Prof. Giorgio Poletti

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1 Prof. Giorgio Poletti

2 «I computer danno esattamente quello che gli è stato immesso; se futilità immettiamo, futilità otterremo, ma gli uomini non sono molto diversi.» Richard Bandlerer

3 DATO: [ ] ciò che è immediatamente presente alla conoscenza, prima di ogni forma di elaborazione: dato della sensazione; dato sperimentali, i risultati di una determinata esperienza scientifica; dati di un problema, i valori noti [ ] (Vocabolario on line treccani.it) INFORMAZIONE: dal latino informatio onis «nozione, idea, RAPPRESENTAZIONE» [ ] Nel linguaggio scientifico, in senso ampio, il contenuto di novità e d imprevedibilità di un messaggio intercorrente fra sistemi in relazione;[ ] (Vocabolario on line treccani.it)

4 GRAFO: struttura relazionale composta da un insieme finito di oggetti (un insieme finito di punti) detti NODI(o vertici) e da un insieme di relazioni (geometricamente segmenti di retta o di curva) tra coppie di oggetti detti ARCHI(o spigoli)., B Nodo A D C 5 Arco

5 EULERO E IL PROBLEMA DEI PONTI DI KÖNISBERG se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza risolve il problema nel 76 Leonhard Euler Mappa di Königsbergai tempi di Eulero, e la disposizione dei ponti sul fiume Pregel (immagine tratta da Wikipedia) Teorema di Eulero «Condizione necessaria e sufficiente affinché un grafo sia percorribile completamente partendo da un nodo e ritornandovi passando una volta solamente per ciascun arco é che esista un percorso fra ogni coppia di nodi e che ogni nodo sia toccato da un numero pari di archi.»

6 A A C D C D B D Processo logico della soluzione del problema Analisi e studio topologico del grafo costruito

7 Arco Relazione tra nodi CODA(arco di partenza) predecessore TESTA(arco di arrivo) successore Nodo i Nodo j Coppia ordinata (arco orientato) arco orientato (i,j) Coppia non ordinata (arco NON orientato) Nodo i arco NON orientato (i,j) Nodo j

8 GRAFO SEMPLICE NON ORIENTATO ORIENTATO MULTIGRAFO

9 5 7 NODI ADIACENTI NODI ISOLATI ARCHI ADIACENTI CATENA(CAMMINO NON ORIENTATO) CAMMINO (testa di ogni arco coincide con la coda del successivo)

10 GRAFO NON ORIENTATO GRAFO ORIENTATO a a a a a 5 a CAMMINO SEMPLICE «non passa mai volte per lo stesso arco» (a,a, a, a, a 5 ) a CAMMINO: sequenza di archi adiacenti (a,a,a ) Un cammino in cui nodo di arrivo e nodo di partenza coincidono si dice CICLO a CAMMINO ELEMENTARE «non passa mai volte per lo stesso nodo» (a,a, a ) a a a a 5 a

11 GRAFO NON ORIENTATO GRAFO ORIENTATO a a a 5 a ESISTE UN CAMMINO TRAOGNICOPPIA DI NODI GRAFO FORTEMENTE CONNESSO a a a a 5 a a GRAFO CONNESSO GRAFO DEBOLMENTE CONNESSO a a a

12 GRAFOCOMPLETO ( arco per ogni coppia di nodi) a a a 5 a a a 6 GRADO DIUNNODOOCARDINALITÀ (archi che incidono sul nodo) Nodo : grado GRAFO con tutti i nodi di uguale cardinalità (k): Grafo regolare, k-regolare k=: grafo cubico

13 DISTANZATRA NODI, :minimo numero di archi tra i nodi i e j. d(,) = (a,a ) DIAMETRO DIUNGRAFOD, max i,j d i,j : massima distanza tra nodi del grafo d(,) = d(,) = (a ) d(,) = d(,) = (a 5 ) d(,) = d(,) = (a ) d(,) = d(,) = (a ) d(,) = d(,) = (a, a ) d(,) = d(,) = (a ) a a a a 5 a, D, max i,j d i,j Per ogni nodo iraggio:r max d i,j (maxdistanza tra il nodo ie tutti gli altri nodi j) d(,) = (a ) ; d(,) = (a ) d(,) = (a,a ) R max d i,j PEROGNI NODO K PERCUI: min k CENTRO DELGRAFO

14 In un GRAFOo un MULTIGRAFO, un ciclo che passa esattamente una volta per ogni arco è detto CICLO EULERIANO; ogni grafo che ammette un CICLO EULERIANO è detto GRAFO EULERIANO. a a (Ciclo euleriano: a a a a ) a a Teorema di Eulero «Condizione necessaria e sufficiente affinché un grafo sia percorribile completamente partendo da un nodo e ritornandovi passando una volta solamente per ciascun arco é che esista un percorso fra ogni coppia di nodi e che ogni nodo sia toccato da un numero pari di archi.»

15 In un GRAFOo un MULTIGRAFO, un ciclo che passa esattamente una volta per ogni nodo è detto CICLO HAMILTONIANO; ogni grafo che ammette un CICLO HAMILTONIANO è detto GRAFO HAMILTONIANO a a a 5 a 8 a a 7 a 5 a 6 (Ciclo hamiltoniano: a a a 5 a a 7 a 5 5 a 8 a 6 )

16 GRAFO NON ORIENTATO 5 FORESTA 6 7 SENZA CICLI ALBERO CONNESSO 6 7 5

17 ALBERO NODI DIGRADO: foglie TUTTI I NODICONGRADO<=: albero binario TUTTI I NODICONGRADO<= EUNOSOLO DIGRADO : albero bilanciato RADICE SI DEFINISCE UN NODO RADICE NODO DI LIVELLO R LIVELLO DIUNNODO: NUMERO DIARCHI NECESSARI PER ARRIVARE ALLA RADICE 5 FOGLIE 6

18 PLANARE GRAFO COMPLETO NON PLANARE Gli archi stanno tutti su un piano e non si intersecano Per ogni coppia di nodi c è un arco Non è possibile disegnare tutti archi su un piano che non si intersecano

19 GRAFO COMPLETO BIPARTITO PLANARE BIPARTITO NON PLANARE Per ogni coppia di nodi c è un arco