Alberi binari. Alberi binari di ricerca

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Paola Cocco
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2 Alberi binari

3 Alberi binari Alberi binari di ricerca

4 Cause: Inserimenti Sbilanciamento Cancellazioni

5 Alberi binari Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca bilanciati

6 Alberi binari Alberi binari di ricerca Alberi binari di ricerca bilanciati

7 ALBERI BINARI ALBERI BINARI DI RICERCA ALBERI BINARI DI RICERCA BILANCIATI

8 Ricerca Discendere l albero lungo un cammino radice-foglia La complessità di tale operazione è proporzionale alla lunghezza del cammino radice-foglia Devo cercare un upper-bound di questa lunghezza

9 Alberi bilanciati Non si esige un bilanciamento perfetto (tutti i livelli pieni).

10 Alberi bilanciati Non si esige un bilanciamento perfetto (tutti i livelli pieni). Non si esige neanche un bilanciamento quasi perfetto

11 Alberi bilanciati Non si esige un bilanciamento perfetto (tutti i livelli pieni). Non si esige neanche un bilanciamento quasi perfetto L importante è che l altezza dell albero rimanga logaritmica rispetto agli elementi presenti.

12 Rotazioni

13 Rotazione a dx v u T3 T1 T2

14 Rotazioni x y y T3 Rotazione a sx T1 x T1 T2 Rotazione a dx T2 T3

15 x y T3 y T1 T2 T1 x - il sottoalbero destro di y diventa figlio sinistro di x - x diventa figlio destro di y - y diventa figlio del padre di x (controllare radice) T2 T3

16 Alberi RB Un albero Red-Black è un albero binario di ricerca in cui: Ogni nodo è colorato di rosso o di nero Le chiavi vengono mantenute solo nei nodi interni dell albero Le foglie sono costituite da nodi nil Un albero Red-Black deve soddisfare i seguenti vincoli 1. La radice è nera 2. Tutte le foglie sono nere 3. Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri 4. Tutti i cammini semplici da ogni nodo u ad una delle foglie contenute nel sottoalbero radicato in u hanno lo stesso numero di nodi neri

17 Alberi RB Definizione: Il numero di nodi neri lungo ogni percorso da un nodo v (escluso) ad una foglia (inclusa) è detto altezza nera di v, indicato b(v) Tutti i percorsi nodo-foglia hanno lo stesso numero di nodi neri (regola 4) Definizione: L altezza nera di un albero Red-Black è pari all altezza nera della sua radice

18 Inserimento Occorre rispettare le proprietà dell albero RB

19 Inserimento Ricerca della posizione usando la stessa procedura usata per gli alberi binari di ricerca Coloriamo il nuovo nodo di rosso Quale delle quattro proprietà può essere violata?

20 Inserimento Ricerca della posizione usando la stessa procedura usata per gli alberi binari di ricerca inserimento del nuovo nodo come foglia. Coloriamo il nuovo nodo di rosso i suoi figli sono foglie nere NIL Ripristino proprietà alberi RB. Quale delle quattro proprietà può essere violata? 1. La radice è nera 2. Tutte le foglie sono nere 3. Entrambi i figli di un nodo rosso sono neri 4. Tutti i cammini semplici da ogni nodo u ad una delle foglie contenute nel sottoalbero radicato in u hanno lo stesso numero di nodi neri

21 Rispristino proprietà RB Si percorre il cammino dal nodo inserito alla radice fino a quando la proprietà 3 risulta violata

22 Rispristino proprietà RB Si percorre il cammino dal nodo inserito alla radice fino a quando la proprietà 3 risulta violata Mantengo una reference (t) al nodo del quale devo controllare il padre Quando il padre di t è nero o t è la radice ho finito

23 Rispristino proprietà RB Si percorre il cammino dal nodo inserito alla radice fino a quando la proprietà 3 risulta violata Mantengo una reference (t) al nodo del quale devo controllare il padre Quando il padre di t è nero o t è la radice ho finito L idea è quella di far risalire nell albero la violazione della proprietà 3, rispettando però la proprietà 4 Opero delle rotazioni e delle ricolorazioni

24 Ripristino: caso 1 Nuovo nodo t non ha padre Primo nodo ad essere inserito (o siamo risaliti fino alla radice) Si colora t di nero

25 Ripristino: caso 2 Padre p di t è nero Nessun vincolo violato

26 Ripristino: caso 3 Lo zio di t è rosso (ma il nonno è nero) Scambio il colore del nonno con quello dei figli. Proprietà 4 invariata La violazione delle proprietà 1 e 3 ora riguarda il nonno Pongo t = n

27 Ripristino: caso n 7 1 p z 8 t 4

28 Ripristino: caso t

29 Ripristino: caso 4a (e 4b) Lo zio di t è nero t figlio destro, p figlio sinistro Rotazione a sinistra su p La violazione delle proprietà 1 e 3 ora riguarda il padre Pongo t = p

30 Ripristino: caso 4 n 11 p t

31 Ripristino: caso n

32 Ripristino: caso n 11 p 7 14 t

33 Ripristino: caso a (e b) Lo zio di t è nero t figlio sinistro, p figlio sinistro Rotazione a destra su n n diventa rosso, p diventa nero Tutti i vincoli rispettati

34 Ripristino: caso n 11 p 7 14 t

35 Ripristino: caso

36 Cancellazione

37 Cancellazione Occorre rispettare le proprietà dell albero RB

38 Ricerca del nodo da eliminare (u) Se u non ha figli Elimino u Se u ha un solo figlio Elimino u e lo sostituisco con l unico figlio Se u ha due figli u ç successore Cancellazione Rimuovo il successore

