RELAZIONI TRA INSIEMI

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1 Volume 1 - Complemento 1 RELAZIONI TRA INSIEMI RELAZIONI TRA INSIEMI Le relazioni binarie Tra gli elementi di due insiemi o, come caso particolare, di uno stesso insieme, possono sussistere delle relazioni che legano un elemento a un altro secondo prestabilite regole. Consideriamo ad esempio gli insiemi: il cui prodotto cartesiano è dato da: A ¼ f2, 6, 10g e B ¼ f1, 3, 5g A B ¼ fð2; 1Þ, ð2;3þ, ð2;5þ, ð6;1þ, ð6;3þ, ð6;5þ, ð10; 1Þ, ð10; 3Þ, ð10; 5Þg e la proposizione: «x è il doppio di y» con xpa e ypb. Tale proposizione viene generalmente indicata con px; ð yþ. Sostituendo al posto di x e y gli elementi delle coppie ordinate dell insieme del prodotto cartesiano A B, otteniamo delle proposizioni che possono essere o vere o false. Osserviamo che fra le coppie ordinate dell insieme A B solo alcune rendono vera la proposizione. Queste sono le coppie ordinate (2; 1), (6; 3), (10; 5). Diamo ora la seguente definizione: Diciamo che tra gli elementi di due insiemi non vuoti A e B è definita una relazione < quando è data una proposizione px; ð yþ tale che presi due elementi qualsiasi xpa e ypb è valida una e una soltanto delle due affermazioni: n la coppia ordinata (x; yþ rende vera la proposizione px; ð yþ; n la coppia ordinata (x; yþ non rende vera la proposizione px; ð yþ. Se, in particolare, i due insiemi tra i quali sussiste la relazione sono coincidenti, la relazione è detta relazione interna in un insieme. Una relazione viene detta anche corrispondenza. esempi 1 Dati i due insiemi: A ¼ f3, 4, 10, 12g e B ¼ f2, 5, 6g elarelazione«x è multiplo di y»conxpa e y PB, ilprodottocartesiano A B è costituito da 12 coppie (x; y ). Di queste solo 5 soddisfano la relazione data, cioè: (4; 2), (10; 2), (10; 5), (12; 2), (12; 6).

2 2 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi Simbolo di relazione Quando una coppia (x; y) di elementi di due insiemi (o, come caso particolare, di uno stesso insieme) rende vera la proposizione px; ð yþ, scriviamo in simboli: x<y e leggiamo «x è in relazione con y», oppure «x e y sono associati dalla <». Quando la coppia non rende vera la proposizione px; ð yþ scriviamo: x<y ð< viene letto erre tagliato Þ oppure x<y Così, facendo riferimento all esempio 1 considerato precedentemente, scriviamo: 4 < 2 e 10< 6. Dominio e codominio di una relazione Relativamente ai termini x e y degli insiemi A e B che si corrispondono nella relazione <, diciamo che y è l immagine di x e x è lacontroimmagine di y. Inoltre l insieme di tutti gli elementi di A che hanno almeno un immagine in B viene detto dominio della relazione, mentre l insieme degli elementi y di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto codominio della relazione. L insieme delle coppie ordinate di elementi di due insiemi A e B che soddisfano una relazione < è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B: Se la relazione < è data in un insieme A essa individua un sottoinsieme del prodotto A A ¼ A 2. La rappresentazione grafica delle relazioni Le relazioni, oltre a essere rappresentate mediante l elencazione delle coppie ordinate che rendono vera una data proposizione, possono essere rappresentate graficamente in vari modi. Rappresentazione sagittale La rappresentazione sagittale (o diagramma a frecce) di una relazione consiste nell indicare i due insiemi A e B con diagrammi di Eulero-Venn e nel collegare con frecce gli elementi di A agli elementi di B con cui sono in relazione. Il verso della freccia pone in evidenza l ordine degli elementi di ogni coppia della relazione. A 3 4 B Figura 1. Rappresentazione sagittale della relazione < dell esempio 1.

