Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole 1 / 21

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1 Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole 1 / 21

2 Grafico di una funzione 2 / 21 Per prima cosa stabiliamo un collegamento diretto tra la geometria analitica e lo studio di funzioni. Definizione: Siano A, B R. Data una funzione f : A B, il suo grafico è il sottoinsieme Γf di R 2 definito da: Γf = { [x,f(x)] R 2 : x A }. (1)

3 Grafico di una funzione: esempio 3 / 21 Esercizio 1: Sia f :R R la funzione definita da: f(x)=x 1, x R. Disegnare il grafico di f. Soluzione: Per definizione Γf = { [x, x 1] R 2 : x R }. (2) La (2) ci dice che, per i punti del grafico, il legame fra l ordinata e l ascissa è espresso dall equazione: y=x 1, x R. (3)

4 Grafico di una funzione: esempio 4 / 21 Ne segue che Γf è la retta rappresentata nella figura seguente: y f(x 0 ) O 1 1 x 0 x Figura 5: grafico della funzione dell Esercizio 1

5 Polinomi di primo grado e rette 5 / 21 In realtà, il procedimento descritto nell Esercizio 1 ha validità più generale: in particolare, consente di affermare che ogni funzione f :R R del tipo: f(x)=mx+b, x R, (4) con m e b numeri reali assegnati, ha come grafico la retta di equazione: y=mx+b. Se m 0, una funzione come in (4) viene chiamata polinomio di primo grado.

6 Polinomi di secondo grado 6 / 21 Un polinomio di 2 o grado è una funzione f :R R definita da: f(x)=ax 2 + bx+c, x R, (5) dove a, b, c sono tre numeri reali fissati, con a 0. Ragionando come nel precedente Esercizio 1, possiamo concludere che il grafico del polinomio di 2 o grado (5) è il luogo di punti (chiamato parabola) del piano R 2 definito dall equazione: y=ax 2 + bx+c, x R, (a 0). (6)

7 Funzione valore assoluto Introduciamo ora una funzione che risulta di grandissima utilità in svariate situazioni. Iniziamo dicendo che la scrittura x (si legge valore assoluto di x) significa quanto segue: { x se x R, x 0 x = x se x R, x<0. (7) 7 / 21

8 Funzione valore assoluto 8 / 21 Risulta quindi naturale definire la funzione valore assoluto f :R R ponendo: f(x)= x, x R. (8) Esercizio 2: Disegnare il grafico della funzione valore assoluto definita in (7) (8).

9 Grafico della funzione valore assoluto 9 / 21 Soluzione: In corrispondenza degli x 0 il grafico coincide con la bisettrice del primo quadrante, cioè la semiretta y=x, x 0. Invece, per gli x<0, il grafico è dato da y= x, x<0. Mettendo insieme queste osservazioni si arriva facilmente al grafico di Figura 6.

10 Grafico della funzione valore assoluto 10 / 21 y f(x)= x x Figura 6: grafico della funzione valore assoluto

11 11 / 21 Varie Esercizi sulla funzione valore assoluto; Traslazioni verticali e orizzontali di grafici.

12 Polinomi ed equazioni di secondo grado 12 / 21 Polinomio di secondo grado: P(x)=ax 2 + bx+c, dove a, b, c R e a 0. Definizione: Diremo che x 0 R è una radice di P(x) se è una soluzione dell equazione P(x) = 0, o, in altre parole, se Ad esempio, se P(x 0 )=0. (9) P(x)=2x 2 3x+1, allora possiamo facilmente verificare che x 0 = 1 è una sua radice. Infatti P(1)= =0.

13 Polinomi ed equazioni di secondo grado 13 / 21 Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive per determinare, in generale, le radici di polinomi di grado superiore a quattro. Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre e quattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse per questo livello di trattazione. Invece, è possibile ed utile illustrare in dettaglio la situazione per i polinomi di secondo grado: in particolare, ora possiamo derivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

14 Polinomi ed equazioni di secondo grado 14 / 21 Per prima cosa, ricordando l ipotesi a 0, scriviamo: ax 2 + bx+c = a (x 2 + ba ) x + c ( = a x+ 2a) b 2 ) + (c b2 4a (10) = a(x x 0 ) 2 4a, dove abbiamo posto: x 0 = b 2a e =b 2 4ac. (11) si chiama discriminante dell equazione di secondo grado.

15 Polinomi ed equazioni di secondo grado 15 / 21 Facciamo il punto della situazione: grazie alla (10) possiamo dire che l equazione ax 2 + bx+c=0 (12) equivale a: a(x x 0 ) 2 = 4a. (13)

16 Polinomi ed equazioni di secondo grado 16 / 21 Quindi, se <0, ora possiamo subito concludere che non ci sono radici reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile. Invece, se 0, una semplice ispezione di (13) fornisce: ovvero x x 0 =± 4a 2, x=x 0 ± 4a 2. (14)

17 Polinomi ed equazioni di secondo grado 17 / 21 In particolare, usando l espressione esplicita di x 0 data in (11), concludiamo che le due radici sono: x 1 = b, x 2 = b+ 2a 2a (15) (si noti che x 1 = x 2 quando =0).

18 Polinomi ed equazioni di secondo grado 18 / 21 Infine, un calcolo diretto consente di verificare che, quando 0, la fattorizzazione del polinomio di secondo grado è: ax 2 + bx+c=a(x x 1 )(x x 2 ), (16) dove x 1 e x 2 sono appunto le sue due radici (eventualmente coincidenti).

19 Esercizio 19 / 21 Esercizio: Si consideri il seguente polinomio di secondo grado: P(x)=x 2 2x 3. (i) Determinare le eventuali soluzioni reali dell equazione di secondo grado P(x)=0; (ii) Fattorizzare, se possibile, P(x) nel prodotto di polinomi di primo grado.

20 Esercizio 20 / 21 Soluzione: (i) Applicando la formula risolutiva (14) troviamo facilmente: x 1 = 1 e x 2 = 3. (ii) Applicando la fattorizzazione (16) abbiamo subito: P(x)=(x+1) (x 3).

21 21 / 21 Considerazioni conclusive Si consiglia di riflettere bene sul legame esistente tra il segno del discriminante e la rappresentazione grafica di parabole: >0 corrisponde al caso in cui la parabola ha 2 punti di intersezione con l asse x ; =0 corrisponde al caso in cui la parabola ha un unico punto di intersezione con l asse x ; <0 corrisponde al caso in cui la parabola NON ha punti di intersezione con l asse x.