Alberi. Definizione, realizzazione e algoritmi elementari. Ugo de' Liguoro - Algoritmi e Sperimentazioni 03/04 - Lez. 7

Transcript

1 Alberi Definizione, realizzazione e algoritmi elementari

2 Cosa sono gli alberi?

3 Strutture gerarchiche di ogni tipo Generale Colonnello 1 Colonnello k Maggiore 1,1 Maggiore 1,m Capitano Maggiore k,1 Maggiore k,n

4 Strutture gerarchiche di ogni tipo Strutture dati 1. Tipi di dato e strutture dati 1. Specifica e realizzazione 2. Rappresentazione in memoria 2. Liste 1. L ADT delle liste 2. Realizzazione con vettori 3. Realizzazione con puntatori 3. Pile e code 1. L ADT delle pile

5 Definizioni Un albero èun grafo connesso aciclico; nel caso finito può essere definito induttivamente come un insieme tale che: è un albero; se k 0, T 1,, T k sono alberi, v un vertice, allora {v, T 1,, T k } è un albero Un insieme di alberi è una foresta. albero foresta grafo ciclico

6 Struttura induttiva degli alberi albero nodo albero

7 Alberi con radice e foglie La radice è un nodo privilegiato di un albero; se l albero è un grafo non orientato qualunque nodo può considerarsi radice; se l albero è orientato allora due casi: 1. la radice ha solo archi in uscita (albero sorgente) 2. la radice ha solo archi in entrata (albero pozzo) Una foglia è un nodo da cui non esce alcun arco

8 Alberi sorgente, alberi pozzo sorgente pozzo

9 Parentele a è padre di b e c b è figlio di a d è fratello di e d b e a c f f è un discendente di a; a è un avo di f

10 Cammini Un cammino dalla radice ad una foglia si dice ramo Cammino: sequenza di di archi ciascuno incidente sul sul vertice di di quello successivo

11 Livelli Livello: insieme di di vertici equidistanti dalla radice L altezza è la massima distanza dalla radice di un livello non vuoto Livello 0 Livello 1 Livello 2

12 Alberi ordinati b Un Un albero è ordinato quando lo lo sono (linearmente) i i suoi livelli a c a c b Come alberi ordinati siamo diversi d = d Conta solo l ordine, non sinistra e destra

13 Alberi k-ari Arietà = massimo num. dei dei figli di di qualche nodo Io sono un albero ternario

14 Una specifica Sintassi Tipi: Tree, Node Operatori: NewTree: void Tree IsEmptyTree: Tree boolean InsAsRoot: Node, Tree Tree Root: Tree Node Parent: Node, Tree Node Leaf: Node, Tree boolean

15 Una specifica Sintassi Tipi: Tree, Node Operatori: Child: Node, Tree Node HasSibling: Node, Tree Boolean Sibling: Node, Tree Node InsTree: Node, Node, Tree, Tree Tree DelTree: Node, Tree Tree

16 Semantica degli operatori Con qualcosa si deve pur cominciare r InsAsRoot(r, ) A cosa servono queste banalità? InsAsRoot(n, T ) = T Pre: T = Post: T è l albero il cui unico nodo è n

17 Semantica degli operatori r r a b b c d T DelTree(a, T ) DelTree(n, T ) = T Pre: n è un nodo di T Post: T risulta da T eliminando il sottoalbero con radice in n

18 Semantica degli operatori r z r a b x v a b c d c z d T U x v InsTree(n, m, T, U ) = T InsTree(c, a, T, U ) Pre: m, n sono nodi di T, U Post: T risulta da T inserendo U come figlio di m e 1. fratello successivo di n se n m 2. primo figlio di m se n = m

19 Semantica degli operatori r z r a b x v a b c d T U x z v c d InsTree(n, m, T, U ) = T InsTree(a, a, T, U ) Pre: m, n sono nodi di T, U Post: T risulta da T inserendo U come figlio di m e 1. fratello successivo di n se n m 2. primo figlio di m se n = m

20 Semantica degli operatori Semantica NewTree () = (albero vuoto) Root(T) = la radice di T Parent (n, T) = m Pre: n T Post: m padre di n Child (n, T) = m Pre: n T, Leaf(n, T) = false Post: m è il primo figlio di n Sibling (n, T) = m Pre: n T, HasSibling (n, T) = true Post: m è il fratello successivo di n IsEmptyTree(T) = true se T =, false altr. Leaf(n, T) = b Pre: n T, b = true sse n è una foglia HasSibling(n, T) = b Pre: n T Post: b = true sse n ha un fratello

21 Realizzazioni: vettore dei padri a d b e c f Efficiente per rappresentare alberi pozzo di cardinalità (numero dei nodi) fissata etichetta del nodo a 0 b 1 c 1 d 2 e 2 f 3 indice del padre indice del nodo

22 Alberi binari: definizione induttiva L insieme degli alberi binari etichettati in A, BT(A), è definito induttivamente: a) BT(A) (albero vuoto) b) a A, l BT(A), r BT(A) Si introduce la nozione di sottoalbero sinistro e destro a ConsTree(a, l, r) BT(A) l r

23 Alberi binari realizzati con puntatori left info right T r a r b a b c d T c d

24 Codifica binaria di alberi k-ari a b c d e f g e b f a c d g Nel caso di alberi non ordinati la codifica non è univoca!