3 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi 3 Rappresentazione cartesiana Per visualizzare una relazione mediante una rappresentazione cartesiana, disegniamo due semirette incidenti, perpendicolari tra loro, disposte una secondo una direzione orizzontale e una secondo una direzione verticale. Gli elementi dell insieme A sono rappresentati poi convenzionalmente con punti della semiretta orizzontale e quelli dell insieme B con punti della semiretta verticale. Le coppie che si corrispondono nella relazione < che si vuole rappresentare sono punti del piano, intersezioni fra rette verticali e orizzontali come indicato nella figura 2 in cui è rappresentata ancora la relazione del precedente esempio Figura 2. Rappresentazione cartesiana della relazione < dell esempio 1. Rappresentazione con tabella a doppia entrata Una relazione può essere rappresentata anche mediante una tabella a doppia entrata come indicato nella figura 3. Gli elementi dell insieme A sono convenzionalmente disposti nella prima colonna a sinistra, quelli dell insieme B nella prima riga orizzontale superiore. Rappresentazione con grafo Il grafo è una rappresentazione grafica costituita da punti detti nodi collegati da tratti orientati, detti lati, che collegano i nodi uno all altro. A B Figura 3. Rappresentazione con tabella a doppia entrata della relazione < dell esempio 1. Tale metodo di rappresentazione può essere convenientemente utilizzato anche per illustrare una relazione in un insieme, purché solo interna a un insieme, evitando di rappresentare due volte lo stesso insieme. Nel caso di relazione interna a un insieme A, i nodi sono gli elementi dell insieme A, e i tratti orientati collegano tra loro i suoi elementi. I tratti orientati devono partire dal primo elemento della coppia ordinata e arrivare al secondo della stessa coppia. Ma vediamo subito un esempio. esempi 1 La relazione < interna all insieme A ¼ f2, 4, 6, 8g è definita dalla proposizione aperta: «x è divisore di y». La relazione può essere rappresentata dal grafo di figura 14. I tratti orientati indicano che 2 è divisore di 4, di 6 e di 8, e 4 è divisore di 8. Vi sono però anche cerchi che collegano elementi con se stessi perché ciascun elemento è divisibile per se stesso. Tali cerchi sono detti anelli. nodo 2 lato anello Figura 4. Rappresentazione mediante grafo della relazione definita dalla proposizione «x è divisore di y».

4 4 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi Proprietà delle relazioni Una relazione < definita in un insieme A può godere, o non godere, di alcune proprietà. Prendiamo qui in esame le proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica e antiriflessiva. Diciamo che una relazione < operante tra gli elementi di un dato insieme A gode della proprietà (per i nuovi simboli vedi l inserto qui a fianco): COMPETENZA: LINGUAGGIO Quantificatore universale e implicazione logica Il simbolo 8 (quantificatore universale) sostituisce l espressione qualunque sia oppure per ogni e il simbolo ) (implicazione logica) sta per da... segue oppure implica oppure se... allora. a) riflessiva, se ogni elemento x è in relazione con se stesso, cioè x<x. In altre parole se la proposizione px; ð yþ associata è vera per ogni coppia ordinata (x; xþ con xpa. 8xPA: x<x b) simmetrica, se ogni volta che associa l elemento x all elemento y, associa anche l elemento y all elemento x. In altre parole se ogni volta che la proposizione associata px; ð yþ è vera per la coppia (x; y) è vera anche per la coppia (y; x) con xpa, ypa. 8x, ypa: x<y ) y<x c) transitiva, se ogni volta che associa un elemento x a un elemento y e un elemento y a un elemento z associa anche x a z. In altri termini se ogni volta che la proposizione px; ð yþ è vera per (x; y) e(y; z) è vera anche per la coppia (x; z), con xpa, ypa, zpa. 8x, y, zpa: ðx<y ^ y<zþ)x<z d) antisimmetrica, se ogni volta che associa x a y, associa y a x solo se x ¼ y, cioè se ogni volta che la proposizione px; ð yþ è vera per (x; y) e per (y; x) segue che x ¼ y con xpa, ypa. 8x, ypa: ðx<y ^ y<xþ)x ¼ y e) antiriflessiva, se non associa nessun elemento a se stesso cioè se la proposizione px; ð yþ non è vera per alcuna coppia del tipo (x; x) con xpa. 8xPA: x<x: esempi 1 Siano A un insieme di persone ed < e < 1, rispettivamente, le relazioni: «x è nato nello stesso anno in cui è nato y» e «x è genitore di y». La relazione < è evidentemente sia riflessiva che simmetrica e transitiva. La < 1,invece,èantiriflessiva (nessuno infatti può essere genitore di se stesso). 2 Nell insieme dei prezzi dei prodotti messi in vendita in un certo supermercato consideriamo le due relazioni < ed < 1, espresse rispettivamente dalle proprietà: «a è minore o uguale a b» e«a è minore di b». La < è riflessiva (ogni prezzo è minore o uguale a se stesso), è transitiva, è antisimmetrica (se a b eanche b a deve necessariamente essere a ¼ bþ. La < 1 è invece transitiva e antiriflessiva (non è infatti x < x per alcun prezzo xþ. 3 Nell insieme delle rette di un piano consideriamo le due relazioni: «la retta a è parallela (*) alla retta b» e«larettaa è perpendicolare alla retta b». La prima relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva. La seconda è simmetrica e antiriflessiva. (*) Diciamo parallele due rette complanari che o non hanno alcun punto in comune o sono coincidenti.

