ALFABETIZZAZIONE INFORMATICA

Transcript

1 Laurea in ilosofia a.a LTIZZZION INORMTI Ogni problema che ho risolto è diventato una regola che in seguito è servita a risolvere altri problemi. (René escartes, artesio iscorso sul metodo ) iorgio Poletti giorgio.poletti@unife.it

2 Tipi fondamentali Ogni arco 00 ha una direzione Notazione di rafo: (N,) con N insieme dei nodi e insieme degli archi che li connettono oda dell arco Testa dell arco rafo orientato (o digrafo, grafo diretto) rafo semplice (nessun arco orientato)

3 Percorso, ammino e iclo Percorso, sequenza di n nodi e m archi che li uniscono (nodi anche non distinti), lunghezza N ammino, percorso con nodi distinti iclo (o circuito), cammino chiuso, coincidoni il primo e l ultimo nodo

4 La connessione Un rafo si dice connesso se esiste un cammino tra ogni sua coppia di nodi Nodo isolato (grado 0) Snodo o Ponte (eliminato rende il grafo non connesso)

5 Tipi di rafi Multigrafo H Multidigrafo, grafo costituito da nodi e archi tra nodi, archi tra due node che a loro volta possono avere più archi distinti, e un nodo può possedere più cappi. Se gli archi sono orientati si parla di multidigrafi. H Multidigrafo

6 Tipi di rafi I 3 I I 2 I 5 I 8 I 7 I 6 rafo ibartito, grafo non orientato tale per cui è possibile dividere l insieme dei nodi che lo compongono in due insiemi separati e tali per cui il nodo di un insieme è connesso solo a nodi dell altro insieme I I 2 I 5 I 6 I 4 I 9 I 7 I 8 rafo ibartito ompleto se preso un nodo nel primo insieme e uno nel secondo c è un arco che li unisce I 9

7 rafi bipartiti come modelli di problemi I M rafo ibartito, schematizza problemi di accoppiamento o matching I 3 I 2 M 4 M 2 M 3 lassicamente un problema di persone e mansioni, necessità di assegnare una o più mansioni a una o più persone I 4 M 5 quivale ad avere un insieme P di persone e un insieme M di mansioni, non tutte le persone sono in grado di svolgere tutte le mansioni ma tutte le mansioni devono essere svolte

8 Tipi di rafi rafo Planare Un rafo si dice completo se è semplice, e presa una qualsiasi coppia di nodi esiste un arco che li unisce. Internet H Un rafo si dice planare, quando si può disegnare su un piano senza che gli archi si intersechino rafo Non Planare rafo ompleto rafo ompleto con N nodi è regolare di grado N-

9 sempi di grafo completo e regolare e bipartito completo e regolare Il grafo completo,k n, è un grafo regolare di grado n- rafo ompleto con 3 nodi e regolare di grado 2 (2 archi incidenti su ogni nodo). K 3 rafo ipartito e ompleto con 3+3 nodi.

10 sempi di grafo bipartito completo e regolare rafo ipartito e ompleto con 3+3 nodi. Notazione K 3,3 rafi di Kuratowski Kazimierz Kuratowski, matematico polacco

11 Problema le tre case e le tre forniture 00 Si 000 possono 00 collegare 0 tre case 000 a tre 000 fornitori 0 senza che strade,tubature o cavi che le connettono si incrocino? Qual è il numero minimo di incroci che si devono fare? Schema del problema Schema di possibile soluzione Il Teorema di Kuratowski ci permette di dichiarare l impossibilità di generare 0 incroci e indicare è il numero minimo di essi.

12 rafi e proto-problemi Il problema dei ponti di Königsberg Il problema del commesso viaggiatore Il problema delle tre case e delle tre forniture Il problema dei quattro colori

13 Problema del ommesso Viaggiatore Problema del ommesso Viaggiatore TSP (Traveling Salesman Problem) ata ata una una rete rete di di città, città, connesse connessetramite strade, strade, trovare trovare il il percorso percorso di di minore minore distanza distanza che che un un commesso commesso viaggiatore viaggiatore deve deve seguire seguire per per visitare visitare tutte tutte le le città cittàuna una e e una una sola sola volta. volta. problema di Informatica Teoria della omplessità Studio della complessità descrittiva degli algoritmi in maniera indipendente dalla risorse computazionali che richiedono per essere eseguiti. In termini topologici o di grafo ato ato un un grafo grafo completo, completo, pesato, pesato, trovare trovare il il ciclo ciclo hamiltoniano hamiltonianopiù più economico economico (con (con peso peso minore) minore) Problemi logistici, robotica ed elettronica..

14 Problema del ommesso Viaggiatore 5 rafo completo con n nodi K n K 4 ammino hamiltoniano Pesato ammino, in un grafo semplice che passa (visita) una ed una sola volta ogni nodo. Se primo e ultimo nodo coincidono iclo hamiltoniano ammino hamiltoniano

15 Problema del ommesso Viaggiatore William Rowan Hamilton, scienziato irlandese, inventò il gioco da tavola detto puzzle di hamilton (o icosian game) Scopo dell icosian game: trovare un cammino hamiltoniano tra i vertici di un dodecaedro. Rappresentazione su un piano di un dodecaedro Il teorema di irac definisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un grafo con n vertici sia hamiltoniano: il grado di ogni vertice (cioè il numero di spigoli adiacenti) deve essere maggiore o uguale a n / 2.

16 Problemi di ammino Minimo (SP - Shortest Path) 00 ato ato un un grafo grafo pesato pesato qual qual èèil il cammino cammino che che unisce unisce 22 nodi nodi (vertici) (vertici) dati dati che che èèminimo minimo rispetto rispetto al al valore valore della della somma somma dei dei costi costi (pesi) (pesi) associati associati a a ciascun ciascun arco? arco? algoritmo di tracciamento (di rotta) o Una soluzione del problema si dice pathing algorithm Nel campo delle telecomunicazioni, a volte viene detto min-delay path problem. Un algoritmo possibile per la soluzione: ioco dei 6 gradi di separazione introdotto dallo scrittore lgoritmo di ijkstra (per cammini con una sola sorgente e valori 0 o positivi degli archi) ungherese rigyes Karinthy in atene, un racconto breve del 929. sempio: Query solver di shortest path sulla Wikipedia inglese