Alcuni Preliminari. Prodotto Cartesiano

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1 Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B, si definisce il loro prodotto cartesiano A x B come l insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a A e b B. Es: dati A= {a,b,c} e B={1,2,3} A x B = {(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2),(a,3),(b,3),(c,3) } Relazioni Una relazione binaria R su due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB costituito da coppie ordinate (a,b) con a A e b B Es: { (a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(b,3) } è una relazione binaria su {a,b,c} {1,2,3} In modo analogo si definiscono le relazioni unarie, ternarie, n-arie

2 Relazioni L insieme di tutti gli oggetti x tali che (x,y) R per qualche y costituisce il dominio di R e viene indicato con dom (R). L insieme di tutti gli oggetti y tali che (x,y) R per qualche x costutuisce il codominio di R e viene indicato con codom (R). L unione del dominio e del codominio costituisce l Estensione E di una relazione ed è rappresentata da: E (R) = dom (R) codom (R) Es: dato il prodotto cartesiano A x B = {(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2),(a,3),(b,3),(c,3) } La relazione R ={ (a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(b,3) } ha per estensione: { a, b,1,2 }

3 Funzione Una funzione da A a B è una relazione binaria R su A e B con la seguente proprietà: per ciascun elemento a A esiste una sola coppia ordinata in R avente a come prima componente. Es: C= insieme di città italiane, S= insieme delle regioni R 1 = {(x,y) : x C, y S, e x è una città della regione y } R 2 = {(x,y) : x S, y C, e y è una città della regione x } R 1 è una funzione in quanto una città può far parte solo di una unica regione R 2 non è una funzione in quanto una regione può avere più città Una funzione viene indicata con f: A B In cui A rappresenta il dominio e B rappresenta il codominio

4 Proprietà delle relazioni Data una relazione binaria R su un insieme A (dominio) diciamo che: R è riflessiva se (a,a) R per ogni a A R è irriflessiva se (a,a) R per ogni a A R è simmetrica se per ogni (a,b) R si ha (b,a) R R è asimmetrica se (a,b) R implica (b,a) R R è antisimmetrica se (a,b) R e (b,a) R implica a = b oppure se (a,b) R e a e b sono distinti allora (b,a) R oppure se a e b sono distinti o (a,b) R o (b,a) R R è transitiva se (a,b) R e (b,c) R comporta che (a,c) R

5 Esempi Essere sposati con sull insieme delle persone Non riflessiva Simmetrica Non transitiva Essere padre di sull insieme delle persone Non riflessiva Non Simmetrica (Asimmetrica) Non transitiva Essere avo di sull insieme delle persone Essere fratello maschio di sull insieme delle persone Non riflessiva Non Simmetrica (Asimmetrica) Transitiva Non riflessiva Non Simmetrica Transitiva

6 Rappresentazione di relazioni Alcuni Preliminari Le relazioni n-arie vengono in genere visualizzate tramite tabelle a n colonne. Se la relazione R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A 1 A 2,, A n, la colonna i-esima della tabella che la rappresenta conterrà gli elementi dell insieme A i che fanno parte di n-ple per cui la relazione vale. Esempio La seguente tabella rappresenta una parte di una relazione quaternaria che associa ad un certo insieme di persone la città, l anno di nascita e la città di residenza. Rossi Firenze 1980 Roma Bianchi Livorno 1975 Livorno Neri Siena 1976 Firenze

7 Rappresentazione di relazioni binarie Alcuni Preliminari Una relazione binaria può essere rappresentata mediante una matrice booleana a valori in {0,1}. Se A= {a 1, a 2,, a n } e B = {b 1, b 2,, a m } sono due insiemi finiti rispettivamente di cardinalità n e d m. Una relazione R A B può essere rappresentata tramite una matrice booleana M R di n righe e di m colonne (che corrispondono rispettivamente agli n elementi di A e agli m elementi di B) avente gli elementi così definiti: m ij = 1 0 sse (a i, b j ) R altrimenti Se una relazione binaria G è definita su un insieme V: G V V la relazione binaria può essere rappresentata mediante un grafo orientato (detto anche grafo diretto o digrafo). Gli elementi di V sono detti vertici o nodi del grafo e gli elementi di G sono detti archi.

8 Esempio Si consideri un insieme di vertici V= {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6,} ed una relazione binaria G V V data da: {(v 1, v 1 ), (v 1, v 2 ), (v 1, v 3 ), (v 2, v 1 ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 5 ), (v 5, v 6 ), (v 6, v 6 )} v 1 v 1 v 1 v v 2 v v 4 v 4 v v 5 v 5 v 6 v 6 v 6 v 1 v 2 v 6 v 3 v 5 v 4 Tabella Matrice booleana Digrafo

9 A C B A C Δ= {(a,a) a A} ovvero Δ è la relazione di eguaglianza su A, Δ è riflessiva poiché (a,a) Δ per ciascun a A B Amico-di simmetrica ma non riflessiva Relazione binaria Definita sui numeri naturali Antisimmetrica, riflessiva, Transitiva

10 simmetrica simmetrica Antisimmetrica+ non asimmetrica Antisimmetrica + non asimmetrica Antisimmetrica + asimmetrica

11 Relazione di Equivalenza Alcuni Preliminari Una Relazione R che sia riflessiva,simmetrica e transitiva è detta una relazione di equivalenza. Una relazione di equivalenza è rappresentabile da un grafo non diretto costituito da un insieme di cluster in cui ciascuna coppia di nodi è connesso da una linea. Data una relazione di equivalenza R su un insieme A, la classe di equivalenza di un elemento a A indicata con [a] è definita come [a] = {b (a, b) R } Teorema: Dato un insieme A non vuoto, le classi di equivalenza su A costituiscono una partizione di A. Definizione - Data una relazione di equivalenza R in A, la partizione che essa determina si dice insieme quoziente di A rispetto a R, e si indica con A/R oppure A R Es: La relazione x R y sui naturali definita come x R y sse (x mod n)= (y mod n) è una relazione di equivalenza. Nel caso n = 5, le classi di equivalenza sono [0], [1], [2], [3], [4], mentre l insieme quoziente è {[0], [1], [2], [3], [4]} indicato talvolta con Ν 5

12 Preordine: Relazione binaria R su un insieme A che sia contemporaneamente riflessiva e transitiva Ordine parziale: Relazione binaria con proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva Es: Se P è l insieme delle persone {(a,b): a,b P e a è antenato-di b} È una relazione di ordine parziale (se si considera una persona antenato si se stesso) Ordine Totale: è un ordinamento parziale in cui o (a,b) R oppure (b,a) R Es: la relazione sui numeri è un ordine totale.

13 Chiusure Sia R una relazione su un insieme A. Si chiama chiusura di R la più piccola relazione R 1 contenente R. Chiusura riflessiva Sia R è una relazione non riflessiva, ovvero alcune coppie della diagonale Δ non sono in R. Si definisce chiusura riflessiva di R la relazione data da R 1 = R Δ. [se si rappresenta la relazione come un grafo ciò equivale a creare un arco su se stesso per ogni vertice] Chiusura simmetrica Sia R una relazione non simmetrica, ovvero per alcune coppie (x,y) R si ha che (y,x) R. Ovviamente (y,x) R -1, in cui R -1 rappresenta l inversa della relazione R ovvero: b R -1 a sse a R b Si definisce chiusura simmetrica la relazione data da R 1 = R R -1 [se si rappresenta la relazione come un grafo ciò equivale a togliere l orientamento dagli archi]