5 Relazioni di equivalenza Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi 5 Fra le relazioni in un insieme assumono una particolare importanza le cosiddette relazioni di equivalenza. Una relazione < in un insieme A è detta di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Ad esempio la relazione: «essere nati nello stesso mese» nell insieme degli alunni della tua classe è una relazione di equivalenza. Valgono infatti la proprietà riflessiva (x è nato nello stesso mese di x), la proprietà simmetrica (se x è nato nello stesso mese di y, y è nato nello stesso mese di x) e la proprietà transitiva (se x è nato nello stesso mese di y e y è nato nello stesso mese di z, allora x è nato nello stesso mese di z). Relazioni d ordine Tra le relazioni in un insieme sono di notevole importanza anche le relazioni d ordine. Viene detta relazione d ordine in un insieme A una relazione che gode almeno delle proprietà antisimmetrica e transitiva. Ad esempio la relazione nell insieme di persone che attendono all aeroporto: «precedere in una lista di attesa» è una relazione d ordine. Valgono infatti almeno la proprietà antisimmetrica (se x precede y, y non precede xþ e la proprietà transitiva (se x precede y e y precede z, anche x precede zþ. RIFLETTI Possiamo dire che, se < è una relazione d ordine in un dato insieme A, anche l insieme A è ordinato dalla relazione <. Cioè la relazione < consente di disporre gli elementi di A secondo un dato ordine. Ad esempio la relazione: «precedere in ordine alfabetico» ordina un insieme di nomi secondo l ordine alfabetico. Relazioni di ordine largo e relazioni di ordine stretto La definizione appena data non esclude che oltre alle due proprietà citate valga qualche altra proprietà. Possiamo avere infatti relazioni d ordine largo e relazioni di ordine stretto. Possiamo dare quindi le seguenti definizioni. e Una relazione < in un insieme è detta d ordine largo se è riflessiva, antisimmetrica, transitiva. RIFLETTI Puoi osservare che la proprietà riflessiva qualifica la relazione di ordine largo rispetto a quella di ordine stretto per la quale non vale la proprietà riflessiva bensì quella antiriflessiva. Osserva poi gli esempi riportati a tale proposito: i termini aggiuntivi uguale, prima di, inclusione in senso lato trasformano una relazione di ordine stretto in una di ordine largo. Una relazione < in un insieme è detta di ordine stretto se è antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva.

