Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni

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1 LCEO CLSSCO L.END CERVNR l linguaggio della Matematica: nsiemi e operazioni Prof. Roberto Capone 1

2 l concetto di insieme è un CONCETTO PRMTVO proprio come i concetti di punto, retta e piano introdotti nella geometria 2

3 l termine insieme in matematica indica una collezione di oggetti, più o meno come nel linguaggio comune Si tratta di un concetto molto importante perché su di esso si fonda tutto l edificio della matematica La TEOR DEGL NSEM è strettamente connessa con molti settori della matematica TEOR DEGL NSEM RELZON TEOR DE NMER NLS LOGC FNZON LGEBR GEOMETRE 3

4 ffinché si possa parlare di insieme in senso matematico occorre poter stabilire senza ambiguità se un oggetto appartiene o meno all insieme Perciò in matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o meno al raggruppamento 4

5 d esempio è un insieme matematicamente corretto l insieme delle città della Lombardia. nfatti tutti sanno riconoscere le differenti città della regione Non è un insieme matematicamente corretto l insieme dei ragazzi simpatici della classe. Ciò perché la simpatia di un compagno o di un altro è soggettiva 5

6 nsiemi numerici bbiamo già incontrato alcuni insiemi ovvero dei raggruppamenti di elementi che hanno caratteristiche comuni N l insieme dei numeri naturali Z l insieme dei numeri interi Q R l insieme dei numeri razionali l insieme dei numeri reali Tali insiemi si chiamano anche insiemi numerici n insieme privo di elementi si chiama NSEME VOTO e si indica col simbolo Ø 6

7 Simbologia - Simbolodi appartenenza Simbolodi non appartenenza Simbolodi unionetrainsiemi Simbolodi intersezione trainsiemi Simbolodi differenzatrainsiemi / Taleche C nsiemevuoto Simbolodi congiunzione tra proposizioni Simbolodi disgiunzione tra proposizioni Complement aredell' insieme rispettoall'ambienteuniverso Complement aredell' insieme rispettoall'ambienteuniverso 7

8 l simbolo di appartenenza Considera l'insieme delle lettere dell'alfabeto ttenzione che all'uso costituiscono dei simboli : essi la parola esprimono sempre un legame tra "mamma". un elemento ed Î un insieme, mai tra Le lettere due insiemi a, m o appartengono tra due elementi. l a tale insieme nome e si dell'elemento scrive è scritto a sinistra, quello dell'insieme a in simboli: a, m, destra. Le lettere b e c non appartengono all insieme e si scrive b, c... 8

9 Rappresentazione di un insieme Con i diagrammi di Eulero Venn: Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l insieme che chiameremo di tutti gli amici di Marco che sono: ndrea, Marta, Simone, Matteo, nna, Martina. Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): ttraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): 9

10 1) Rappresentazione tabulare = {Marta; ndrea; Matteo; Martina; Simone; nna} 2) Rappresentazione per caratteristica = {x x è amico di Marco} 10

11 3) Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn ndrea Matteo Marta Martina Simone nna 11

12 n insieme può essere contenuto in un altro 0 B Si dice allora che B è un sottoinsieme di : B 12

13 Esempi 13

14 Esempi 14

15 Esempi 15

16 OPERZON TR NSEM ntersezione nione Differenza Complementare Prodotto Cartesiano 16

17 Si definisce intersezione di due insiemi e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad e B. l intersezione è la parte colorata B B = {x x e x B} 17

18 Dati ad esempio i due insiemi = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l intersezione tra e B è data dal seguente insieme: B = {2, 4} l simbolo è il simbolo che caratterizza l operazione. Si può leggere intersecato B oppure e B. 18

19 Con i diagrammi di Venn, il risultato dell esempio precedente sarà indicato così: 19

20 Esempio Siano E={10, 11, 15, 16}, F={13, 15, 16, 17}, llora = E F = {15, 16} 20

21 CS PRTCOLR DELL NTERSEZONE 21

22 Si definisce unione di due insiemi e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati. l unione è la parte colorata B B = {x x o x B} 22

23 Dati ad esempio i due insiemi = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l unione tra e B è data dal seguente insieme: B = {1,2,3,4,5,6} l simbolo è il simbolo che caratterizza l operazione. Si può leggere unito B oppure o B. 23

24 Con i diagrammi di Venn, il risultato dell esempio precedente sarà: 24

25 Esempio Siano E={1, 2, 3} F={4, 5, 6}, llora R = E F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 25

26 CS PRTCOLR DELL NONE 26

27 Si definisce differenza complementare fra due insiemi B ed l insieme degli elementi di B che non appartengono ad. B B - è la parte colorata in figura. Si ha, per definizione: B = {x x B e x } 27

28 L operazione di differenza complementare non soddisfa la proprietà commutativa, cioè: B- Α-B nfatti... 28

29 Dati ad esempio i due insiemi B = {1,2,3,5} e = {2,3}, accade che: B - = {1,5} - B = { } 29

30 Con i diagrammi di Venn, l esempio precedente diventa: D

31 Esempio Siano E={a, b,c,d} F={c, d, e, f, g}, Quindi D = E - F = {a, b} 31

32 Si definisce prodotto cartesiano tra due insiemi e B non vuoti l'insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il 1 elemento ad ed il 2 elemento a B. Dati gli insiemi ={2, 4} B={a,f} xb={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)} 32

33 ttenzione: per l operazione prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa! ΑxΒ ΒxΑ nfatti, dati gli insiemi ={2, 4} B={a,f} xb={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)} Bx={(a,2);(a,4);(f,2);(f,4)} 33

34 Proprietà delle operazioni Le operazioni di intersezione, unione e complementazione godono delle seguenti proprietà: to assorbimen di Legge B) ( B) ( a associativ Proprietà C B) ( C) (B C B) ( C) (B a commutativ Proprietà B B B B a idempotenz di Proprietà = = = = = = = = 34 di Leggi B B B B arietà Complement va distributi Proprietà C) ( B) ( C) (B C) ( B) ( C) (B B) ( = = = = = = = De Morgan