Università degli Studi di L Aquila Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Informatica. Modulo di Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati

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Valentina Baldi
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1 Università degli Studi di L Aquila Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Informatica Modulo di Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Alberi binari Giovanna Melideo melideo@di.univaq.it 1

2 Alberi liberi Un albero (libero) è una collezione di elementi (contenuti in nodi ) su cui è definita una relazione gerarchica nonno nonna nonno nonna padre padre madre figlio figlio persona nipote nipote nipote nipote nipote ogni persona ha una relazione di discendenza diretta con due genitori, che sono a loro volta in relazione con i propri genitori (albero genealogico) ogni persona ha una relazione di discendenza diretta con i figli che sono a loro volta in relazione con i propri figli 2

3 Alberi liberi Gli alberi giocano un ruolo centrale nella progettazione e nell analisi degli algoritmi e nelle applicazioni informatiche: impieghiamo gli alberi per descrivere le proprietà dinamiche degli algoritmi gli alberi sono strettamente legati all analisi sintattica dei linguaggi di programmazione Un file system ha una organizzazione ad albero usiamo frequentemente strutture che rappresentano implementazioni concrete di alberi 3

4 Alberi liberi Informalmente, un albero è un insieme non vuoto di nodi ed archi: un nodo (o vertice) è un oggetto che può essere dotato di un nome e di una informazione associata un arco è una connessione tra vertici Proprietà: esiste esattamente un cammino tra ogni coppia di nodi Si dice cammino una sequenza di nodi distinti in cui i nodi successivi sono connessi da un arco 4

5 Alberi radicati Un albero (radicato) è un albero in cui un nodo particolare viene identificato come la radice dell albero In un albero ogni nodo è la radice di un sotto-albero formato dal nodo stesso e da tutti i nodi sottostanti 5

6 Definizioni Antenati di un nodo x: nodi raggiungibili salendo di padre in padre lungo il cammino verso la radice Discendenti di un nodo: nodi raggiungibili scendendo di figlio in figlio nell albero Grado di un nodo: numero dei figli del nodo Albero d-ario: albero in cui tutti i nodi hanno grado d Albero d-ario completo: albero in cui ogni nodo interno ha esattamente d figli. Ovvero, tutti i livelli tranne l ultimo contengono il massimo numero possibile di nodi Albero d-ario perfetto (o completamente bilanciato): speciale albero completo in cui tutte le foglie hanno la stessa profondità (l ultimo livello contiene il massimo numero di nodi) Albero ordinato: albero radicato in cui è specificato l ordine dei figli di ciascun vertice 6

7 Ricapitolando Alberi in ordine di generalità crescente: alberi ordinati d-ari alberi ordinati alberi radicati alberi liberi Definizione: Un albero radicato è vuoto oppure consiste di una radice connessa ad una sequenza di alberi radicati Definizione: Un albero ordinato è vuoto oppure consiste di una radice connessa ad una sequenza ordinata di alberi ordinati Definizione: Un albero ordinato d-ario è vuoto oppure consiste di una radice connessa ad una sequenza ordinata di alberi ordinati d-ari 7

8 Albero binario Un albero binario è un albero ordinato 2-ario: ogni nodo ha esattamente un padre e (al più) due figli ordinati detti figlio sinistro e figlio destro Alcune proprietà: Il livello i-mo di un albero binario contiene al più 2 i nodi Un albero binario perfetto di altezza h contiene 2 h+1-1 nodi (progressione geometrica: h ) Un albero perfetto di N nodi ha un altezza h=log 2 (N+1)-1 Un albero binario completo di N nodi ha un altezza h= log 2 ( N + 1) 1 L altezza di un albero binario di N nodi è compresa tra h= log 2 ( N + 1) 1 e N-1 8

9 ADT Btree[Item] Per gestire un albero binario sono richieste le seguenti operazioni: newbtree()btree (crea un nuovo albero vuoto) isemptybtree(btree)boolean (verifica se l albero e' vuoto o meno) left(btree)btree (individua il sotto-albero sinistro) right(btree)btree (individua il sotto-albero destro) data(btree)item (recupera l elemento contenuto nella radice) make(btree,item,btree)btree (costruisce un nuovo albero a partire dai tre parametri) 9

10 Assiomi: per ogni i Item e per ogni L,R Btree, isemptybtree(newbtree()) TRUE isemptybtree(make(l,i,r)) FALSE left(make(l,i,r)) L right(make(l,i,r)) R data(make(l,i,r)) i 10

11 Rappresentazioni collegate Rappresentazione con puntatori ai figli sinistro e destro generalizzabile ad alberi ordinati d-ari 11

12 Rappresentazioni collegate Rappresentazione con liste di puntatori ai figli generalizzabile ad alberi ordinati d-ari e con numero illimitato di figli 12

13 Rappresentazioni collegate Rappresentazione di tipo primo figlio-fratello successivo nodi con numero arbitrario di figli 13

14 Rappresentazione mediante array Un albero binario di altezza h può essere rappresentato mediante un array di dimensione pari al numero di nodi di un albero perfetto, ossia N=2 h+1-1 figlio destro 0 i 2i+1 N-1 figlio sinistro 2i+2 14

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