6 Volume 1 - Complemento 1 ESERCITAZIONI RELAZIONI TRA INSIEMI 1 Con quali modalità grafiche può venire rappresentata una corrispondenza tra due insiemi A e B? E una relazione interna a un insieme? 2 Dati gli insiemi A e B la cui rappresentazione sagittale è data in figura, e la relazione individuata dalla proposizione «x è avversario di y in una gara di scherma»: a) elenca gli elementi del dominio e del codominio della relazione; b) individua le immagini di x in B ele controimmagini di y in A. 3 A quale relazione ben si adatta la rappresentazione con grafo? Qual è il vantaggio che si ricava adottando tale rappresentazione? 4 Sono dati i due insiemi A ¼ f2, 3, 5g e B ¼ f6, 4, 10g; determina le coppie ða; bþ con apa e bpb per le quali vale la relazione «apa divisore di bpb». [Sono cinque] 5 Sono dati gli insiemi A ¼ f3, 7, 11g e B ¼ f11, 33, 45g e la relazione <: «apa divisore di bpb». Determina le coppie ða, bþ con apa e bpb per le quali vale la relazione <. Danne una rappresentazione cartesiana. [Sono quattro] Dal grafico alla relazione 6 Dati gli insiemi A ¼ f2, 3, 5g e B ¼ f6, 4;10g e la relazione <: «apa multiplo di bpb», verifica che il sottoinsieme determinato da < è un insieme vuoto. 7 Dati gli insiemi A ¼ f2, 3, 5g e B ¼ f6, 4, 10g e la relazione <: «apa maggiore di bpb», verifica che il sottoinsieme determinato da < è un insieme unitario. 8 Dati gli insiemi: A ¼ f1, 2, 5g e B ¼ f10, 20, 100, 15000g, determina le coppie ða; bþ, conapa e bpb, per le quali risulti che a è un divisore di b. Verifica che l insieme costituito da queste coppie coincide con il prodotto cartesiano A B. 9 Dati i due insiemi: A ¼ f1, 2, 5g e B ¼ f2, 3, 4, 6g, determina le coppie ða; bþ, con a P A e bpb, per le quali risulti a < b. 10 Dati i due insiemi: A ¼ f7, 14, 15g e B ¼ f2, 6, 8, 15g, determina le coppie ða; bþ, con a P A e bpb, per le quali risulti a b. [Sono nove] 11 Dati i due insiemi: A ¼ f2, 7g e B ¼ f1, 3, 5, 8g determina le coppie ða; bþ con apa e bpb per le quali risulta a > b. 12 Rappresenta mediante una tabella a doppia entrata le coppie ordinate individuate dalla relazione dell esercizio precedente. 13 Nella figura è rappresentata in forma sagittale una relazione < tra due insiemi A e B. Esprimi la proposizione che caratterizza la relazione data. Rappresentazione sagittale di una relazione tra due insiemi A, B.

7 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi 7 14 Sono dati gli insiemi A ¼ f2, 3, 5g e B ¼ f1, 2, 4, 7, 9g. Nelle figure sono rappresentate cartesianamente le coppie associate in due relazioni < ed < 0. Esprimi la proposizione che caratterizza la < e quella che caratterizza la < 0. Rappresentazione cartesiana di due relazioni tra una coppia di insiemi A, B. ESERCIZIO GUIDA 15 Consideriamo l insieme A ¼ f6, 2, 4g e la relazione «x y» con xpa e ypa. Vogliamo determinare le coppie ordinate che rendono valida la relazione e rappresentarle con grafo. Le coppie ordinate del prodotto A A sono: A A ¼ f ð6; 6Þ, ð6;2þ, ð6;4þ, ð2;6þ, ð2;2þ, ð2;4þ, ð4;6þ, ð4;2þ, ð4;4þg. Le coppie ordinate ðx; yþ che soddisfano la relazione sono: ð6; 6Þ, ð2; 6Þ, ð2; 2Þ, ð2; 4Þ, ð4; 6Þ, ð4; 4Þ: Rappresentiamo ora la relazione con un grafo. Osserviamo che sono presenti degli anelli ð6; 6Þ, ð2; 2Þ, ð4; 4Þ e dei lati ð2; 6Þ, ð2; 4Þ, ð4; 6Þ. 16 È dato l insieme A ¼framo, regolo, cima, costag nel quale è stabilita la relazione «iniziare con la stessa lettera». Determina le coppie associate alla relazione. [Sono otto] 17 È dato l insieme A ¼fpesce, pollo, anatra, asino, aquila, gallinag e la relazione «iniziare con la stessa lettera». Determina le coppie che soddisfano la relazione. [Sono quattordici] 18 È dato l insieme A ¼fpecora, pascolo, pesceg e la relazione «xpa precede nell elenco alfabetico y P A». Determina le coppie ordinate che soddisfano la relazione. [Sono tre] 19 Nell insieme di numeri naturali A ¼ f2, 5, 9, 3, 8, 10g, considera la relazione <: «il primo numero è il consecutivo del secondo nella successione ordinata dei numeri naturali» ed elenca tutte le coppie che soddisfano la <. Rappresentale con una tabella a doppia entrata e nel piano cartesiano. [Sono tre] 20 Completa. Se ogni elemento x è in relazione < con se stesso, cioè x<x, la relazione < gode della proprietà Stabilisci quali delle seguenti relazioni godono della proprietà riflessiva: a) «a ha la stessa area di b»; b) «a è fratello di b»; c) «a è figlio di b»; d) «a è concittadino di b». 22 Completa. Se per ogni elemento a in relazione < con b, anche b è in relazione < con a, se cioè x<y ) y<x, la relazione < gode della proprietà Di quali delle seguenti relazioni godono della proprietà simmetrica:

