Fondamenti teorici e programmazione

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1 Fondamenti teorici e programmazione FTP(A) - modb Lezione 9 di ricerca binaria F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 1

2 liberi Un albero libero è un grafo non orientato connesso aciclico 1 V={1,2,3,4,5} E={(1,3),(1,2)(2,4)(3,5)} Componenti connesse:{1,2,3,4,5} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 2

3 Foreste Se il grafo non orientato è aciclico e sconnesso allora si tratta di una foresta. Ogni componente è un albero. 1 V={1,2,3,4,5} E={(1,3),(2,4)(3,5)} Componenti connesse:{1,3,5}, {2,4} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 3

4 Esempi La posizione dei vertici e degli archi negli alberi liberi è arbitraria F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 4

5 Un altro esempio Un grafo non orientato connesso con un ciclo (non è quindi un albero). F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 5

6 Proprietà degli alberi liberi Se G = (V, E) è un grafo non orientato connesso aciclico, allora: Due vertici qualsiasi in V sono connessi da un unico cammino semplice. Se un qualunque arco viene rimosso da E il grafo diventa sconnesso (ovvero l albero diventa una foresta). E = V 1, ovvero il numero degli archi è uguale al numero dei vertici meno 1. Se viene aggiunto un qualunque arco ad E allora il grafo diventa ciclico, (ovvero non è più un albero). F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 6

7 radicati In Informatica, quando si parla di un albero in genere si intende un albero radicato Un albero radicato è un albero libero in cui un vertice viene designato come radice dell albero. Spesso i vertici degli alberi radicati vengono chiamati i nodi dell albero. Dato un albero radicato con radice r abbiamo che per un qualunque nodo u deve esistere un unico cammino da r a u (connessione) sia esso (r, v 1, v 2..., v k, u), si definiscono: i nodi r, v1,..., v k sono detti antenati propri di u u è un discendente proprio di r, v1,..., v k ogni nodo è sia antenato che discendente di se stesso. il nodo v k è detto il padre di u il nodo u è detto il figlio di v k La radice dell albero non ha antenati propri. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 7

8 radicati - continua I nodi figli di uno stesso nodo sono detti fratelli I nodi che non hanno discendenti sono detti foglie o nodi esterni I nodi che hanno discendenti sono detti nodi interni. Il grado di un nodo è il numero di figli del nodo. La lunghezza del cammino dalla radice ad un nodo u è detta la profondità di u L altezza di un albero radicato è la profondità del cammino più lungo dalla radice ad un nodo foglia F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 8

9 ordinati e alberi posizionali Gli alberi ordinati sono alberi in cui i figli di ciascun nodo sono ordinati: primo figlio, secondo figlio, ecc. Gli alberi posizionali sono alberi ordinati con al più k figli, in cui ogni figlio ha una posizione specifica: Gli alberi posizionali più usati sono gli alberi binari (tra poco) Un albero posizionale completo di dimensione k, è un albero in cui ogni nodo o è un nodo foglia oppure ha k figli. il numero di nodi di un albero completo di dimensione k e altezza h è data da: n = 1 + k + k 2 + k 3 + k h = h i=0 k i = kh+1 1 k 1 F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 9

10 binari Sono alberi posizionali in cui ogni nodo ha al più 2 figli. Una definizione induttiva o ricorsiva di albero binario è la seguente: Base Un albero binario è un albero vuoto che non contiene alcun nodo oppure Passo induttivo Un albero binario è un struttura che contiene: un nodo radice, un albero binario detto sottoalbero sinistro o figlio sinistro un albero binario detto sottoalbero destro o figlio destro F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 10

11 binari Albero Binario completo di altezza 3. Quindi k = 2 e h = = 3 i=0 2 i = = = 16 1 = 15 1 nodo 2 nodi 4 nodi 8 nodi F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 11

12 Ricerca di elementi in strutture dati ordinate e non ordinate Un importante problema nell automazione dei sistemi è la ricerca di un elemento in una struttura dati. Esistono due categorie di strutture dati: le strutture sequenziali (sequenze, array) le strutture ricorsive (liste, alberi). La ricerca, se effettuata nel modo ovvio, risulta avere una complessità lineare con il numero n degli elementi presenti nella struttura. Caso peggiore scansione di tutti gli elementi. Se gli elementi sono ordinati è possibile utilizzare degli algoritmi di ricerca che rendono più efficiente la ricerca riducendo la complessità a log 2 (n) Nel caso di strutture dati lineari può essere ragionevole creare la struttura e successivamente ordinarla. Nel caso di strutture dati ricorsive è invece più conveniente mantenere la struttura dati ordinata, utilizzando inserzioni ordinate. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 12

13 Albero binario di ricerca Gli alberi binari è possibile utilizzare un algoritmo di ricerca che può risultare (sotto determinate condizioni) logaritmico. Ad ogni nodo sono associate delle informazioni e l operazione da effettuare è la ricerca di un nodo con una data etichetta. È ovviamente, necessario che le etichette appartengano ad un dominio su cui è definito un ordinamento. Per ogni nodo valgono le seguenti condizioni: le etichette di tutti i nodi del sottoalbero sinistro precedono nell ordinamento l etichetta del nodo le etichette del sottoalbero destro seguono nell ordinamento l etichetta del nodo. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 13

14 Un esempio di albero binario di ricerca Consideriamo l albero completo visto precedentemente in cui sono state inserite le etichette (appartenenti al dominio N ) nei nodi, rispettando la condizione imposta sugli alberi binari di ricerca F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 14

15 Ricerca in un albero binario di ricerca La ricerca avviene confrontando l etichetta (r) del nodo radice con l etichetta (e) del nodo da inserire e riapplicando ricorsivamente la funzione sul sottoalbero sinistro (r > e) o sul sottoalbero destro(r < e). Le etichette ovviamente devono essere tutte distinte Se l albero è bilanciato i nodi esaminati sono nel caso peggiore h = log 2 n Se l albero non è bilanciato i nodi aumentano e nel caso peggiore diventano n F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 15

16 Inserzione in un albero binario di ricerca Viene sempre inserito un nodo foglia, facendo una ricerca dellla posizione in cui inserire. Ad esempio l inserzione del nodo con etichetta 2, risulta nel seguente albero: F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 16

17 Mantenimento del bilanciamento Utilizzando l algoritmo descritto sopra il mantenimento del bilanciamento dipende dall ordine in cui sono inseriti i nodi. Provare a costruire l albero BR inserendo i nodi nel seguente ordine: 10, 15, 5, 8, 3, 19, 13, 4, 1, 9, 7, 14, 12, 22, 16 oppure 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 22 il mantenimento del bilanciamento è cruciale ai fini dell efficienza ma ovviamente mantenerlo ha un costo, perchè può richiedere operazioni di ristrutturazione dell albero. Trattazione nel corso di algoritmica. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 17