Algoritmi e Strutture Dati. Alberi
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- Cesarina Danieli
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1 Algoritmi e Strutture Dati Alberi Alberto Montresor Università di Trento 2017/10/19 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
2 Sommario 1 Introduzione Esempi Definizioni 2 Alberi binari Introduzione Implementazione Visite 3 Alberi generici Visite Implementazione
3 Introduzione Esempi Esempio 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 1 / 33
4 Introduzione Esempi Esempio 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 2 / 33
5 Introduzione Esempi Esempio 3 <html> <head> <meta http-equiv="content-type" content="text/html"/> <title>simple</title> </head> <body> <h1>a simple web page</h1> <ul> <li>list item one</li> <li>list item two</li> </ul> <h2> <a href=" </h2> </body> </html> Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 3 / 33
6 Introduzione Esempi Esempio 3 html head body meta title h1 ul h2 li li a Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 4 / 33
7 Introduzione Definizioni Albero radicato Definizione 1 Albero radicato (Rooted tree) Un albero consiste di un insieme di nodi e un insieme di archi orientati che connettono coppie di nodi, con le seguenti proprietà: Un nodo dell albero è designato come nodo radice; Ogni nodo n, a parte la radice, ha esattamente un arco entrante; Esiste un cammino unico dalla radice ad ogni nodo; L albero è connesso. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 5 / 33
8 Introduzione Definizioni Albero radicato Definizione 2 (Ricorsiva) Albero radicato (Rooted tree) Un albero è dato da: un insieme vuoto, oppure una radice e zero o più sottoalberi, ognuno dei quali è albero; la radice è connessa alla radice di ogni sottoalbero con un arco orientato. Root T 1 T 2... T k Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 6 / 33
9 Introduzione Definizioni Terminologia A Sottoalbero B Radice C Sottoalbero D E F G H I J K L M A è la radice B, C sono radici dei sottoalberi D, E sono fratelli D, E sono figli di B B è il padre di D, E I nodi viola sono foglie Gli altri nodi sono nodi interni Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 7 / 33
10 Introduzione Definizioni Terminology (English) A Subtree B Root C Subtree D E F G H I J K L M A is the tree root B, C are roots of their subtrees D, E are siblings D, E are children of B B is the parent of D, E Purple nodes are leaves The other nodes are internal nodes Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 8 / 33
11 Introduzione Definizioni Terminologia Profondità (Depth) di un nodo La lunghezza del cammino semplice dalla radice al nodo (misurato in numero di archi) Livello (Level) L insieme di nodi alla stessa profondità Altezza dell albero (Height) La profondità massima della sue foglie Livello Altezza di questo albero = 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 9 / 33
12 Alberi binari Introduzione Albero binario Albero binario Un albero binario è un albero radicato in cui ogni nodo ha al massimo due figli, che vengono identificati come figlio sinistro e figlio destro. Nota: Due alberi T e U che hanno gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni nodo e la stessa radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato come figlio sinistro di un nodo v in T e come figlio destro del medesimo nodo in U. T 1 T 2 T 3 Livello Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 10 / 33
13 Alberi binari Introduzione Specifica (Albero binario) Tree % Costruisce un nuovo nodo, contenente v, senza figli o genitori Tree(Item v) % Legge il valore memorizzato nel nodo Item read() % Modifica il valore memorizzato nel nodo write(item v) % Restituisce il padre, oppure nil se questo nodo è radice Tree parent() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 11 / 33
14 Alberi binari Introduzione Specifica (Albero binario) Tree % Restituisce il figlio sinistro (destro) di questo nodo; restituisce nil se assente Tree left() Tree right() % Inserisce il sottoalbero radicato in t come figlio sinistro (destro) di questo nodo insertleft(tree t) insertright(tree t) % Distrugge (ricorsivamente) il figlio sinistro (destro) di questo nodo deleteleft() deleteright() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 12 / 33
15 Alberi binari Implementazione Memorizzare un albero binario P R L P R L P R L P R L P R L P R L P R L Vengono memorizzati i seguenti campi parent: reference al nodo padre left: reference al figlio sinistro right: reference al figlio destro Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 13 / 33
16 Alberi binari Implementazione Implementazione Tree Tree(Item v) Tree t = new Tree t.parent nil t.left t.right nil t.value v return t insertleft(tree T ) if left = nil then T.parent this left T deleteleft() if left nil then left.deleteleft() left.deleteright() left nil deleteright() if right nil then right.deleteleft() right.deleteright() right nil insertright(tree T ) if right = nil then T.parent this right T Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 14 / 33
17 Alberi binari Visite Visite di alberi Visita di un albero / ricerca Una strategia per passare attraverso (visitare) tutti i nodi di un albero. Visità in profondità Depth-First Search (DFS) Per visitare un albero, si visita ricorsivamente ognuno dei suoi sottoalberi Tre varianti: pre/in/post visita (pre/in/post order ) Visita in ampiezza Breadth First Search (BFS) Ogni livello dell albero viene visitato, uno dopo l altro Si parte dalla radice Richiede una queue Richiede uno stack Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 15 / 33
18 Alberi binari Visite Depth-First Search dfs(tree t) if t nil then % pre-order visit of t print t B A E dfs(t.left()) % in-order visit of t print t C D F G dfs(t.right()) % post-order visit of t print t Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 16 / 33