8 8 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi a) «a ha la stessa età dib»; b) «a è nato prima di b»; c) «a pesa quanto b»; d) «a è fratello di b»; e) «a precede b nella lista di attesa». 24 Se per ogni elemento a in relazione < con b, a 6¼ b, b non è in relazione con a, la relazione < gode della proprietà Scegli quali delle seguenti relazioni godono della proprietà antisimmetrica: a) «a è nonno di b»; b) «a è più alto di b»; c) «a ha la stessa statura di b»; d) «a abita nella stessa via di b». 28 Individua quali delle seguenti relazioni non godono della proprietà transitiva: a) «il recipiente a ha la stessa capacità dib»; b) «a è genitore di b»; c) «la retta a è perpendicolare a b»; d) «il tessuto a ha lo stesso colore di b». Dal grafico alla relazione 29 Sia A ¼ fa, b, c, dg e sia < una relazione che associa gli elementi di A secondo la relazione sagittale espressa nel grafo riportato in figura. Di quali proprietà gode la <? 26 Completa. Se 8xPA : x<x possiamo affermare che < gode della proprietà Esprimi a parole e in simboli le condizioni per cui una relazione < gode della proprietà transitiva. ESERCIZIO GUIDA 30 Nell insieme dei numeri naturali è data la relazione <: «x e y non sono primi tra loro». La relazione è riflessiva: x non è primo con se stesso, è simmetrica: se x non è primo con y anche y non è primo con x; non è transitiva: per esempio i numeri 4 e 6 si corrispondono nella relazione data (hanno come divisore comune il 2), analogamente si corrispondono nella medesima relazione i numeri 6 e 21 (hanno come divisore comune il 3), ma 4 e 21 non si corrispondono in < (sono infatti primi tra loro). 31 Scegli l affermazione corretta. Nell insieme dei nomi presenti nell elenco telefonico di una città, la relazione «x precede in ordine alfabetico y» èdi: a) equivalenza; b) ordine largo; c) ordine stretto. Dal grafico alla relazione 32 Sia A ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12g e sia < una relazione che associa alcune coppie di elementi di A secondo la rappresentazione con tabella a doppia entrata indicata nella figura. Scrivi una proposizione che possa individuare la <. Di quali proprietà gode la <? Rappresentazione con tabella a doppia entrata di una relazione < interna all insieme A. 33 Nell insieme dei poligoni la relazione: «x e y hanno lo stesso numero di lati» di quali proprietà gode? Si può dire che si tratta di una relazione di equivalenza?

9 Volume 1 - Complemento 1 Relazioni tra insiemi 9 34 Nell insieme U degli uomini la relazione <: «x e y parlano la medesima lingua» di quali proprietà gode? È una relazione di equivalenza? 35 Nell insieme S degli studenti di una scuola la relazione <: «x e y si sono iscritti alla medesima gara sportiva» di quali proprietà gode? È una relazione di equivalenza? 36 Sono dati l insieme A ¼ f32, 4, 50, 642g ela relazione < definita dalla proposizione: «a ha un numero di cifre minore di b». Stabilisci se < è una relazione d ordine stretto o largo. 37 Sono dati l insieme A ¼ f53, 8, 21, 140, 236g e la relazione < definita dalla proposizione: «a ha un numero di cifre minore o uguale a b». Stabilisci se < è una relazione d ordine stretto o largo.