore di valutazione può essere costrutio a partire da un unico valore segreto. I problemi che soddisfano questa caratteristica sono detti Single Parameter e per essi siamo in grado di riscrivere la proprietà di cycle monotonicity in termini molto più gestibili. Formalmente, diciamo che V i è uno spazio ad una sola dimensione, ossia V i R, se esiste un solo valore privato t i T i che determina l intero vettore delle valutazioni v i. Per esempio, nelle aste c è un valore soglia al di sotto del quale si perde (valutazione 0) e al di sopra si vince (valutazione positiva uguale per tutte le soluzioni vincenti).

5 Lecture 20: Cycle Monotonicity 5 Definition 5 Un dominio Single Parameter V i, definito da W i A (outcome vincenti - pubblici) [t min, t max ], è l insieme delle funzioni { vi (a) = t a W i 0 altrimenti Una funzione di scelta sociale su un dominio Single Parameter è monotana in v i se v i, v i v i vale che f(v i, v i ) W i = f(v i, v i ) W i Il valore critico di i rispetto a f e v i è il più piccolo valore che consente ad i di vincere. Se assumiamo di pagare 0 in caso di mancata vittoria c i (v i ) = sup v i : f(v i,v i )/ W i v i Theorem 6 Un meccanismo normalizzato (f, p 1... p n ) in un dominio single parameter è compatibile agli incentivi se e slolo se f è monotona rispetto a ogni v i ogni agente, in caso di vittoria, paga il proprio valore critico Proof. Fissiamo i, v i e la dichiarazione b i. Allora µ i (b i ) = { vi c i (v i ) se b i vince 0 altrimenti Perciò, l agente i preferisce vincere solo se v i > c i (v i ) che è esattamente quello che succede se dice la verità. Supponiamo che (f, p 1... p n ) è compatibile agli incentivi ma f non è monotona rispetto a v i = v i > v i tale che f(v i, v i ) = vince e f(v i, v i) = perde. Siccome il meccanismo è compatibile agli incentivi, l utilità ottenuta dichiarando v i deve essere non minore di quella ottenibile dichiarando v i v i p i (v i, v i ) 0 D altra parte ad un giocatore con valutazione v i non deve convenire dichiarare v i e vincere, cioè v i p i (v i, v i ) 0 ma poichè v i > v i abbiamo una contraddizione. Supponiamo ora che v i è vincente ma p i (v i, v i ) > c i (v i ). Poichè il pagamento di un meccanismo compatibile agli incentivi deve essere indipendente dalla dichiarazione dell agente, per ogni altra dichiarazione vincente avremo lo stesso pagamento. In particolare per v i tale che c i (v i ) < v i < p i (v i, v i) avremo che v i vince e paga p i (v i, v i) = µ i (v i ) = v i p < 0: all agente i conviene mentire e dichiarare un valore perdente in modo da ottenere utilità 0. Analogamente, se v i paga p < c i (v i ) allora per p < v i < c i (v i ) all agente i con valutazione v i conviene mentire, vincere e ottenere un utilità positiva.

6 6 Lecture 20: Cycle Monotonicity Abbiamo visto come sia possibile caratterizzare le funzioni di scelta sociale che sono compatibili agli incentivi; come fare a calcolare i corrispondenti pagamenti? E possibile verificare che esiste un metodo unico per calcolare i pagamenti (a meno di costanti). Infatti, se p i è compatibile agli incentivi, allora lo è anche p i (v 1... v n ) = p i (v 1... v n ) + h i (v i ). Theorem 7 Se tutti i V i sono convessi nella metrica dello spazio Euclideo allora (f, p 1... p n ) è compatibile agli incentivi se e solo se lo è anche (f, p 1... p n) con p i(v 1... v n ) = p i (v 1... v n ) + h i (v i ) Questi pagamenti possono essere calcolati con l algortimo di Rochet, calcolando i cammini minimi su grafo corrispondente.