39 Cancellazione Ponendo: u nodo da cancellare t unico figlio di u (NIL nel caso u sia foglia) p padre di u Per eliminare u, eseguiamo i seguenti passi: Rimuoviamo u collegando p con t (p diventa il padre di t ed t diventa il figlio di p);

40 Cancellazione 4 3 3

41 Quali proprietà violate?

42 La radice è nera Cancellazione Possibile violazione 4

43 Quali proprietà violate? Tutte le foglie sono nere

44 Quali proprietà violate? I figli di un nodo rosso sono neri Possibile violazione 4 3

45 Quali proprietà violate? Ogni percorso radice-foglia contiene lo steso numero di nodi neri 4 Possibile violazione 3

46 Quali proprietà violate? Cosa hanno in comune tutti i casi? 4 4 3

47 u nero, t rosso u t 3

48 u nero, u non ha figli u 4

49 u nero, u non ha figli u 4

50 u nero, u non ha figli u 4 t

51 Ripristino proprietà n. 4 Per ristabilire la proprietà 4 (nel caso di eliminazione di un nodo u nero), si attribuisce al nodo t (figlio di u) un extra credito nero se t è rosso diventa di nero se t è già nero allora assume un colore fittizio detto doppio nero, che serve per ricordarci che abbiamo eliminato un nodo nero. Nel calcolo della black-height un nodo doppio nero conta due volte

52 Ripristino proprietà n. 4 Si cerca di spostare l extra-credito verso l alto (tramite rotazioni e ricolorazioni appropriate) Ci si ferma quando: L extra credito è attribuito ad un nodo rosso (che coloriamo di nero) Si è arrivati alla radice (la colorazione extra viene ignorata)

53 Ripristino proprietà n. 4 Le trasformazioni preservano la proprietà 4. Il numero di nodi neri dalla radice ad ogni foglia è mantenuto dalle trasformazioni. Abbiamo 4 casi (+ 4 simmetrici) possibili

54 Caso 1: fratello f rosso Poniamo: t nodo con extra-credito (figlio del nodo rimosso) p padre di x p nero f fratello di t f rosso (per ipotesi) ns e nd: nipote sinistro e destro di t Entrambi neri t p 7 f ns 8 nd

55 Caso 1: fratello f rosso p t 7 f ns 8 nd Azioni: Scambio i colori di f e p Effettuo rotazione sinistra su p

56 Caso 1: fratello f rosso Scambio i colori di f e p p p t 7 f t 7 f ns 8 nd ns 8 nd

57 Caso 1: fratello f rosso Rotazione sinistra su p p p 7 t 7 f 8 ns 8 nd t

58 Caso 2: fratello f nero, nipoti neri Poniamo: t nodo con extra-credito (figlio del nodo rimosso) p padre di t p nero/rosso f fratello di t f nero ns e nd: nipote sinistro e destro di t ns e nd neri (per ipotesi) t p f ns nd

59 Caso 2: fratello f nero, nipoti neri t p f Azioni: Tolgo un credito nero sia da t che da f f diventa rosso Aggiungo un colore nero a p Se p rosso allora diventa nero e termino Se p nero, pongo t = p e ripeto il ciclo ns nd

60 Caso 2: fratello f nero, nipoti neri Tolgo un credito nero sia da t che da f f diventa rosso p p t f t f ns nd ns nd Se p rosso allora diventa nero e termino Se p nero, pongo t = p e ripeto il ciclo

61 Caso 3: fratello f nero, ns rosso, nd nero Poniamo: t nodo con extra-credito (figlio del nodo rimosso) p padre di x p nero/rosso f fratello di t f nero ns e nd: nipote sinistro e destro di t ns rosso (per ipotesi) nd nero (per ipotesi) t p 7 f ns nd

62 Caso 3: fratello f nero, ns rosso, nd nero t p 7 f Azioni: Scambio colori tra f e ns Eseguo rotazione destra su f ns nd

63 Caso 3: fratello f nero, ns rosso, nd nero Azioni: Scambio colori tra f e ns p p t 7 f t 7 f ns nd ns nd

64 Caso 3: fratello f nero, p ns rosso, nd nero Azioni: Eseguo rotazione destra su f p t 7 f t ns nd 7 f

65 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso Poniamo: t nodo con extra-credito (figlio del nodo rimosso) p padre di x p nero/rosso f fratello di t f nero ns e nd: nipote sinistro e destro di t ns rosso/nero nd rosso (per ipotesi) t p 7 f ns 8 nd

66 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso Azioni f prende il colore del padre, il padre assorbe l extracredito, nd diventa nero p p t 7 f t 7 f ns 8 nd ns 8 nd

67 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso Azioni Eseguo rotazione a sinistra su p p 7 t 7 f p 8 ns 8 nd t

68 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso p 7 t 7 f p 8 ns 8 nd t

69 Caso 4: padre nero

70 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso Azioni f prende il colore del padre, il padre assorbe l extracredito, nd diventa nero p p t 7 f t 7 f ns 8 nd ns 8 nd

71 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso Azioni Eseguo rotazione a sinistra su p p 7 t 7 f p 8 ns 8 nd t

72 Caso 4: fratello f nero, ns rosso/nero, nd rosso p 7 t 7 f p 8 ns 8 nd t

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