19 Alberi binari Visite Depth-First Search - Pre-Order dfs(tree t) if t nil then % pre-order visit of t print t dfs(t.left()) % in-order visit of t print t dfs(t.right()) % post-order visit of t print t C B D Sequence: A B C D E F G Stack: A F E G Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 17 / 33
20 Alberi binari Visite Depth-First Search - In-Order dfs(tree t) if t nil then % pre-order visit of t print t dfs(t.left()) % in-order visit of t print t dfs(t.right()) % post-order visit of t print t C B D Sequence: C B D A F E G Stack: A F E G Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 18 / 33
21 Alberi binari Visite Depth-First Search - Post-Order dfs(tree t) if t nil then % pre-order visit of t print t dfs(t.left()) % in-order visit of t print t dfs(t.right()) % post-order visit of t print t C B D Sequence: C D B F G E A Stack: A F E G Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 19 / 33
22 Alberi binari Visite Esempi di applicazione Contare nodi Post-visita int count(tree T ) if T == nil then return 0 else C l = count(t.left()) C r = count(t.right()) return C l + C r + 1 C 1 B 1 3 D A 7 3 F 1 E 1 G Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 20 / 33
23 Alberi binari Visite Esempi di applicazione Stampare espressioni In-visita int printexp(tree T ) if T.left() == nil and T.right == nil then print T.read() else print "(" printexp(tree T.left()) print T.read() printexp(tree T.right()) print ")" * ((4+9) * (3+4)) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 21 / 33
24 Alberi binari Visite Costo computazionale Il costo di una visita di un albero contenente n nodi è Θ(n), in quanto ogni nodo viene visitato al massimo una volta.. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 22 / 33
25 Alberi generici Specifica (Albero generico) Tree % Costruisce un nuovo nodo, contenente v, senza figli o genitori Tree(Item v) % Legge il valore memorizzato nel nodo Item read() % Modifica il valore memorizzato nel nodo write(item v) % Restituisce il padre, oppure nil se questo nodo è radice Tree parent() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 23 / 33
26 Alberi generici Specifica (Albero generico) Tree % Restituisce il primo figlio, oppure nil se questo nodo è una foglia Tree leftmostchild() % Restituisce il prossimo fratello, oppure nil se assente Tree rightsibling() % Inserisce il sottoalbero t come primo nodo di questo nodo insertchild(tree t) % Inserisce il sottoalbero t come prossimo fratello di questo nodo insertsibling(tree t) % Distruggi l albero radicato identificato dal primo figlio deletechild() % Distruggi l albero radicato identificato dal prossimo fratello deletesibling() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 24 / 33
27 Alberi generici Visite Depth-First Search dfs(tree t) if t nil then A % pre-order visit of node t print t B E Tree u t.leftmostchild() while u nil do dfs(u) u u.rightsibling() C D F G % post-order visit of node t print t Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 25 / 33
28 Alberi generici Visite Breadth-First Search bfs(tree t) A Queue Q Queue() Q.enqueue(t) while not Q.isEmpty() do Tree u Q.dequeue() % visita per livelli dal nodo u print u u u.leftmostchild() while u nil do Q.enqueue(u) u u.rightsibling() C B D F E G Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 26 / 33
29 Alberi generici Implementazione Memorizzazione Esistono diversi modi per memorizzare un albero, più o meno indicate a seconda del numero massimo e medio di figli presenti. Realizzazione con vettore dei figli Realizzazione primo figlio, prossimo fratello Realizzazione con vettore dei padri Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 27 / 33
30 Alberi generici Implementazione Realizzazione con vettore dei figli P... P.. P... P P P P P P Vengono memorizzati i seguenti campi parent: reference al nodo padre vettore dei figli: a seconda del numero di figli, può comportare una discreta quantità di spazio sprecato Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 28 / 33
31 Alberi generici Implementazione Realizzazione basata su Primo figlio, prossimo fratello Implementato come una lista di fratelli Parent Child Sibling Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 29 / 33
32 Alberi generici Implementazione Implementazione Tree Tree parent Tree child Tree sibling Item value Tree(Item v) Tree t new Tree t.value v t.parent t.child t.sibling nil return t insertchild(tree t) t.parent self t.sibling child child t insertsibling(tree t) t.parent parent t.sibling sibling sibling t % Reference al padre % Reference al primo figlio % Reference al prossimo fratello % Valore memorizzato nel nodo % Crea un nuovo nodo % Inserisce t prima dell attuale primo figlio % Inserisce t prima dell attuale prossimo fratello Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 30 / 33
33 Alberi generici Implementazione Implementazione Tree deletechild() Tree newchild child.rightsibling() delete(child) child newchild deletesibling() Tree newbrother sibling.rightsibling() delete(sibling) sibling newbrother delete(tree t) Tree u t.leftmostchild() while u nil do Tree next u.rightsibling() delete(u) u next Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 31 / 33
34 Alberi generici Implementazione Realizzazione con vettore dei padri L albero è rappresentato da un vettore i cui elementi contengono il valore associato al nodo e l indice della posizione del padre nel vettore. 1 A 0 A 2 B 1 3 E 1 B E 4 C 2 5 D 2 C D F G 6 F 3 7 G 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 32 / 33
35 Alberi generici Implementazione DFS ( Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture dati 2017/10/19 33 / 33
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!! Algoritmi e Strutture Dati! Capitolo 5 - Alberi!!! Alberto Montresor Università di Trento!! This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy
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