25 Realizzazioni: con puntatori parent info child sibling a b c d e f g a b c d e f g

26 La cardinalità di un albero binario B a Left(B) = l l r Right(B) = r Cardinalità (B) if B = then return 0 else return 1 + Cardinalità (Left(B)) + Cardinalità (Right(B))

27 L altezza di un albero binario Altezza (B) // Pre: B // Post: ritorna l altezza di B return Altezza_aux (B) Si usa una funzione ausiliaria perché il caso di base B = è essenziale alla ricorsione Altezza_aux (B) // Post: ritorna l altezza di B, 0 se B = if B = then return 0 else return max{altezza_aux(left(b), Altezza_aux(Right(B)) + 1

28 La ricorsione sugli alberi ContaFoglie (T) // Post: ritorna il numero delle foglie di T if T = then return 0 due casi di base else if T ha un solo nodo then return 1 else siano T 1,, T k i sottoalberi con radici nei nodi figli di della radice di T k return i = 1 ContaFoglie( T ) Questo pseudocodice è lontano dalla realizzazione i

29 La ricorsione sugli alberi ContaFoglie (T) // Post: ritorna il numero delle foglie di T if IsEmptyTree(T) then return 0 else return Cf_aux(Root(T), T) Cf_aux (n, T) // Pre: n T // Post: ritorna il numero delle foglie del sottoalbero di T con radice in n

30 La ricorsione sugli alberi Cf_aux (n, T) // Pre: n T // Post: ritorna il numero delle foglie del sottoalbero di T con radice in n if Leaf(n, T) then return 1 else // n ha almeno un figlio in T m Child(n, T) foglie Cf_aux (m, T) while HasSibling (m, T) do return foglie m Sibling (m, T) foglie foglie + Cf_aux (m, T) Se m aveva un fratello, allora l attuale valore di m è un nodo di T

31 Visite: Depth First Search DFS (T) // Post: visita i nodi di T in profondità if T then visita Root(T) siano T 1,, T k i sottoalberi con radici nei nodi figli di della radice di T for i 1 to k do DFS (T i )

32 Visite: Depth First Search DFS (T) // Post: visita i nodi di T in profondità if not IsEmtyTree(T ) then DFS_aux (Root(T), T) DFS_aux (n, T) // Post: visita in profondità il sottoalbero di T con radice in n

33 Visite: Depth First Search DFS_aux (n, T) // Post: visita in profondità il sottoalbero di T con radice in n cominciando dalla radice visita n if not Leaf (n, T) then m Child (n, T) DFS_aux (m, T) while HasSibling (m, T) do m Sibling(m, T) DFS_aux (m, T)

34 DFS con una pila a b c L emergente è il prossimo nodo da visitare Nodo visitato Nodo da visitare Ultimo nodo visitato c a pila S

35 DFS con una pila DFS_Stack (T) // Pre: T, Post: visita T in profondità S NewStack() Push(Root(T), S) // l emergente è il prossimo nodo da visitare while not EmptyStack(S) do n Top(S), Pop(S) visita n if HasSibling (n, T) then Push (Sibling (n, T), S) if not Leaf (n, T) then Push (Child (n, T), S) L ordine di questi inserimenti è l inverso dell ordine di visita

36 BFS Ultimo nodo visitato a b c Prossimo nodo da accodare Nodo visitato Nodo da visitare Nodo sulla coda a b c Coda Q

37 Visite: Breadth First Search BFS (T) // Pre: T, Post: visita T in ampiezza i.e. per livelli Q NewQueue() Enqueue(Root(T), Q) // il primo è il prossimo nodo da visitare while not EmptyQueue(Q) do n Dequeue(Q), visita n accoda in Q tutti i figli di n

38 Visite: Breadth First Search BFS (T) // Pre: T, Post: visita T in ampiezza i.e. per livelli Q NewQueue() Enqueue(Root(T), Q) // il primo è il prossimo nodo da visitare while not EmptyQueue(Q) do n Dequeue(Q), visita n if not Leaf (n, T) then m Child (n, T) Enqueue (m, Q) while HasSibling (m, T) do accoda tutti i figli di n m Sibling (m, T) Enqueue (m, Q)

39 È ora di smettere